2024-2025学年河南省创新发展联盟高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省创新发展联盟高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，若，则( )
A. B. C. D.
3.葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄、多子多福如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上、中、下三个几何体的高度之比为：：，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为
A.
B.
C.
D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则“”是“是递增数列”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
7.已知正三棱锥中，，，两两垂直，，点满足，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足：，且，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数在复平面内对应的点在直线上，则( )
A. B. 是纯虚数 C. D.
10.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 若在上单调递增，则的取值范围是
B. 若在上恰有个零点，则的取值范围是
C. 若在上的值域为，则的取值范围是
D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是
11.已知定义在上的函数满足：不恒为，为的导函数，则( )
A. B. 为偶函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与平面交于点，上的不同两点，在上的射影分别为，，若，则与所成角的大小为______．
13.近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点某直播平台第一年初的启动资金为万元，当年要再投入年初平台上的资金的作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本万元假设每年的运营成本相同，将剩余资金继续投入直播平台，要使在第年年底扣除运营成本后资金不低于万元，则每年的运营成本应不高于______万元结果精确到万元，参考数据：
14.已知是上的偶函数，为的导函数，，若，，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，为棱上一点，且．
求证：平面；
著，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积．
16.本小题分
已知函数及点．
若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程；
若过点与的图象相切的直线恰有条，求的值．
17.本小题分
如图，在五棱台中，平面，，，，，，．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为．
求角；
若为锐角三角形，求的最大值；
利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：，这些公式在三角式的化简中有重要作用若等于边上的高，求的值．
19.本小题分
若无穷数列，的各项均为整数，且满足，则称，是“和谐数列”．
若，求证：，是“和谐数列”；
若是等比数列，求证：，不是“和谐数列”；
若，，，，，，将的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列；将的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列，求证：，是“和谐数列”．
参考答案
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15.解：证明：在四棱锥中，底面是等腰梯形，
，，，为棱上一点，且，
，
连接，，，
，且平面，平面，
平面．
四边形是等腰梯形，，
，
，，≌，
，且，即，
在平面中，作，，垂足分别为，，
则，，
，，可得，
绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为的圆锥的侧面积之和，
所得几何体的表面积为．
16.解：点在的图象上，，
由，得，则，
曲线在点处的切线方程为，即；
设过点的直线与的图象切于点，
则切线的斜率，
的方程为，
把点的坐标代入，得，
由题意可得关于的方程有两个不等的实根．
设，则，
令，得，或，则在，上单调递增，
令，得，则在上单调递减．
的极大值为，的极小值为，
方程有两个不等实根，则，或，
即的值为或．
17.证明：因为平面，平面，
所以，
在中，，
所以，
同理，可得，，
所以，
所以，
又，平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以；
解：由知，，，两两垂直，
以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由可得，，
因为，所以，所以，
所以，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，
所以为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，，
，，，
所以，．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：因为，
所以由正弦定理得：，
因为，所以，所以，
所以，即，
又因为，所以．
由知，所以，
因为为锐角三角形，所以解得，
所以
，
所以，所以当，即时，取得最大值，且最大值为．
由知，因为等于边上的高，
所以，所以，
由正弦定理得：，
因为，所以，所以，
又，
，
所以，解得或舍，
所以．
19.解：证明：当为正偶数时，设，因为，
所以；
当为正奇数时，设，
因为，
所以．
综上所述，，
因此，所以数列，是“和谐数列”；
证明：由于，因此，，
假设数列，是“和谐数列”，那么存在，使得，
由于数列是等比数列，因此，从而，因此．
由于存在，使得，又因为或，
因此或，
如果，由于，且数列是等比数列且各项均为整数，那么，，
因此公比为，所以，显然，与假设矛盾；
如果，由于，且数列是等比数列且各项均为整数，
那么，为数列中的相邻两项，并且公比为，
因此不是整数，
因此数列中存在不是整数的项，与题意不符．
综上所述，数列，不是“和谐数列”；
证明：对于任意，必存在，使得，
由于，，，，，，
那么中最大的值为，
最小的值是，共个不同的值，
因此可以取到中的所有整数．
由于，对每一个，存在唯一一组，，，，，，
使得，
若为奇数，令，
则，
其中为中一项，
设为为中一项，设为，所以；
若为偶数，令，则，
其中为中一项，
设为为中一项，设为，所以．
综上所述，对于，
所以是“和谐数列”．
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