江苏省某中学2024-2025学年高一（上）期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

江苏省某中学 2024-2025 学年高一（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = { 3, 2,1,2,3}，集合 = {1,2}， = { 3,2,3}，则 ∩ ( ) =( )
A. { 3,3} B. {2} C. {1} D. { 2,1,3}
2.命题“ ≥ 1， 2 < 1”的否定是( )
A. < 1， 2 ≥ 1 B. ≥ 1， 2 ≥ 1
C. < 1， 2 ≥ 1 D. ≥ 1， 2 ≥ 1
2 + 1, ≥ 0,
3.已知 ( ) = { 则 ( ( 1)) =( )
2 1, < 0,
3 9
A. B. C. 3 D. 3
2 8
4.已知 ， ∈ ，则下列说法正确的是( )
A. 若 > ，则 2 > 2 B. 若 ≠ ，则 2 ≠ 2

C. 若 > > 0， > 0，则 > D. 若 > | |，则 2 > 2

2 , ≤ 0
5.已知函数 ( ) = {1 ， ( ) = ( ) .若 ( )有2个零点，则实数 的取值范围是( )
, > 0

A. [ 1,0) B. [0, +∞) C. [ 1, +∞) D. [1, +∞)
3
4 cos( + )
6.已知 ∈ ( , )， 2 = ，则 4
2 3
=( )
sin( )
4
1 1
A. B. 3 C. 3 D.
3 3
7.设 1满足2 + = 3， 2满足ln(1 ) 2 = 1，则 1 + 2 =( )
1 3 3
A. 1 B. C. D.
2 2 4

8.已知函数 ( ) = cos( )( > 0)在[ , ]上单调递减，则 的取值范围是( )
4 4 2
3 5 5 5
A. [0, ] B. [1, ] C. [2, ] D. [ , 3]
2 2 2 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列各式均有意义的前提下，运算正确的是( )
3
A. ( ) = B. sin( ) =
2
1
C. = D. = = tan sin 1+cos 2
10.已知幂函数 ( )的图象经过点(9,3)，则( )
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A. 函数 ( )为减函数
B. 函数 ( )为偶函数
C. 当 ≥ 4时， ( ) ≥ 2
( )+ ( ) +
D. 当 2 > > 0时，
1 2
1 < (
1 2)
2 2
11.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < )的部分图象如图所示，则
( )
3
A. ( ) ≤ ( )
4

B. = ( )为偶函数
12
2 2
C. ( + ) + ( ) = 0
3 3
17 23
D. 函数 = ( )在[0, ]内有且仅有三条对称轴，则 的取值范围为[ , ]
12 12
12.已知函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( + ) 为奇函数，函
数 = ( )的图象关于直线 = 成轴对称图形的充要条件是函数 = ( + )为偶函数，则( )
A. 函数 ( ) = 3 + 3 2 + 1的对称中心是 ( 1,3)
B. 函数 ( ) = 3 + 3 2 + 1的对称中心是 (1,4)
2
C. 函数 ( ) = 4 有对称轴
2 2
D. 函数 ( ) = 有对称轴
2 2 +2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知2 ≤ 2 + 3 ≤ 6， 3 ≤ 5 6 ≤ 9，则 = 11 + 3 的取值范围是______．
14.已知 = 2，则2 2 + 3 2 = ______．
15.已知函数 ( ) = 1(2 2 + 1)在( ∞, 1]上是增函数，则实数 的取值范围是______．
2
16.已知两条直线 1： = + 1和 2： =
2 + 2( > 1)，直线 1， 2分别与函数 = 2
的图象相交于点 ，
，点 ， 在 轴上的投影分别为 ， ，当 变化时，| |的最小值为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题10分)
1
已知集合 = { |2 ≤ ≤ 2 + }， = { | < 0}．
6
(1)当 = 3时，求 ∩ ；
(2)若 > 0，“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
1
(1)已知 > 1，求 = 4 + 的最小值；
1
4 1
(2)若 ， 均为正实数，且满足 + 2 = 1，求 + 的最小值．
+1
19.(本小题12分)
学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻
炼考核评分制度，建立一个每天得分 与当天锻炼时间 (单位：分)的函数关系.要求及图示如下：
( )函数是区间[0,60]上的增函数；
( )每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
( )每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；
( )每天最多得分不超过6分．
现有以下三个函数模型供选择：
① = + ( > 0)；
② = 1.2 + ( > 0)；

