河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷七（含解析）

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河南模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（七）
考试时间：100分钟 满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．下列几个省市创意字图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过才0.0000003米．其中数据0.0000003用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．以下列各组线段的长为边能组成三角形的是（　　）
A．2、5、8 B．2、5、3 C．6、6、2 D．9、6、2
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．数学兴趣小组开展活动：把多项式分解因式，组长小明发现小组里有以下四种结果与自己的结果不同，他认真思考后，发现其中还有一种结果是正确的，你认为正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 6和 12两部分，则等腰三角形的底边长（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2或10
7．以下是甲、乙、丙、丁四位同学做的题，
甲：计算时，去分母，同乘于，得．
乙：对于分式，利用分式基本性质，可得，．
丙：由，解得．
丁：中a、b的值都扩大到原来的2倍，所得分式的值扩大到原来的4倍．
则针对以上解法，下列说法正确的是（ ）
A．只有丙正确 B．只有丁正确 C．甲、乙都正确 D．丙、丁都正确
8．列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和乙和丙 D．甲和丙
9．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC＝（x+20）米，则下列4个结论：①AB＝（10﹣1.5x）米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．计算：（﹣2a2）3的结果是 ．
12．如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来 ．（写出一种即可）
第12题图 第14题图
13．若，则可表示为 （用含a、b的代数式表示）．
14．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB=AC，∠BAC=90°，则点C坐标为 ．
15．对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=，例如：2☆3=2﹣3=，则计算：[2☆（﹣4）]☆1= ．
三、解答题
16．计算：
(1)(﹣a2)3÷a4+(a+2)(2a﹣3)；(2)(3a+2b﹣5)(3a﹣2b+5).
17．先化简：，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
18．请补全证明过程及推理依据．
如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
证明：∵（已知）
∴____________（ ）
即______＝______
在和中，
∴≌（ ）
∴（ ）
19．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为，．
(1)请在如图所示的网格内作出x轴、y轴，并写出点B的坐标；
(2)请作出关于x轴对称的，并直接写出的面积．
20．解分式方程
(1)；(2)．
21．随着新能源汽车的普及，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向．据测试数据显示，从2023年开始，使用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用过去的充电技术提高了50%，使用新的快速充电技术续航里程300千米的充电时间比采用过去的充电技术续航里程240千米的充电时间节省1分钟，则采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少千米
22．科学实验发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，利用这个发现人们发明了许多有用的工具，例如潜望镜（如图1）等．
（1）图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜，是平行放置的，光线经过镜子反射时，，．请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行；
（2）如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置会随之改变，在生活中就会有不同的应用．如图3，当光线射到平面镜上时，会反射到平面镜上，又被平面镜反射，反射出的光线为．若，求两面平面镜的夹角的度数．
23．在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN．（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．（2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B D C A C A D
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：，
故选：C．
3．C
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知：
A、2+5＜8，不能够组成三角形，故不符合题意；
B、2+3=5，不能组成三角形，故不符合题意；
C、2+6＞7，能组成三角形，故符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键．
4．B
【分析】依据同底数幂的乘除法、幂的运算法则，进行判断即可．
【详解】A选项，，故不符合题意；
B选项，，故符合题意；
