2025年中考数学一轮复习 -第四章 三角形-第四节 等腰三角形与直角三角形 课件(共43张PPT)

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第四章 三角形
第一部分 中考考点梳理
第四节 等腰三角形与直角三角形
2025年中考数学一轮复习
考点梳理
1.等腰三角形和等边三角形［重点］
等腰三角形 等边三角形
性质 （1）两腰相等,两底角 ①______; （2）顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合 （简写成“三线合一”）; （3）是轴对称图形,有②____ 条对称轴. （1）三边都相等，三个内角都相
等,且都等于③_____;
（2）每条边上的中线、该边上的
高和该边所对角的平分线互相重
合;
（3）是轴对称图形,有④____条对
称轴.
相等
一
三
等腰三角形 等边三角形
判定 （1）有两条边相等的三角形是 等腰三角形. （2）有两个角相等的三角形是 等腰三角形. （1）三边都相等的三角形是等边
三角形.
（2）三个内角都相等的三角形是
等边三角形.
（3）有一个内角等于 的等腰
三角形是等边三角形.
面积 （为底边 上的高）. （为任意边 上
的高）.
【易失分点】 解决与等腰三角形有关的问题时的易错点
①已知等腰三角形的一个角，求其他角的度数时，要对该角是顶角还是底角
进行分类讨论.
②求等腰三角形的一条边：当已知等腰三角形的两边时，除了要确定哪条边
作为腰或底边外，还要判断是否满足三角形的三边关系.
回练课本
1.（1）如图（1），为等边三角形，延长到点，使 ．延
长到点，使．连接，，则 的度数是( )
图（1）
B
A. B. C. D.
（2）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长为 ，则
这个等腰三角形的腰长为( )
D
A. B. C.或 D.
图（2）
（3）如图（2），在 中，按以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交 ，
于，两点；②分别以点， 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线
3
交于点，过点作交的延长线于点．若， ，
则 ___．
2.直角三角形［重点］
直角三角形 等腰直角三角形
性质 （1）两锐角互余； （2）斜边上的中线等于斜边的一半； 角所对的直角边等于斜边的一 半； （4）勾股定理：直角三角形中两直角边 的平方和等于斜边的平方，即 （，为直角边， 为斜 边）. （1）两直角边相等；
（2）两锐角相等且都等
于 ；
（3）是轴对称图形，有
一条对称轴.
直角三角形 等腰直角三角形
判定 （1）有一个角为 的三角形是 直角三角形； （2）勾股定理的逆定理：若三角 形的三边长,, 满足 ，则该三角形是直角 三角形. 【拓展】 如果三角形的一边上的 中线等于这条边的一半，那么这 个三角形是直角三角形. （1）顶角为 的等腰三角
形是等腰直角三角形；
（2）有两个角是 的三角
形是等腰直角三角形；
（3）有一个角是 的直角
三角形是等腰直角三角形；
（4）两直角边相等的直角三
角形是等腰直角三角形.
直角三角形 等腰直角三角形
面积 （， 为直角边， 为斜边， 为斜边上的高）. （ 为直角边，
为斜边， 为斜边上的高）.
【解题通法】 解与直角三角形有关的计算题的常用思路
①当出现 角时,应想到 角所对的直角边是斜边的一半.
②当出现斜边上的中线时,要想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.
③作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数求线段长或角度.
④已知直角三角形的三边求斜边上的高时,用面积法求解.
⑤已知三角形为直角三角形,但没有明确直角顶点,则需要分类讨论.
图（1）
2.（1）如图（1），已知,边的长为4，以 为
边作正方形，设面积为.以为边作正方形 ，
设面积为.则 的值为____．
16
图（2）
（2）如图（2），点在的边上，点是 的
中点,连接，，若,, ,
,则 的长为____.
回练课本
图（3）
（3）如图（3），在中，是 边上的点，
，，分别是,边的中点，若，则
的长为___.
3
图（4）
（4）如图（4），已知 ，点在边 上，
，点，在边上，.若 ，则
的周长是____.
16
考法1 与等腰三角形有关的证明与计算
例1 在中， .
（1）如图（1），若的顶点，分别在，上，且 .
图（1）
①当 ， 时， 的度数为_____；
②当 时， 的度数为_____.
图（2）
（2）如图（2），若，该三角形的面积为15，点
是边上任意一点，则点到，边的距离之和 的
值为___.
5
图（3）
（3）如图（3），若, ，点在 上，且
，点为的中点，连接，则的长为____，
的周长为_________.
（4）如图（4），是边的中点，连接，平分交于点 ，过
点作交于点 .
