安徽模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（一）（含解析）

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安徽模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（一）
考试时间：100分钟 满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各线段能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．石墨烯（）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．两个三角形有两个角对应相等，正确的说法是（ ）
A．两个三角形全等 B．如果一对等角的角平分线相等，两三角形就全等
C．两个三角形一定不全等 D．如果还有一个角相等，两三角形就全等
6．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
8．如图，通过分割长方形拼接成正方形的方案，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
9．与《九章算术》的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行x尺，则列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（ ）

①若，则；②若，则；③若，则；④过点作于点，若，，则．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．把因式分解的结果是 ．
13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ．
14．已知是等边三角形，点在射线上（与点B，C不重合），和关于直线对称．
（1）如图1，当点D在线段中点时，连接，若，则 ．
（2）如图2，当点在延长线上时，延长到点，使，连接，交于点．若，则 ．
三、解答题
15．计算：
(1)；(2)．
16．先化简，再求值．，在范围中，选取合适的整数x代入求值．
17．下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题：
解分式方程：
解：……………………第一步
……………………第二步
………………………第三步
……
(1)第二步的解题依据是______；
A．分式的性质 B．等式的性质 C．单项式乘以多项式法则
(2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______；
(3)请写出该分式方程的正确解答过程．
18．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点坐标是，点坐标是．

(1)作关于轴对称的图形，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；
(2)动点P的坐标为，当为何值时，的值最小，并画出点．
19．如图，和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，且．

(1)求证：；
(2)如果．求证：垂直平分线段．
20．小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式．观察下面式子，完成以下问题：
，，，…
(1)请写出第10个式子：___________；
(2)请用含的式子表示第个式子：___________；
(3)计算：；
(4)思考：如果不是两个连续正整数的积的倒数又如何去解决呢，请类比上题的方法计算：．
21．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动.已知篮球的单价比足球单价的2倍少40元，用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍.
(1)求足球和篮球的单价；
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过17500元，学校需要最少购买多少个足球？
22．为了安全与方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，那么哪种加油方式更合算呢？请以两种加油方式各加油两次予以说明．
【分析问题】
“更合算”指的是两次加油后平均油价更低由于汽油单价会变，不妨设第一次加油时油价为元/升，第二次加油时油价为元/升．
①两次加油，每次只加200元的平均油价为：_______________元/升．
②两次加油，每次只加40升的平均油价为：_______________元/升．
【解决问题】请比较两种平均油价，并用数学语言说明哪种加油方式更合算．
23．如图，在中，，，直线经过点，如图1，直线与线段相交，于，于D，F是的中点，连接、．

(1)求证：；
(2)求证：且；
(3)当直线与线段不相交，如图2，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C B B A B C D
1．C
【分析】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意．
B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，直线是该图形的对称轴，本选项符合题意．
D、该图形是轴对称图形，直线不是该图形的对称轴，本选项不符合题意．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了科学记数法：把一个小于1的数表示成的形式（，n是正整数）；n的值为小数点向右移动的位数的相反数．根据科学记数法的定义，即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查幂的运算．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法，逐一进行计算后，判断即可．
【详解】解：A、，选项错误；
B、，选项错误；
C、，选项正确；
D、，选项错误；
故选C．
5．B
【分析】由三角形全等的判定定理SSS、SAS、AAS、ASA，结合各选项的说法即可作出判断．
【详解】A选项：两个角相等不能判定两个三角形全等，故本选项错误；
B选项：如果一对等角的角平分线相等，两三角形就全等，故本选项正确；
C选项：如果再有一条边相等，则两个三角形就可以全等，故本选项错误；
D选项：如果还有一个角相等，则满足AAA，而AAA不能判定全等，故本选项错误．
故选B．
【点睛】考查三角形全等的判定，属于基础题，解答此题关键是掌握三角形全等的判定定理，AAS、ASA、SSS、SAS、HL，注意AAA、SSA不能判定全等，
6．B
【分析】本题考查的是分式的基本性质．由、的值均扩大为原来的3倍，可得，分别扩大为3倍后为，，再代入各选项，利用分式的基本性质约分，从而可得答案．
【详解】解：、的值均扩大为原来的3倍，
A、，分式的值发生了变化，故本选项不符合题意；
B、，分式的值不变，故本选项符合题意；
C、，分式的值发生了变化，故本选项不符合题意；
D、分式的值发生了变化，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程．
n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．
【详解】解：设多边形的边数为n，依题意，得：
，
解得，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了平方差公式，根据题意算出长方形的面积，再算出正方形的面积，即可得解，理解题意，掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：长方形的面积：，
正方形的面积：，
即通过分割长方形拼接成正方形的方案，可以验证，
故选：B．
9．C
【分析】设善行者每刻钟行x尺，则不善行者每刻钟行尺，再根据善行者行800尺的时间与不善行者行600尺的时间相同列出方程即可．
【详解】解：设善行者每刻钟行x尺，则不善行者每刻钟行尺，
由题意得，，即，
故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
10．D
【分析】①过作交于，由角平分线的性质定理得，由判定，由三角形全等的性质得，再由等腰三角形的性质即可判断；②延长至，使得，连接，由线段垂直平分线的性质得，设，由等腰三角形的性质得，，是等腰三角形， 可判定延长至时，、、，三点共线，由，即可判断；③由三角形面积公式得，即可判断；④如图，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，即可判断．
【详解】解：①如图，过作交于，

