2024-2025学年湖北省“腾·云”联盟高三（上）12月联考数学试题（PDF版，含答案）

2024-2025 学年湖北省“腾·云”联盟高三（上）12 月联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}， = { || | ≤ 2}，若 ∪ = ，则 的取值范围是( )
A. (0,1) B. ( 1,1) C. [0,1] D. [ 1,1]
2 2
2.已知椭圆 : + = 1，则下列结论正确的是( )
25 9
A. 的焦点在 轴上 B. 的焦距为4
4 5
C. 的离心率 = D. 的长轴长是短轴长的 倍
5 4
3.(2 1)5展开式中含 2项的系数为( )
A. 40 B. 40 C. 20 D. 20
4.高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给
我们带来惊喜。如果每天的进步率都是2%，那么一年后是 ，如果每天的落后率都是2%，
1.02365
那么一年后是(1 2%)365 ≈ 0.0006，一年后“进步”是“落后”的 ≈ 230万倍，现张三同学每天进
0.98365
步20%，李四同学每天落后10%，假设开始两人相当，则大约( )天后，张三超过李四的100倍(参考数据：
lg2 ≈ 0.301，lg3 ≈ 0.478)
A. 7 B. 17 C. 27 D. 37
5.已知函数 ( ) = 2 ln + 2 是减函数，则 的取值范围为( )
1
A. ( ∞, 0] B. ( ∞, 1] C. ( ∞,1] D. ( ∞, ]
2
6.已知实数 ， 满足3 2 + 3 + 2 = 3，则2 + 最大值为( )
A. 2 B. 3 C. √ 3 D. √ 2
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12 1
7.已知数列{ }为等比数列， 5 = 2，若{ }的前9项和为 ，则数列{ }的前9项和为( ) 5
5 12 5 3
A. B. C. D.
12 5 3 5
2 2
8.设双曲线 : = 1( > 0, > 0)的左，右焦点分别为 ， ，左、右顶点为 ， ，已知 为双曲线
2 2 1 2 1 2

一条渐近线上一点，若∠ 1 2 = 3∠ 1 2 = ，则双曲线 的离心率 = ( ) 2
A. √ 13 B. 2√ 3 C. √ 11 D. √ 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于向量与复数的说法正确的有( )
A. 若复数 1， 2满足| 1| = | 2|，则
2
1 =
2
2
B. 若复数 满足 = 1 + 2 ，则| | = √ 5
2 2
C. 若 = ，则 = 或 =
D. 若 = 0 ，则 = 0或 = 0
10.已知函 ( ) = cos2 + 7cos + 1， ( ) = sin2 + 7cos .
A. ( )的最小值为 5

B. ( )在区间(0, )上单调递减
3
1
C. 若当 = 0时， ( )取得极大值，则sin 0 = 4
5 3
D. 若 ( ) = ( ) ( )在区间[0, ]恰有3个零点，则 ∈ [ , )
4 2
11.已知定义在 上的函数 = ( )， = ( )分别满足： ( 1) + 2 为偶函数， ( + 2) = ( ) 2，则
下列结论正确的是( )
A. 函数 ( ) + 为周期函数
B. ( 1) = 2
( 1)
C. = 的图像关于点(0, 2)中心对称

D. ( ) ( 2024) = 2024
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 1: 2 + 1 = 0， 2 : + + 3 = 0，若 1// 2，则 = ．
13.已知三棱锥 的四个顶点都在球体 的表面上，若 = 2， = 4，且 = = = = 2√ 3，
则球体 的表面积为 ．
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14.已知△ 中，2(cos2 cos2 + sin2 ) = sin sin ， ①cos = ， ② 为边 的中点，若 =
sin
，则 = ．
sin
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{ }，{ }满足 1 = 0，1 + +1 = 2 +1， = + 1．
1
(1)求证：数列{ }是等差数列;