图（4）
①若 ，则____ ；
②若,则 的长为___.
54
4
图（5）
（5）如图（5），若是边上一点， ,将
沿翻折，点的对应点为点,连接,当
是以为底边的等腰三角形时， 的度数为________
___.
或
[解析] 解法提示：, , .分两种情况讨论.
①当，且点在下方时，如图（1），设 ，则
, .又 ,
, , .
根据，可得 ， .
图（1）
②当，且点在上方时，如图（2），设 ，则
, , ,
.根据，可得 ，
.
图（2）
考法2 与直角三角形有关的证明与计算
例2 在中， .
（1）当点为 的中点时,
①连接，若 ，则____ .
②如图（1）,若 ,,于点,则 的长为___．
55
1
图（1）
图（2）
③如图（2），若 ，点是 边的中点，连接，，是
中边上的中线， ，则 的长为_ __.
④如图（3），过点作，垂足为，若，，则
的长为_ ___.
图（3）
考法2 与直角三角形有关的证明与计算
[解析] 解法提示：
方法一：在中， ，，， 由勾股定
理得是 的中点，
.设 ，由勾股定理得
，解得， ．
方法二：的面积.是 的中
点，的面积的面积. 在 中，
， ，， 由勾股定理得
， ，
．
（2）如图（4），若,,点在边上，将沿 折叠得到
,与边交于点.若为直角三角形,则 的长是______.
2或5
图（4）
解题指导
（2）当为直角三角形,且直角顶点不确定时,需分情况讨论.
[解析] 解法提示：根据题意，易得.由折叠的性质可得 ，
．由题意知，可分两种情况讨论.①如图（1），当
时，过点作交的延长线于点，则四边形
为矩形．设，则，.在
中，，即，解得，
（舍去），.②如图（2），当 时，点与点 重合．
，，．设，则 ．在
中，，即，解得 ，
．综上， 的长为2或5.
图（1）
图（2）
命题点1 与等腰三角形有关的证明与计算［8年6
考］
（第1题）
1.[2020福建中考，5] 如图,是等腰三角形 的顶角
平分线,,则 等于( )
B
A.10 B.5 C.4 D.3
（第2题）
2.[2024龙岩质检] 如图，中，,
于点，点是的中点，连接 ，则下列结论不一定
正确的是( )
A
A. B.
C. D.
命题点2 与等边三角形有关的证明与计算［8年4
考］
（第3题）
3.[2018福建中考，5] 如图，等边三角形中, ,垂
足为点,点在线段上， ,则 等于
( )
A
A. B.
C. D.
4.[2023南平质检] 在等边三角形中，点，分别是边， 的中点，
若的周长为12，则 的周长为( )
C
A.3 B.4 C.6 D.9
5.[2024宁德质检] 如图，在等边三角形中，为的中点， 于
点，，则 的长是____．
20
（第5题）
6.[2023三明质检] 如图,为等边三角形,点在 边上.
（1）在内部求作点,使得是以 为底边的等腰直角三角形;
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
[答案] 如图（1），点 即为所求作的点.
图（1）
（2）在（1）的条件下,连接,,延长交于点,若 ,求证:
.
图（2）
证明：如图（2），
为等边三角形， 为等腰直角三角形，
， , ,
,
.
, ,
,
,
.
，
,
，
．
图（2）
命题点3 与直角三角形有关的计算［8年6考］
7.[2024宁德质检] 在中， ，，，则 的
长是( )
C
A. B.11 C.13 D.17
（第8题）
8.[2022泉州质检] 如图，在矩形中，点在边 上，点
是的中点，，，则 的长为
( )
C
A. B. C. D.
（第9题）
9.[2024漳州质检] 如图,在和 中,
,,相交于点,,分别是 ,
的中点,连接,,.若点为 的内心,
,则下面结论错误的是( )
D
A. B.
C. D.
新课标 新考向
【新课标·项目式学习】[2024滨州中考] 【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若，，则有 ；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得 ，即知
．若把①中的替换为 ，还
能推出 吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出 ，
并分别提供了不同的证明方法．
小军
证明：分别延长，至， 两点，使得……
小民
证明： ，
与 均为直角三角形,
根据勾股定理，得……
【问题解决】
备用图
（1）完成①的证明；
证明： ，
.
在和中，
，
.
（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．
[答案] 补充完整小军的证明过程如下：
分别延长，至，两点，使得， ，如图所示.
，
，即 .
， .
在和中，
， .
， ，
， .
又， ，
.
补充完整小民的证明过程如下：
，与 均为直角三角
形，
根据勾股定理，得 ，
，
，
.
，
，
，
，
，
.
又 ，
，
．