2025年中考数学一轮复习 -第三章 函数-第四节 反比例函数及其应用 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
第三章 函数
第一部分 中考考点梳理
第四节 反比例函数及其应用
2025年中考数学一轮复习
考点梳理
1.反比例函数的概念［基础点］
一般地，形如为常数，的函数，叫做反比例函数，其中是自
变量，是函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数解析式
也可以写成.
回练课本
1.下列函数中,变量是 的反比例函数的是( )
C
A. B. C. D.
2.反比例函数的图象与性质［重点］
表达式 为常数且
图象 ______________________________________ _____________________________________________
分布在两个不同象限的双曲线. 所在象限 第①________象限 （， 同号）. 第②________象限（， 异号）.
性质 在每一个象限内, 随 的增大而减小. 在每一个象限内,随 的增大而增大.
一、三
二、四
对称性 中心对称:反比例函数的图象关于坐标原点成中心对称，如双曲
线一支上的点关于原点的对称点 在双曲线的另
一支上.
轴对称:反比例函数的图象关于直线和直线 对称，
如双曲线上的点关于直线的对称点 ，关于
直线的对称点 也在双曲线上.
【易失分点】 判断反比例函数增减性时忽略象限
反比例函数的图象不是连续曲线,而是两支分布在不同象限的曲线,所以要在
每个象限内讨论函数的增减性.
2.（1）如图，正比例函数 的图象与反比例函数
的图象相交于,两点．已知点的横坐标是 ，则
点 的坐标是( )
C
A. B. C. D.
回练课本
（2）已知反比例函数 ，有下列结论：
①图象经过点 ；
②图象与轴, 轴都没有交点;
③随 的增大而增大；
④图象关于直线 对称;
⑤若点，均在该函数的图象上，且，则 .
其中正确的是________.（填序号）
①②④
3.反比例函数中 的几何意义［重点］
（1）的几何意义：在反比例函数 的图象上任
取一点，如图，过点分别作轴、轴的垂线 ，
，垂足分别为,,连接,则 ，
.
（2）与双曲线上的点有关的图形的面积
__________________________________ __________________________________ _________________________________
③___ ④___ ⑤_____, ⑥____
3.如图,过轴正半轴上的任意一点作 轴的平行线,分别与反
比例函数和的图象交于点和点,若点是 轴
上任意一点,连接,,则 的面积等于___.
3
回练课本
4.反比例函数解析式的确定［重点］
（1）利用待定系数法确定
.设所求反比例函数的解析式为；
.找出此函数图象上一点；
.确定反比例函数的解析式为.
（2）利用反比例函数中的几何意义确定
先根据题中图形面积及的几何意义，求得，再根据函数图象所在的象
限确定的符号,从而确定的值.
4.如图，反比例函数的图象经过的顶点，在 轴上，
若点，，则实数 的值为____.
回练课本
5.反比例函数的实际应用 ［难点］
5.某闭合电路中，电压恒定，电流与电阻 之间的函数关系如图所示.
（1）电流与电阻 之间的函数表达式为______.
（2）如果允许通过的电流不超过，那么电阻 的范围为___________.
回练课本
考法1 反比例函数的图象与性质
例1 已知反比例函数 .
（1）对称性.
①若直线与反比例函数图象的一个交点为点 ,则另一个交
点的坐标为_________，方程 的解为________.
②如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与
交于,两点，且点,都在第一象限.若,则点 的坐
标为______.
③若点在反比例函数的图象上,求证：与点关于原点对称的点
也在该函数的图象上．
证明： 点,点, 关于原点对称，
点的坐标为 .
点在反比例函数 的图象上，
.
，
点 也在该函数的图象上．
（2）增减性.
①当时，在每个象限内，随的增大而______;若点， 在
该函数图象上，则___（填“ ”“ ”或“ ”）.
减小
②当时，随的增大而增大，则___0（填“ ”“ ”或“ ”）;若点
,,都在该函数图象上，则,, 的大小关系是
_____________.
③若点，是函数在第一象限内的图象上两点，则___
（填“ ”“ ”或“ ”）.
④当时，，则 的值为____.
（3）图象共存.
反比例函数与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能
是______（填写序号）.
①④
解题通法
利用反比例函数的性质比较函数值大小的方法
1.求值法:如果已知反比例函数中的 值,可以直接把相应点的横坐标代入反比
例函数解析式求函数值,再进行大小比较即可.
2.如果反比例函数中的 值未知:
①特殊值法:可以根据所给的的取值范围,取 的特殊值,再用求值法进行比较.