1
(2)令 = 2 +1，求数列{ }的前 项和 ． 2
16.(本小题15分)
已知 ( ) = ( 2 + + 1) ．
(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程;
(2)若 ( )在区间( 3, 1)内存在极小值点，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在平行四边形 中， = 2 = 2，∠ = 60 ， 为 的中点，沿 将△ 翻折至△
位置得到四棱锥 ， 为 上一动点．
(1)若 为 的中点，证明：在翻折过程中均有 //平面 ;
(2)若 = 2， ①证明：平面 ⊥平面 ;
②记四棱锥 的体积为 1，三棱锥 的体积为 2，若 1 = 3 2，求点 到平面 的距离．
18.(本小题17分)
如图，已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)，过点 (2,1)作斜率为 1， 2的直线 1， 2，分别交抛物线于 ， 与 ，
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，当 1 = 2时， 为 的中点．
(1)求抛物线 的方程;
(2)若| | | | = | | | |，证明： 1 + 2 = 0;
(3)若直线 过点 ( 2,0)，证明：直线 过定点，并求出该定点坐标．
19.(本小题17分)
在某一次联考中，高三(9)班前10名同学的数学成绩 ( = 1,2, ,10)和物理成绩 ( = 1,2, ,10)如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117
数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6
物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84
物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀(成绩在120分(含)以上)，则该同学物理也优秀(物理成绩
在78分(含)以上)的概率;
(2)已知该校高中生的数学成绩 ，物理成绩 ，化学成绩 两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成
12
绩 和物理成绩 的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩 与化学成绩 的样本相关系数约为 ，
13
分析相关系数的向量意义，求 ， 的样本相关系数的最大值．
(3)设 为正整数，变量 和变量 的一组样本数据为{( , )| = 1，2， ， }，其中 ( = 1,2, , )两两不
相同， ( = 1,2, , )两两不相同，按照由大到小的顺序，记 在{ | = 1,2, , }中排名是 位( =
1,2, , )， 在{ | = 1,2, , }中的排名是 位( = 1,2, , ).定义变量 和变量 的“斯皮尔曼相关系数
(记为 )为变量 的排名 和变量 的排名 的样本相关系数.记 = ，其中 = 1，2， ，
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6
证明： = 1 ∑ 22 =1 ，并用上述公式求这组学生的数学成绩和物理成绩的斯皮尔曼相关系数(精确 ( 1)
∑ ( )( ) ( +1)(2 +1)
到0.01)(参考公式：相关系数 = =1 ，∑ 2 = )
√ 2 2
=1 6
∑ =1( ) √ ∑

=1( )
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 2
13.【答案】18
1 2
14.【答案】 ；
4 3
1 1 1+
15.【答案】解：(1) +1 = ，

2+ +1
= + 1 = ，
2+ 2+
1 1 2+ 1 1
∴ = = 1， = 1，
+1 1+ +1 1
1
∴ { }是以1为首项，1为公差的等差数列

1
(2)由(1)可知 = ，∴ = 22 +1
，

1 1 1 1
令 = 2 +1 = ( + )( )
2 +1 [ ( + 1) + ]( )2 +3 = ( )2 +1[( + ( + 1) ],
2 2 2 2 4 4
4 4 4 4 1 2
对照系数可得 = ， = ，∴ = +1(其中 = ( + )( )
2 +1)， = 1 +1 = ( +3 9 3 9 2 9 3
4 1
)( )2 +1
9 2
16.【答案】解：(1)当 = 1时， ′( ) = ( 2 + + 1+ 2 +1) ，
所以 ′(0) = 2， (0) = 1，
∴切线方程 = 2 + 1;
(2) ′( ) = ( 2 + + 1+ 2 + 1) = ( + 2)( + 1) ，
①当 = 0时， ′( ) = ( + 2) ， ∈ ( ∞, 2)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
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∈ ( 2,+∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增，
∴ = ( )， = 2取得极小值，符合;
1 1 1
② > 0时，( )当 > 2即 > 时， ∈ ( ∞, 2)， ′( ) > 0， ( )单调递增， ∈ ( 2, )， ′( ) < 0，
2
( )单调递减，
1
∈ ( ,+∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增，

1 1 1
∴ ( )在 = 取得极小值，∴ < 1， < 1，∴ < < 1，
2
1 1
( )当 = 2，即 = 时，此时 ′( ) 0恒成立， ( )单调递增，无极值不符合，
2
1 1 1 1
(ⅲ)当 < 2，即 ∈ (0, )时， ∈ ( ∞, )， ′( ) > 0， ( )单调递增， ∈ ( , 2)， ′( ) < 0， ( )
2
单调递减，
∈ ( 2,+∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )在 = 2取得极小值符合，
1 1
③当 < 0，则 > 0， ∈ ( ∞, 2)， ′( ) < 0， ( )单调递减，， ∈ ( 2, )， ′( ) > 0， ( )单调