③ = 2( + 2) + ( > 0)． 10
(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟. (注：√ 2 ≈ 1.414，结果保留整数)．
20.(本小题12分)

已知函数 ( ) = sin(2 + ) + sin(2 ) + 2 2 1, ∈ ．
3 3
(1)求函数 ( )的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程；
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(2)解关于 的不等式 ( ) ≥ 1；
3
(3)将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度后得到 ( )的图象，求函数 = ( ) + 2 在[0, ]上的值域．
8 2
21.(本小题12分)

已知函数 ( ) = ．
+1
(1)若函数 ( ) = ( ) + 2 + 为奇函数，求 的值；
(2)判断(1)中函数 ( )在 上的单调性，并用定义证明你的结论；
(3)对于(1)中的 ( )，若对任意的 ∈ [1,2]，不等式 ( 2 + 1) + (1 ) < 0恒成立，求实数 的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，正方形 的边长为1， ， 分别为边 ， 上的动点．
(1)设∠ = ，∠ = ，请用含有 ， 的式子表示△ 的周长 ；
(2)若点 ， 在运动的过程中，∠ 的大小保持不变，试探究△ 的周长 的变化情况．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】[3,27]
9
14.【答案】
5
15.【答案】( 3, +∞)
16.【答案】 2(2√ 3 2)
17.【答案】(1)当 = 3时， = { | 1 ≤ ≤ 5}，
1
= { | < 0} = { |( 1)( 6) < 0} = { |1 < < 6}，
6
所以 ∩ = { |1 < ≤ 5}．
(2)由“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要不充分条件，得 ，
2 > 1
所以{ ，解得 < 1，
2 + < 6
又 > 0，故实数 的取值范围为(0,1)．
18.【答案】解：(1)因为 > 1，所以 1 > 0，
1 1
所以 = 4( 1) + + 4 ≥ 2√ 4( 1) × + 4 = 4 + 4 = 8，
1 1
1 3
当且仅当4( 1) = ，即 = 时等号成立，
1 2
1
所以 = 4 + 的最小值为8．
1
(2)因为 ， 均为正实数， + 2 = 1，
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所以 + 1 > 0， > 0，( + 1) + 2 = 2，
4 1 4 2 1 4 2
则 + = + = ( + )[( + 1) + 2 ]
+1 +1 2 2 +1 2
1 8 +1 1 8 +1
= (6 + + ) ≥ (6 + 2√ ) = 3 + 2√ 2，
2 +1 2 +1
8 +1
当且仅当 = ，即 = 3 2√ 2, = √ 2 1时等号成立，
+1
4 1
所以 + 的最小值为3 + 2√ 2．
+1
19.【答案】解(1)对于模型①， = + ( > 0)，
3
当满足同时过点(0,0)，(20,3)时， = 0, = ，
20
3
即 = ，
20
当 = 60时， = 9 > 6，不合题意；
故①不合适；
由图可知，该函数的增长速度较慢，
对于模型②， = 1.2 + ( > 0)，是指数型的函数，其增长是爆炸型增长，
故②不合适；

对于模型③， = 2( + 2) + ( > 0)， 10
对数型的函数增长速度较慢，符合题意，
故选择模型③，
此时，所求函数过点(0,0)，(20,3)，
22 + = 0
则{ 20 ，
2( + 2) + = 310
解得 = 3， = 3，

故所求函数为 = 3 2( + 2) 3， 10
60
经检验，当 = 60时， = 3 2( + 2) 3 = 6，符合题意， 10

综上所述，函数的解析式为 = 3 2( + 2) 3． 10

(2)由(1)得 = 3 2( + 2) 3， 10
因为每天得分不少于4.5分，

所以3 2( + 2) 3 ≥ 4.5， 10
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5
即 2( + 2) ≥ ， 10 2
5
所以 + 2 ≥ 22 = 4√ 2，
10
即 ≥ 40√ 2 20 ≈ 40 × 1.414 20 = 36.56，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼37分钟．