，
平分，，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
，
；
故①正确；
②延长至，使得，连接，
，
，
，
，
，
设，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
过两点有且只有一条直线，
连接、的线段只有一条，
延长至时，、、，三点共线，
，
，
，
故②错误；
③由①得：
，
，
，
，
，
故③正确；
④如图，过作交于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
故④正确；
综上所述：①③④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等，掌握相关的判定及性质，能根据题意作出适当的辅助性，构建全等三角形是解题的关键．
11．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
12．
【分析】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
13．或/或
【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．
【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，，
当在内部时，如图1，
为高，
，
，
，
；
当在外部时，如图2，
为高，
，
，
，
，
而，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
故答案为：或．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
14． 4 2
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）由等边三角形的性质得出，，证，由等边三角形的判定可得出结论；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，证，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：（1）∵点D在线段中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵和关于直线对称，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：4；
（2）和关于直线对称．
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式运算．
（1）去括号，合并同类项即可求解；
（2）先计算幂的乘方、同底数幂的乘法，再合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．，当时，原式．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据题目所给的条件及分式有意义的条件得出x的值，代入计算即可．
【详解】解：原式．
在中，整数、2、3，
又，，，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
17．(1)B
(2)三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号
(3)见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算．
（1）根据去分母的基本原理进行解答即可；
（2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可；
（3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可．
【详解】（1）解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确；
故选：B．
（2）解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号．
（3）解：，
整理得：，
去分母得：
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
18．(1)见解析
(2)，图见解析
【分析】本题主要考查作图的轴对称，
根据关于y轴对称的性质，纵轴不变横轴变为相反数，分别找到对应点，连接即可；
点F和点C关于y轴对称，即转化为，即连接交y轴于点，结合图像可得t的值．
【详解】（1）解：见下图；
（2）动点的坐标为，则点在y轴上，
连接交y轴于点，
则，点P坐标为，如图．

19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定是解题的关键．
（1）证明，进而结论得证；
（2）如图，连接，证明，则，根据，可证垂直平分线段．
【详解】（1）证明：和都是等腰三角形，
，，
，
，即．
在和中，
∵，
，
．
（2）证明：如图，连接，

由（1）可知，，
又，
，
．
在和中，
∵，
，
．
点在的中垂线上．
∵，
点在的中垂线上，
垂直平分线段．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键．
（1）根据所给的式子的特点直接写出即可；
（2）通过观察所给的等式，可得一般规律为：；
（3）应用（2）的规律，将所求的式子变形为，再求和即可；
（4）灵活运用（2）的规律，将所求式子变形为：，再求和即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
第10个式子为：，
故答案为：；
（2）解：根据题意可得出第个式子为：，
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：
．
21．(1)足球的单价是80元，篮球的单价是120元；
(2)最少购买163个足球．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，利用数量总价单价，结合用1600元购买足球的数量是用1200元购买篮球数量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入中，即可求出篮球的单价；
（2）设购买个足球，则购买个篮球，利用总价单价数量，结合总价不超过17500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是80元，篮球的单价是120元；
（2）解：设购买个足球，则购买个篮球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为163．
答：最少购买163个足球．
22．【分析问题】①；②；【解决问题】，当时，两种加油方式均价相等；当时，每次加元更合算
【分析】分析问题：①计算出两次加油的总价元，总的加油量为升，从而得到两次加油的平均价格；②计算出两次加油的总价元，总的加油量为升，从而得到两次加油的平均价格；
解决问题：利用作差法可得，再判断的符号，从而可得结论．
【详解】解：分析问题：① 第一次加油时油价为元/升，
第一次加油的数量为：升，
第二次加油时油价为元/升，
第二次加油的数量为：升，
所以两次加油的平均价格为每升：（元）
故答案为：
②两次加油，每次只加40升的总价分别为：元，元，
所以两次加油的平均价格为每升：元，
故答案为：．
解决问题：
，为两次加油的汽油单价，故，
，即．
结论：当时，两种加油方式均价相等；当时，每次加元更合算．
【点睛】本题考查的是列代数式，分式的化简，分式的加减运算的应用，分式除法的应用，代数式的值的大小比较，掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)（2）中结论成立，理由见解析
【分析】（1）用证明，可得，，利用线段的和差关系即可完成；
（2）延长交于点，利用证明，得，,进而得，由（1）的结论即得，最后可得结论成立；
（3）延长交于点，用证明，得，,由（1），得，由等腰三角形的性质即得结论成立．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，，
．
在与中，
，
，，
，
即．
（2）证明：延长交于点，
，，
，
，
是中点，
，
在与中，，
，
，．
在中，是中点，
，．
而由（1），
，
又，
．

（3）证明：延长交于点，
，，
，
，
是中点，
，
在与中，，
，
，．
在中，是中点，
，
由（1），
，，
∴，
又，
．

【点睛】本题是全等三角形的综合；考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；构造全等三角形是本题的关键与难点．
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