2025年中考数学一轮复习 -第六章 圆-第二节 与圆有关的位置关系 课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
第六章 圆
第一部分 中考考点梳理
第二节 与圆有关的位置关系
2025年中考数学一轮复习
考点梳理
1.点与圆的位置关系［基础点］
设圆的半径为,点到圆心的距离为,则点和圆的位置关系如下表所示:
点与圆的位置关系 图形 与 的关系
点 在圆内 __________________________
点 在圆上
点 在圆外
【拓展】 平面内与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆心连线所在的直
线上.如上图，点与上距离最大和最小的点分别是点和点 .
回练课本
1.（1）已知的半径为，点到点的距离是，那么点与
的位置关系是( )
A
A.点在的内部 B.点在 的外部
C.点在 上 D.以上三种都有可能
（2）点是非上一点，若点到上的点的最小距离是 ，最大距
离是，则的半径是_________ ．
6.5或2.5
2.直线和圆的位置关系［重点］
（1）直线和圆的位置关系
设圆的半径为,圆心到直线的距离为 ,则直线和圆的位置关系如下表所示:
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
图形 _________________________________ _________________________________ ________________________________
与 的关系 ①___ ②___ ③___
公共点的个数 2 ④___ 0
1
（2）切线
①定义:直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫
做圆的切线,这个点叫做切点.
②性质与判定
性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
判定 .和圆只有⑤____个公共点的直线是圆的切线.
.如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑥______，那么这条直线
是圆的切线.
.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
一
半径
③切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这
点到圆的切线长.
④切线长定理（选学内容）:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长
相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
2.（1）已知的半径为3，点是直线上的一点，，则直线与
的位置关系是____________.
相切或相交
图（1）
（2）如图（1），是的直径，是的切线，点 在
上．若 ，则 的度数是_____.
回练课本
图（2）
（3）如图（2），，分别与相切于， 两点，
点为上一点，连接，，若 ，则
的度数为_____.
3.三角形的外心和内心［基础点］
三角形的外心 三角形的内心
概念 三角形外接圆的圆心. 三角形内切圆的圆心.
作法 ____________________________ 三角形三条边的垂直平分 线的交点. ______________________________________
三角形三个内角的平分线的交点.
三角形的外心 三角形的内心
性质 三角形的外心到三角形三 个顶点的距离相等. 三角形的内心到三角形三条边的
距离相等.
位置 外心不一定在三角形内. 内心一定在三角形内.
常用角度关系
【特例】 直角三角形的外心为其斜边的中点,其外接圆的半径 ;其内切
圆的半径（其中,为直角边长, 为斜边长）.
图（1）
3.（1）如图（1），内接于， ，
，则 的直径长为____.
12
图（2）
（2）如图（2），是的内切圆， ，则
的度数为______.
回练课本
4.正多边形和圆的相关计算［基础点］
设正边形的边长为，其外接圆的半径为，边心距为.
边心距 或 ___________________________________
正 边形的周长 正 边形的面积 每个内角的度数 正 边形中心角的度数 正 边形每个外角的度数 【特例】 设正边形的边长为，外接圆半径为.则正六边形： ；正方
形：；正三角形： .
图（1）
4.（1）如图（1），若正方形 的边长为6，则其外接圆半
径与内切圆半径 的比值为____.
图（2）
（2）如图（2），正五边形内接于，点在 上，
则 的度数为_____.
回练课本
考法 切线的性质与判定
例1 [2024陕西中考] 如图,直线与相切于点,是的直径,点, 在
上,且位于点两侧,连接,,分别与交于点,,连接, .
（1）求证: ;
证明： 直线与相切于点 ，
，
.
是 的直径，
，
，
.
（2）若的半径,,,求 的长.
[答案] ，， .
， .
又， ，
， 是等腰直角三角形，
， .
连接 ,
是的直径， ，
.
， ，
.
又 ，
，
，即 ，
．
例2 [2024福州质检] 如图,在中,,为上一点.以为圆心,
长为半径的过点,交于另一点.若是的中点,求证:是 的切线.
证明：如图，连接， ．
，
是直径，
．
是 的中点，
．
又 ，
,
，
，
．
又 点为半径的外端点，是 的切线．
例3 [2024自贡中考] 在中， ，是 的内切圆，
切点分别为，， ．
图（1）
（1）图（1）中三组相等的线段分别是， ___，
____；若，，则 的半径长为___.
1
图（1）
解法提示：如图（1），连接，，设 的半径
为 ，
是 的内切圆，
，， .
在四边形中， ，
四边形 为矩形.
又 ，
四边形 为正方形,
，， .
在中，由勾股定理得 ，
，即 ，
解得 .
图（1）
（2）如图（2），延长到点，使，过点作 于点
．求证：是 的切线．
图（2）
图（2）
证明：如图（2），过点作于点 ，连接
，, .
，， ，
，
.
，
，即 .
在四边形中， ，
四边形 为矩形.
又 ，
四边形 为正方形,
， .
，
四边形 是矩形，
，
，即是 的半径.
，
是 的切线．
图（2）
解题通法
证明切线常用的两种方法
1.“有公共点,连半径,证垂直”.如果已知圆与直线有公共点,只要证明圆心与公
共点的连线与已知直线垂直即可.
2.“无公共点,作垂线,证半径”.如果已知条件中没有给出直线与圆存在公共点,
应过圆心向这条直线作垂线,然后证明垂线段的长度等于半径即可.
命题点1 切线的性质与判定［8年8考］
（第1题）
1.[2024福建中考，7] 如图，已知点,在 上，
,直线与相切，切点为,且为 的中点，
则 等于( )
A
A. B. C. D.
（第2题图）
2.[2023福州质检] 如图,中,是上一点,以 为圆
心,长为半径作半圆,与相切于点.若 ,
,则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
3.[2021福建中考，9] 如图，为的直径，点在
的延长线上，,与相切，切点分别为， .若
，，则 等于( )
D
A. B. C. D.
4.[2024漳州质检] 如图,是的直径,点在上,交于点 ,
为 的切线.
（1）求证: ;
证明：如图，连接 .
是 的切线，
．
是 的直径，
．
，
，
.
又 ，
．
，
，
．
（2）若,,求 的值.
[答案] 由（1）知 ， ，
．
， ，
，
.
， ，
,
，
，
．
5.[2023福建中考，21] 如图，已知内接于，的延长线交 于
点，交于点，交的切线于点，且 .
（1）求证： ；
证明：是 的切线，
，即 .
是 的直径，
，
.
，
，
，即 ，
.
（2）求证：平分 .
证明：与都是 所对的圆周角，
.
，
，
.
由（1）知， ，
，
平分 .
6.[2024泉州质检] 如图，是的直径，点在半径上，点在
上，，连接并延长至点，使得，与 的另一个交
点为 .
（1）求证：与 相切；
证明：， .
又， .
， .
是的直径， ,
， ，
，
.
又是的半径，与 相切.
（2）若，，求 的长．
[答案] 与都是 所对的圆周角，
.
在中， .
设，则， ,
，解得 .
经检验， 是原分式方程的解，
， .
在中，由勾股定理，得 ,
.
不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这
种思想得到了圆周率 的近似值为.如图， 的半径为1，运用“割
圆术”，以圆内接正六边形面积近似估
计的面积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，
可得 的估计值为( )
命题点2 正多边形与圆的相关计算［18年1考］
7.[2023福建中考，10] 我国魏晋时期数学家刘徽在“九章算术注”
中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方
法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于
C
A. B. C.3 D.