C选项，，故不符合题意；
D选项，，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5．D
【分析】首先提出二次项系数，再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分解因式，关键是掌握分解因式首先提公因式，再利用公式法进行分解．
6．C
【分析】设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，根据题意列方程，求出解后验证是否满足三角形的三边关系即可．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，
由题意得或，
解得或，
，不能构成三角形，
不合题意，舍去，
等腰三角形的底边长是2，
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系等，解题的关键是注意判断求出的解是否满足三角形的三边关系．
7．A
【分析】根据分式的化简方法以及解分式方程、分式的性质逐个判断即可．
【详解】解：甲：分式不能直接去分母，只能通分，所以甲错误；
乙：分式的基本性质是：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，不是加减，所以乙错误；
丙：
，
，
，
经检验，是原方程的根，
所以丙正确；
丁：将中a、b的值都扩大到原来的2倍，可得：
，
即所得分式的值扩大到原来的2倍，故丁错误；
所以只有丙正确．
故选A．
【点睛】本题考查了分式的化简，分式的性质以及解分式方程，熟练掌握以上性质和方法是解题的关键．
8．C
【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：甲图的三角形与可以利用证明两个三角形全等；
乙图的三角形与可以利用证明两个三角形全等；
丙图的三角形与可以利用证明两个三角形全等；
∴甲、乙、丙三个三角形都和左侧全等，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
9．A
【分析】先根据步骤得，是的垂直平分线， 是的角平分线，再根据内角和求得 ，再根据角平分线的性质得，根据内角和求得，即可求得，再根据是的垂直平分线，即可求得结果．
【详解】解：由步骤①可知是的垂直平分线，由步骤②可知是的角平分线
，，
是的角平分线
，
是的垂直平分线
故选A．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键．
10．D
【分析】设两个相同的小长方形的两边长分别为a，b，通过计算证明①②③，针对④可列出面积S与x的关系式，然后根据完全平方式的非负性说明即可．
【详解】解：∵三块面积相等的小长方形，
∴EG＝GF，设EG＝FG＝a，AE＝HG＝DF＝b，
则EF＝2a，故BE＝FC＝b，无法得出BC＝2CF，故选项②错误；
此时③AE＝2BE，正确；
可得：b+b+b+b+b＝80﹣2（x+20），
解得：b＝10﹣x，
则AB＝（10﹣x）＝15﹣x，
故选项①错误；
长方形ABCD的面积为：S＝（15﹣x）（20+x）＝﹣x2+300，
∵﹣x2≤0，
∴当x＝0，即BC＝20米时，S的最大值为300平方米，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查与几何图形相关的整式运算，理解题意，找准图形间的数量关系是解题关键．
11．﹣8a6
【分析】根据积的乘方的运算法则进行计算即可得.
【详解】解：（﹣2a2）3
=（-2）3 （a2）3
=﹣8a6，
故答案为：﹣8a6.
【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键.
12．a，b，c
【分析】根据边边边公理可以判断两个三角形全等，即可以画到一样的三角形玻璃装饰物，从而可得答案．
【详解】解：分别测量原来三角形玻璃装饰物的三条边的长度，可以画到一样的三角形玻璃装饰物．
故答案为：a，b，c
【点睛】本题考查了全等三角形判定的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
13．
【分析】逆用同底数幂的除法和幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴====．
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
14．（7，4）
【分析】作CD⊥x轴于点D，证明△BOA≌△ADC（AAS），即可求解．
【详解】解：作CD⊥x轴于点D，则∠CDA=90°，
∵A（4，0），B（0，3），
∴
是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
又∵∠BAD+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∠BAD+∠CAD=90°，
在△BOA和△ADC中，
∴△BOA≌△ADC（AAS），
∴BO=AD=3，OA=DC=4，
∴点C的坐标为（7，4）；
故答案为：（7，4）
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．16
【分析】判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算即可求得答案.
【详解】由题意可得：
[2☆（﹣4）]☆1
=2﹣4☆1
=☆1
=（）﹣1
=16，
故答案为16．
【点睛】本题考查了新定义运算、负整数指数幂，弄清题意，理解新定义运算的规则是解决此类题目的关键.
16．(1)a2+a﹣6；
(2)9a2﹣4b2+20b﹣25
【分析】(1)根据幂的乘方及同底数幂的除法法则、多项式与多项式的乘法法则进行运算，即可求得；
(2)根据平方差公式及完全平方公式，进行运算即可求得．
【详解】（1）解：(﹣a2)3÷a4+(a+2)(2a﹣3)
＝﹣a6÷a4+2a2﹣3a+4a﹣6
＝﹣a2+2a2﹣3a+4a﹣6
＝a2+a﹣6；
（2）解：(3a+2b﹣5)(3a﹣2b+5)
＝[3a+(2b﹣5)][3a﹣(2b﹣5)]
＝(3a)2﹣(2b﹣5)2
＝9a2﹣(4b2﹣20b+25)
＝9a2﹣4b2+20b﹣25．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，在进行运算时注意符号是否有变化．
17．，-5.