②图象法:如果给定的点都在同一象限,可以直接利用反比例函数的增减性进
行比较;如果给定的点不能确定是否在同一象限,则要画出草图,再根据函数的
图象并结合点的位置进行综合考虑.
考法2 反比例函数与一次函数的综合
例2 [2024泰安中考改编] 如图，直线 与反比
例函数的图象相交于点，，与轴交于点 .
（1）求直线 的表达式；
[答案] 反比例函数的图象过点， ，
，，， ，
， .
把，分别代入 ，
得解得
直线的表达式为 .
（2）若，则 的取值范围为___________________;
或
（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求 的面积.
[答案] 对于，当时，， .
轴， 点 的纵坐标为3.
将代入中，得 ，
，
.
解题通法
解反比例函数与一次函数综合题的一般方法
对于反比例函数与一次函数综合题，一般的设问有：求函数解析式，求不等
式的解集，比较函数值的大小,求与图形面积相关的问题等.解决这些问题的
一般方法如下.
1.求函数解析式时，一般根据一个已知交点的坐标求得反比例函数的解析式，
再由反比例函数的解析式求得另一个交点的坐标，最后将这两个交点的坐标
分别代入一次函数的解析式中求解即可.
2.求不等式的解集，实质是已知两函数的大小，判断自变量的取值范围，只
需以交点为界限，观察交点左、右两侧的两函数图象的上、下位置关系，从
而得出自变量的取值范围.
3.求与图形面积相关的问题时，需注意以下几点：
（1）要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长；
（2）对于不能直接求解的图形的面积，往往将其分割为能直接求解的图形
的面积进行求解；
（3）要注意 的几何意义的应用.
考法3 反比例函数中 的几何意义
例3 如图，点是双曲线 上一点.
（1）过点作轴的垂线，垂足为 .
图（1）
①如图（1），过点作轴于点，若四边形 的面
积为2，则 的值为___.
2
②如图（2），点为轴上任意一点，若的面积为1，则 的值为___.
2
图（2）
（2）过点作轴的平行线，与双曲线交于点 .
①如图（3），连接，，若的面积为1，则 的值为___.
2
图（3）
图（4）
②如图（4），分别过点,作轴的垂线，垂足分别为, .
若四边形的面积为2，则 的值为___.
2
（3）过点作轴的平行线，与双曲线交于点 .
①如图（5），连接，，若的面积为3，则 的值为___.
2
图（5）
图（6）
②如图（6），点,是轴上的两点，且 ，若四
边形的面积为6，则 的值为___.
2
解法提示：易知四边形 是平行四边形.
方法一:连接,，则 ,由（3）
①知 .
方法二:， ，
,解得 .
命题点1 反比例函数与几何图形综合［8年5考］
1.[2024福州质检] 在平面直角坐标系 中,反比例函数
和反比例函数 的图象如图所示.一条
垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于, 两点,则
的面积是( )
B
A. B. C. D.
2.[2023福建中考，9] 如图，正方形的四个顶点分别位于两
个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数
的值为( )
A
A. B. C. D.3
3.[2024泉州质检] 在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点 在反
比例函数的图象上，原点是边的中点.若点在反比例函数 的
图象上，则 等于( )
A
A. B.3 C. D.
4.[2023三明质检] 如图,的顶点,分别在轴和轴上,点 在第一象
限内，若双曲线经过点,则 的面积为___.
4
（第4题）
5.[2024莆田质检] 如图，过原点的直线与反比例函数和 的图象在
第一象限内分别交于点，．过点作轴于点，过点作 ，
交的延长线于点．若的面积为,则 ___．
9
（第5题）
6.[2024南平质检] 如图,点,在反比例函数的图象上, 轴,
垂足为,,垂足为.若四边形的面积为8,,则 的值为
____.
（第6题）
命题点2 反比例函数的实际应用
7.[2024漳州质检] 在物理学中,电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互
相垂直的电场与磁场在空间中衍生发射的振荡粒子波,随着 技术的发展,依
靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波
长 （单位:）会随着电磁波的频率（单位: ）的变化而变化.下表是某
段电磁波在同种介质中,波长 与频率 的部分对应值:
频率 5 10 15 20
波长 60 30 20 15
该段电磁波的波长 与频率 满足怎样的函数关系 求出波长
关于频率 的函数解析式.
[答案] 由表格可知， ，
频率与波长 的乘积为定值300，则电磁波的波长 与频率 满足反比例
函数关系．
设 ，
当时，， ,
波长 关于频率的函数解析式为 .