2025年中考数学一轮复习 -第四章 三角形-第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第四章 三角形
第一部分 中考考点梳理
第六节 锐角三角函数及其应用
2025年中考数学一轮复习
考点梳理
1.锐角三角函数［基础点］
如图，在中， ，为中的一个锐
角，，，的对边的长度分别是，，，则：
的正弦： .
的余弦： .
的正切： .
回练课本
1.在中， ，，，分别为，， 的对边，下列各式
成立的是( )
B
A. B. C. D.
2.特殊角的三角函数值［基础点］
三角函数 ________________________________________
_______________________________________
①_ __ ②_ __ ③_ __ ④__ ⑤___
1
2.计算：
（1） ．
[答案] 原式
.
（2） ．
[答案] 原式
.
回练课本
3.解直角三角形的常用关系［基础点］
三边关系 （勾股定理） ___________________________________________
两锐角间的关系 ⑥_____ 边角关系 ; ⑦__; ⑧__; ⑨__ 面积关系
3.已知在中，，，分别是，， 的对边．
（1）若 ，，，则 的度数为_____.
（2）若 ，，，则 的值为_____．
回练课本
4.锐角三角函数的实际应用［重点］
（1）仰角、俯角：如图，在同一铅垂面内视线和水平线的
夹角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方
的是俯角.
（2）坡度（坡比）、坡角：如图，坡面的垂直高度 和水
平宽度的比叫坡度（坡比），记作，即 ；坡面与水
平线的夹角 叫坡角，则 .
（3）方位角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或
正南方向线作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的角
（一般指锐角），通常表达成北（或南）偏东（或西）.
如图，点在点的北偏西 的方向,点在点 的北偏东
的方向（或东北方向）,点在点的南偏西 的方向.
图（1）
4.（1）如图（1），斜坡的长为10米，坡度 ，坡顶有一
棵竖直的树，在坡底点处测得树顶的仰角为 ，则树
的高度约为____米．（结果精确到0.1米．参考数据： ）
7.8
回练课本
（2）如图（2），海中有一个小岛.一艘轮船由西向东航行，在 点测得小
岛在北偏东 方向上;航行到达点，这时测得小岛 在北偏东
方向上.小岛到航线的距离是_____ ,结果精确到
.
10.4
图（2）
考法 锐角三角函数的实际应用
例1 [2024江西中考] 图（1）是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术
中心主体建筑,其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗,寓意“万瓷之母”.如图
（2）,“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底 组成.已知
,,是太阳光线,,,点,,, 在同一条直线上.
经测量,,,, .
（结果精确到 ）
图（1）
图（2）
（1）求“大碗”的口径 的长;
[答案] , ,
.
又 ,
四边形 是平行四边形,
.
, ,
,
,
即“大碗”的口径为 .
（2）求“大碗”的高度 的长.
（参考数据:,, ）
[答案] 如图，过点作于点 ,则
.
四边形 是矩形,
,
.
,
,
四边形 是矩形,
,, .
,
,
,
,
即“大碗”的高度约为 .
例2 [2024广东中考] 中国新能源汽车为全
球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大
贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区
增设了充电站,如图是矩形充电站的平面示意图,矩形 是其中一个
停车位.经测量, ,,, , 是另一个
车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题:（结果精确到,参考数据: ）
（1）求 的长;
[答案] 四边形, 是矩形，
, .
又 ，
，
.
在中， ,
.
在中， ,
.
在中， ，
，
.
（2）该充电站有20个停车位,求 的长.
[答案] 在中， ,
.
在中， ,
，
.
图（1）
例3 [2024苏州中考] 图（1）是某种可调节支撑架， 为水平
固定杆，竖直固定杆,活动杆可绕点旋转， 为液
压可伸缩支撑杆，已知,, .
（1）如图（2）,当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆 的长度
（结果保留根号）;
图（2）
[答案] 如图（1），过点作，垂足为 .
由题意可知， .
又, 四边形 为矩形.
，,, .
, ，
在中， .
可伸缩支撑杆的长度为 .
图（1）
（2）如图（3）,若活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度 ,且
（ 为锐角）,求此时可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）.
图（3）
图（2）
[答案] 如图（2），过点作,交 的延长线于
点，交于点 .
由题意可知，四边形为矩形， .
在中，， ，
.
，, ,
, ,
, ,
在 中，
.
此时可伸缩支撑杆的长度为 .
命题点 锐角三角函数的实际应用［8年4考］
（第1题）
1.[2021福建中考，3] 如图，某研究性学习小组为测量学
校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点 ，利
用测量仪器测得 ， ， .据此，
可求得学校与工厂之间的距离 等于( )
D
A. B. C. D.
（第2题）
2.[2022福建中考，9] 如图所示的衣架可以近似看成一
个等腰三角形,其中, ,
,则高约为（参考数据: ,
, ）( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
3.[2023宁德质检] 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意
图.自动扶梯的长为，倾斜角为 ，则自动扶梯
的垂直高度 等于( )
C
A. B.
C. D.
4.[2024福建中考，16] 无动力帆船是借助风力前行的.如图
是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与
风向所在直线的夹角为 ,帆与航行方向的夹角
为 ,风对帆的作用力为.根据物理知识，
128
可以分解为两个力与,其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力 又
可以分解为两个力与,与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； 与航行方
向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大
小，据此，建立数学模型：,则_____. （单位： ）
（参考数据：, ）
5.[2024厦门质检] 为创造美丽环境，某社区将辖区内一四边形闲置区域改造
为一个生态景观区，平面示意图如图所示．景观区建有一个四叶草形生态水
池及一座雕塑，水池内点处建有观景台，， 是两条通往观景台的步
行道，其中步行道与边 垂直，四边形内其他区域铺设草坪．观景台上
安装了一盏广角灯，四边形 是广角灯夜间开启时灯光所覆盖的区
域．小梧从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光
影效果，对该广角灯的要求是：照射角为 ．他想验证该广角灯是
否符合要求，于是利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数
据如下表所示．
备用图
所测的量
长度/ 15.00 15.00 17.32 17.32 6.00 24.00
（1）步行道与边 是否也垂直？请说明理由.
[答案] 与 也垂直.
理由：如图，连接 ，
由测量数据可知, .
．
又, ，
．
．
．
（2）根据所测得的数据，小梧能否完成验证？若能，请帮小梧完成验证；
若不能，请说明理由．（参考数据： ）
[答案] 小梧可以完成验证，过程如下：
如图，过点作，垂足为点 ．
在中，, ，
,
．
．
在中， , ，
, ．
．
在与中， ，且
，
，
．
．
即 ．
由（1）可知， ，
．
故该广角灯符合要求．