【分析】直接将括号里面进行通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】原式
，
当，2时分式无意义，
将，代入原式得：
则原式．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
18．；；等式的性质；；；；；已证；；全等三角形的对应角相等．
【分析】求出，利用证明，根据全等三角形的对应角相等可得结论．
【详解】证明：∵（已知），
∴（等式的性质），
即，
在和中，，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：；；等式的性质；；；；；已证；；全等三角形的对应角相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．(1)坐标系见解析，
(2)画图见解析，5.5
【分析】（1）根据A、C的坐标先建立坐标系，再写出点B的坐标即可；
（2）先根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接，利用割补法求出对应的三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图所示坐标系即为所求，点B的坐标为
（2）解：如图所示，即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，三角形面积，正确建立坐标系是解题的关键．
20．(1)；
(2)分式方程无解．
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（）按照解分式方程的步骤解答即可求解；
（）按照解分式方程的步骤解答即可求解；
【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母得，，
解得，
检验：把代入最简公分母得，，
∴是分式方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母得，，
解得，
检验：把代入最简公分母得，，
∴不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
21．60千米
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为千米，则采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为为千米，根据使用新的快速充电技术续航里程300千米的充电时间比采用过去的充电技术续航里程240千米的充电时间节省1分钟，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设采用过去的充电技术，每分钟充电量的续航里程为千米，则采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为为千米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：采用新的快速充电技术，每分钟充电量的续航里程为60千米．
22．（1）见解析；（2）90°
【分析】（1）求出5=6，根据平行线的判定得出即可；
（2）由平行线的性质求出，再根据平角的定义求出，求出，然后根据根据三角形内角和等于即可求出的度数
【详解】（1） AB∥CD（已知），
∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∠1＝∠2，∠3=∠4（已知），
1=∠2=∠3=∠4（等量代换），
180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4，
即：∠5=∠6（等量代换），
m∥n（内错角相等，两直线平行）；
（2），理由如下，如图
m//n，
∠EAC+ ∠FCA=180°，
∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠4+∠FCA=180°+180°=360°，
∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
2(∠2+∠3)=180°，
∠2+∠3=90°，
∠ABC+∠2+∠3=180°，
∠ABC=180°-∠2-∠3=180°-90°=90°
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
23．【探究】AM＋BN＝MN，证明见解析；（1）AM＋BN＝MN，证明见解析；（2）BN AM＝MN，证明见解析
【分析】探究：延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；
（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；
（2）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可．
【详解】探究：AM＋BN＝MN，
证明：延长CB到E，使BE＝AM，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD＝90°，
在△DAM和△DBE中
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE.
∵∠MDN＝∠ADC＝60°，
∴∠ADM＝∠NDC，
∴∠BDE＝∠NDC，
∴∠MDN＝∠NDE.
在△MDN和△EDN中，
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE.
∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN，
∴AM＋BN＝MN．
解：（1）AM＋BN＝MN.
证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，
∠ACD＝45°，，。
∠MDN＋∠ACD＝90°，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠DBE＝90°.
∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA.
∵∠MDN＝∠BDC，
∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB.
在△DAM和△DBE中,
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE.
∵∠MDN＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠ADC＝90°，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，
∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE.
∵∠CDM＝∠NDB
∴∠MDN＝∠NDE.
在△MDN和△EDN中,
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE.
∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN，
∴AM＋BN＝MN．
解：（2）BN AM＝MN，
证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，
∠ACD＝45°，，
∠MDN＋∠ACD＝90°.
∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°，
∴∠MDN＝∠CDA.
∵∠ADN＝∠ADN，
∴∠MDA＝∠CDN.
∵∠B＝∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠DAM＝90°.
在△DAM和△DBE中
∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE.
∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，
∴∠MDN＝∠EDN.
在△MDN和△EDN中,
∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE.
∵NE＝BN BE＝BN AM，
∴BN AM＝MN．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等是解题的关键．
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