黑龙江省鸡西市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

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黑龙江省鸡西市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试
数学试卷
时间：120分钟分值：150分
注意事项：
1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 双曲线的焦点坐标是（）
A. (-2，0)，(2，0) B. (0，-2)，(0，2)
C. (-，0)，(，0) D. (0，-)，(0，)
2. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
3. 已知向量，则等于（）
A. B. C. D.
4. 椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（）
A. 3 B. 5 C. 8 D. 5或3
5. 若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（）
A B. C. D.
6. 当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（）
A B.
C D.
7. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（）
A. B. 4 C. D.
8. 已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（）
A. B. 2 C. D. 5
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法中，正确的是（）
A. 任何一条直线都有唯一的斜率 B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C. 任何一条直线都有唯一的倾斜角 D. 垂直于轴的直线倾斜角为
10. 在下列命题中，错误的有（）
A. 若共线，则所在直线平行；
B. 若所在的直线是异面直线，则一定不共面；
C. 若三向量两两共面，则三向量一定也共面；
D. 已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
11. 动点分别到两定点，连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，，分别为曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的是（）
A. 若，则
B. 的内切圆的面积的最大值为
C. 到直线的最小距离为
D. 设，则最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知为坐标原点，在椭圆上，则的最大值为___________.
13. 已知为坐标原点，在双曲线的左支上，是该双曲线的左焦点.为的中点，则______.
14. 已知.若存在满足的点使为钝角，则t的取值范围是___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在三角形中，.
（1）求边的中线所在直线的一般式方程；
（2）求边上的高所在直线的点斜式方程.
16. 已知双曲线的离心率，实轴长.
（1）求C的方程；
（2）过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求；
（3）求与C有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程.
17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点.
（1）求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长；
（2）求过点与圆相切的直线方程；
（3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由.
19. 在①，②过，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答.
已知椭圆C：的右焦点为，且___________.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆D：上任意一点G作椭圆C的两条切线.求证：；
（3）设O为坐标原点，点.直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与轴交于点，直线AQ与轴交于点，求证：直线经过定点，并求此定点.
黑龙江省鸡西市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试
数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】B
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】B
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.
【答案】CD
10.
【答案】ABC
11.
【答案】ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.
【答案】2
13.
【答案】5
14.
【答案】
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.
【解析】
【分析】（1）求得中点，进而可求解；
（2）由垂直关系求得斜率，进而可求解.
【小问1详解】
由，可得其中点坐标为，
此时中线斜率为：，
所以边的中线方程为：，即；
【小问2详解】
因为，
由垂直关系可知：边上的高所在直线斜率为，
所以方程为：，即.
16.
【解析】
【分析】（1）由已知列关于的方程组，求解与的值，则双曲线的方程可求；
（2）写出直线的方程，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解；
（3）对于不为0的实数，共渐近线的双曲线方程为，将点代入即可解答.
【小问1详解】
由已知可得可得：，，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
双曲线的右焦点为，由点斜式得直线的方程为，
由消去得：，
所以，，
所以
【小问3详解】
设所求双曲线的标准方程为， 将代入可得，
所以该双曲线的标准方程为.
17.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过向量垂直的坐标表示即可求证；
（2）求得平面法向量，代入夹角公式即可；
（3）由点到面距离的向量法即可求解.
【小问1详解】
在三棱柱中，平面，，且为棱的中点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，
所以，，
则，
所以，即；
【小问2详解】
由（1）知：，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以；
【小问3详解】
易知，
所以点到平面的距离为：.
18.
【解析】
【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长；
（2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知；
（3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果.
【小问1详解】
过点斜率为的直线方程为，
圆心到该直线的距离为，
所以该直线被圆截得的弦长为.
【小问2详解】
圆的圆心为，半径为2，
若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意；
若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与，
则直线方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为；
综上所述，切线方程为和.
【小问3详解】
由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为，
联立，得，
设，则，
且，
所以
，
所以是定值，定值为．
19.
【解析】
【分析】（1）由题意确定a，b的值即可确定椭圆方程；
（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论证明即可；
（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求证即可.
【小问1详解】
选①条件，由椭圆：的右焦点为，
可得，因为离心率，所以，
所以，所以椭圆的方程为.
选②条件，由椭圆：的右焦点为，
可得，过，则，∴，
所以椭圆的方程为.
选③条件，由椭圆：的右焦点为，
可得，，
又由，则，，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
证明：设，若过点的切线斜率都存在，设其方程为，
则联立方程组，
得，
因为直线与椭圆相切，所以，
整理得，
设椭圆的两条切线的斜率分别为，，由韦达定理，，
因为点在圆上，所以，即
所以，所以；
若过点的的切线有一条斜率不存在，不妨设为，则该直线的方程为，则的方程为，所以，
综上所述，对于任意满足题设的点，都有.
【小问3详解】
证明：设，，
由消去得：，
由韦达定理得，，
则，.
由与可得直线的方程为：，
，同理：，
因为，所以，
即，整理得，解得，
所以直线l方程为，所以直线恒过定点.
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