1
递增， ∈ ( ,+∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

∴ = ( )在 = 2取得极小值，符合，
1 1
综上 ∈ ( ∞, ) ∪ ( , 1)．
2 2
17.【答案】解：(1)取 中点 连 ， ， // ，易知 与 平行且相等
四边形 为平行四边形，∴ // ，
∵ 面 ， 面 ，∴ //面 ．
(2) ①连 ， = √ 3， = 1， = 2，
∴ ⊥ ，又∵ ⊥ ， 与 是平面 内两条相交直线
所以 ⊥面 ， 面 ，
∴面 ⊥面
，
， = 2 ，
∴ 为 中点。
取 中点 ， 中点 ，连 ， ，由 ①可知 ⊥面 ， ⊥ ，
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以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
√ 3 1
(0,0, )， ( , √ 3, 0)，
1 √ 3 √ 3 √ 3
( , , )， ( 1, , 0)，
2 2 4 2 4 2
√ 3 √ 3 1 √ 3 = ( 1, , )， = ( , 0, )
2 2 2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )
√ 3 √ 3
则有{ ·
= 0 + = 0 { 2 2 ，取 = 1可得
· = 0 1 √ 3 = 0
2 2
面 的法向量 = (√ 3, 1, 1)，
1 √ 3 √ 3
= ( , , )，
4 2 4
√ 3
∴ 到面 的距离 |
| 2 √ 15 = = = ．
| | √ 5 10
18.【答案】解：(1) : = (2 2) + 1 = 2 3联立 2 = 2 消去 ，可得4 2 (12 + 2 ) + 9 = 0，
12+2
设 ( , )， ( , )， + = = 4，∴ = 2 ∴抛物线 方程为： 21 1 2 2 1 2 = 4 ； 4
1 1
(2) ∵ 1 2 ≠ 0，设 : = 1( 1) + 2， : = 2( 1) + 2，(其中 1 = ， 2 = )， 1 2
代入 2 4 1 + 4 1 8 = 0，
1 + 2 = 4 1， 1 2 = 4 1 8，
| | | | = = [(2 1)(2 2)+ (1 1)(1 2)] = 4 + 2( 1 + 2) 1 2 1 + ( 1 +
2) 1 2，
∴ 1 + 2 = 1( 1 + 2) 2 1 + 4 = 4
2
1 2 1 + 4，
1
1 2 =
2 2
1 2 = ( 1 2)
2，
16
∴ | | | | = 5 + 8 21 4 1 +8
2
1 +4 1 4 + 4
2
1 4 1 +8 = 7 1 +7，
同理| | | | = 7 22 +7，
∴ 2 21 = 2，∵ 1 ≠ 2，∴ 1 = 2，∴ 1 + 2 = 0；
(3) : ( 1 + 2) = 4 + 1 2过点 (2,1)，∴ 1 + 2 = 8 + 1 2 ①，
同理 : ( 1 + 3) = 4 + 1 3(设 ( 3, 3)， ( 4 , 4))过点 ( 2,0)，∴ 1 3 = 8 ②
8 8
: ( 2 + 3) = 4 + 2 3，结合 ① ②可得 + 2 = 8 +
2，∴ 8+ 2 3 = 8( 3 + 2)， 3 3
: ( 2 + 3) = 4 + 8( 2 + 3) 8，( 2 + 3)( 8) = 4 8恒过点(2,8)．
19【. 答案】解：(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀(成绩在120分(含)以上)的为编号2，3，4，
5 四位同学，其中物理也优秀的为2，3，4三位同学，故从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀(成
3
绩在120分(含)以上)，则该同学物理也优秀(物理成绩在78分(含)以上)的概率 = ．
4
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(2)分析 的向量意义，设 = ( 1 , 2 , , )， = ( 1 , 2 , , )，

= = cos < ， >， | | | |
分别令 ， 的样本相关系数 1 = cos ， ， 的样本相关系数 2 = cos ， 与 的样本相关系数为 3 = cos ，
4 12
则cos = ，cos = ，
5 13
( ) 63∴ cos max = cos( ) = ， 65
63 63
∴ ， 夹角余弦值最大值为 ，即 ， 的样本相关系数的最大值为 ．
65 65
(3) ∵ { }, { }都是1，2， ， 的一个排列，
( +1)
∴ ∑ =1 = ∑ =1 = ， 2
( +1)(2 +1)∑ =1
2
= ∑
2
=1 = ， 6
+1
= = ，
2
2
∑ ( )2 = ∑ 2
2 2 ( +1)(2 +1) ( +1) ( +1)( 1)
=1 =1 2 ∑

=1 + · += ∑
2 =1 · = = ， 6 4 12
( +1)( 1)
同理∑ =1( )
2 = ，
12
∑ 2 =1 = ∑

=1( )
2 = ∑ 2 =1[ ( ) ( )] = ∑ =1( )
2 + ∑ 2 =1( ) 2∑

=1(
( +1)( 1)
)( ) = 2 2∑ 12 =1( )( )，
2
( +1)( 1)
∑
∑ =1

=1( )( ) 6∴ = = 12 2 ( +1)( 1) = 1 ∑

2 =1
2
，
√ ∑ 2 2 ( 1) =1( ) ∑ =1( ) 12
6
结合图表 = 1 (42 + 42 + 12 + 02 +22 + 12 + 12 + 22 +22 + 52) ≈ 0.56．
10×99
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