20.【答案】解：(1) ( ) = sin(2 + ) + sin(2 ) + 2 2 1
3 3

= 2 + 2 + 2 2 + 2
3 3 3 3

= 2 + 2 = √ 2sin(2 + )，
4
2
函数 ( )的最小正周期 = = ．

3
令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 , ∈ ，解得 + ≤ ≤ + , ∈ ，
2 4 2 8 8
3
所以函数 ( )的单调递增区间为[ + , + ], ∈ ．
8 8

令2 + = + , ∈ ，解得 = + ( ∈ )．
4 2 2 8

所以 ( )的对称轴方程为 = + ( ∈ )．
2 8
√ 2
(2) ( ) ≥ 1即√ 2sin(2 + ) ≥ 1, sin(2 + ) ≥ ，
4 4 2
3
所以 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 , ∈ ，解得 ∈ [ , + ], ∈ ．
4 4 4 4
3
(3)由题知 ( ) = √ 2sin[2( ) + ] = √ 2sin(2 ) = √ 2 2 ，
8 4 2
则 = √ 2 2 + 2 = √ 2(2 2 1) + 2
= 2√ 2cos2 + 2 + √ 2，
√ 2 5√ 2
令 = ∈ [0,1]，则 = 2√ 2 2 + 2 + √ 2 = 2√ 2( )2 + ，
4 4
√ 2 5√ 2
当 = 时， = ；当 = 1时， 4 4 = 2 √ 2．
5√ 2
综上可知所求值域为[2 √ 2, ]．
4

21.【答案】解：(1) ( )的定义域为 ，由 ( ) = + 2 + 为奇函数， +1
1
所以 (0) = 0，即 + = 0，
2
1
所以 = ．
2
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(2)结论： ( )在 上单调递增，证明如下：
1 +1 1 1 1 1
( ) = + 2 = + 2 = +1 2 +1 2 2
+ 2 ，
+1
设 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，则
1 1 1 1 2 1
( 2) ( 1) = + 2 2 ( + 2 1) = + 2( 2 1)， 2 2+1 2 1+1 ( 2+1)( 1+1)
因为 < ，所以 2 1 2 11 2 2 1 > 0， > ，( + 1)( + 1) > 0，所以 ( 2) ( 1) > 0，即 ( 2) > ( 1)，
所以 ( )在 上单调递增．
(3)因为 ( )为奇函数且在 上为增函数，
所以不等式 ( 2 + 1) + (1 ) < 0可化为 ( 2 + 1) < ( 1)，
所以 2 + 1 < 1，
2+2 2
即 > = + 对任意的 ∈ [1,2]恒成立，

2
所以 > ( + )

，
2
当 ∈ [1,2]时， = + 在[1, √ 2)上单调递减，在(√ 2, 2]上单调递增，

2 2 2
当 = 1时， + = 3，当 = 2时， + = 3，所以( + ) = 3，所以 > 3，

即实数 的取值范围为(3, +∞)．
22.【答案】解：(1)由题知 = ， = ， = 1 ， = 1 ，
所以△ 的周长 = + + = 2 + √ (1 )2 + (1 )2．
(2)因为点 ， 在运动的过程中，∠ 的大小保持不变，
所以 + 的大小保持不变，则tan( + )为定值．
= 1 + 1 + √ (1 )2 + (1 )2，
令 = 1 ， = 1 ，
则有 = + + √ 2 + 2，化简得2 ( + ) = 2 + 2 ，
+ 1 +1 2 ( + ) 2 ( + ) ( + )+2
tan( + ) = = = == = ，
1 tan tan 1 (1 )(1 ) + 2 2
+ ( + )+ (1 )( + )+
2 2
1 1
要使得tan( + )为定值，则有 = 2 ，解得 = 2， 2
2

此时tan( + ) = 1， + = ，即∠ = ．
4 4
所以若 ， 在运动的过程中，∠ 的大小保持不变，
则△ 的周长 为定值2．
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