安徽模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（二）（含解析）

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安徽模式2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷（二）
考试时间：100分钟 满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3.5 B．4，5，9
C．3，5，7 D．5，15，8
2．芜湖水稻种植历史悠久，素有“江南鱼米之乡”的美誉，也曾是“四大米市”之一，所产芜湖大米杍粒细长，晶莹剔透，蒸煮后清香扑鼻，柔韧可口．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．图中的两个三角形全等，则等于（ ）

A． B． C． D．
6．已知分式（，为常数）满足下列表格中的信息，则下列结论错误的是（ ）
的取值
分式的值 无意义 0 1
A． B．
C． D．
7．通过计算比较图中图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
9．植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值必（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．点 P（ 3，5）关于x 轴的对称点的坐标为 ．
12．若，则多项式的值是 ．
13．课本上的这幅插图直观验证了多边形的一条性质，它是： ．
14．已知分式．
（1）如果，那么的取值范围是 ．
（2）若，且，则的值为 ．
三、解答题
15．（1）计算：；（2）解方程：
16．如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明．
17．如图，的顶点在正方形网格的格点上．

画关于直线的轴对称图形（不写画法）；作中边上的中线（请用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹）
18．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
…………………………①
…………………………②
…………………………③
…………………………④
…………………………⑤
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第______步进行的是分式的通分，通分的依据是______；
②第______步开始出现错误．这一步错误的原因是______；
【任务二】③该分式化简后的正确结果为______
【任务三】④请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
19．已知：如图，在中，，点在上，点在边的延长线上，与相交于点．若，求证：．
20．小球悬挂处点到地面的距离是4米，小球从静止状态处开始摆动，摆动到最高点时，测得到的距离为3米，距离地面2.3米．
(1)求小球摆动到垂直于位置时到的距离；
(2)求到地面的距离，写出必要的推理过程．
21．如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．

(1)哪种小麦的单位面积产量高
(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长．
22．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出的展开式．
（2）利用上面的规律计算：
23．数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子：
已知，在等边三角形中，点E在上，点D 在的延长线上， 且
小星的思路是：
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系， 请你直接写出结论： （填“>”， “<”或“=”）；
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与 的大小关系， 请你写出结论： （填“>”，“<”或“=”）； 理由如下：（请你将理由补充完整）
证明：过点 E作交于点 F．
(3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点 D在线段的延长线上，且 ，若 的边长为2， ，求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B D D D A D B
1．C
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的判断，熟练掌握三角形三边的不等关系是解题关键．三角形任意一边小于其余两边之和，满足此关系则可组成三角形，据此进一步判断即可．
【详解】解：A：，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B：，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C：，能组成三角形，故该选项正确，符合题意；
D：，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
【详解】解：．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项；根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D
4．B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
5．D
【分析】根据为边a和边c的夹角和全等三角形对应角相等解答即可．本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，且为边a和边c的夹角，
∴．
故选D．
6．D
【分析】本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件，以及分式方程的解法，本题属于基础题型．把表格中的数据分别代入求解即可．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，
∴，故A正确；
当时，分式的值为0，
∴，
∴，故B正确；
当时，分式的值为1，
∴，
∴，
∴，故C正确，D错误．
故选D．
7．D
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式运算等知识点，先根据图1和图2，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键．
【详解】解：图1中的阴影部分的面积为，
图2中的阴影部分的面积为，
∴．
故选：D．
8．A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，由甲班植棵树所用的时间与乙班植棵树所用的时间相等，列方程即可求解．
【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，
根据题意可得：，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值为转化为．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，

∵平分，，，
∴，
∴，此时取最小值．
∵的面积为18，，
∴，
∴．
即的最小值为6，
故选B．
11．（-3，-5）
【分析】利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解．
【详解】解：P（-3，5）关于x轴的对称点的坐标是（-3，-5），
故答案为：（-3，-5）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．
【分析】将代数式化为，将代入代数式并求出代数式的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了代数式的求值，解题的关键在于找出代数式与已知条件的关系，根据已知条件求出代数式中的未知项，代入求解．
13．多（五）边形的外角和为或五边形内角和为
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，正确作出辅助线是解题的关键．连接，利用三角形内角和可得出五边形的内角和，利用邻补角的定义可求出五边形的外角和．
【详解】解：如图，连接，
的内角和的内角和的内角和
．
∵，，，，，
∴
．
∴从图可得多（五）边形的外角和为或五边形内角和为．
故答案为：多（五）边形的外角和为或五边形内角和为．
14． ； ．
【分析】（）将代入根据分式分母不为即可得到答案；
（）将代入根据分式方程，解方程即可；
此题考查了分式有意义的条件和解分式方程，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】（）当时，分式为，
要使分式有意义，则，解得：，
故答案为：；
（）当时，分式方程为，
则，
∴，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
15．（1）；（2）无解
【分析】本题主要考查了整式混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据分式混合运算法则进行计算即可；
（2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后进行检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
解：去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
16．；证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，然后根据证明即可．
【详解】证明：，理由如下
，
即，
在和中，
．
17．见解析
【分析】本题主要考查了轴对称作图，作三角形的中线，解题的关键是先作出点、B、C关于直线的对称点D、E、F，然后顺次连接即可；先作出的中点P，然后再连接即可．
【详解】解：如图，即为所求作的三角形，即为中边上的中线．

18．①：③；分式的基本性质；②：④；去括号时未改变1的符号；③；④分式化简时，若分子分母能因式分解，一定要先因式分解，再进行化简（答案不唯一）
【分析】本题考查分式的减法运算．掌握分式的性质和混合运算法则，是解题的关键．
任务一：①根据异分母加减时需要通分，通分运用的是分式的基本性质进行作答即可；
②去括号时，变号出现问题；
任务二：根据异分母的分式的减法法则，计算即可；
任务三：根据运算法则，提出合理建议即可．
【详解】解：任务一：①：第③步是通分，通分的依据是分式的基本性质；
故答案为：③；分式的基本性质；
②第④步开始出现错误，错误的原因是去括号时未改变1的符号；
故答案为：④；去括号时未改变1的符号；
任务二：③
；
故答案为：；
任务三：分式化简时，若分子分母能因式分解，一定要先因式分解，再进行化简（答案不唯一）．
19．见解析
【分析】本题主要考查平行线的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，过点作交于点，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论；
【详解】证明：过点作交于点，
，
，
在和中，
20．(1)1.7米
(2)1米
【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）过作于点，证明，得到米，即可求解；
（2）由（1）得米，再求解即可．
【详解】（1）过作于点，
在和中，
米
（2）由（1）知：米
故到地面距离为：米．
21．(1)“丰收号”小麦试验田的单位面积产量高；
(2)“丰收号”小麦试验田的边长为．
【分析】（）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高；
（）根据“高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍”列出分式方程，解方程即可求解；
本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，掌握分式的运算及分式方程的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：“丰收号”小麦试验田的单位面积产量为，
“丰收号”小麦试验田的单位面积产量为，
，
，，
∵，
∴，
∴，
答：“丰收号”小麦试验田的单位面积产量高；
（2）解：由题意可得，，
去分母，两边同乘，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：“丰收号”小麦试验田的边长为．
22．（1）;（2）1
【分析】（1）根据材料（a+b）2=a2+2ab+b2和（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式，可直接得出的展开式；
（2）根据材料的逆运算可得出答案．
【详解】（1）如图，
则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
=25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5．
=，
=1．
【点睛】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
23．(1)=，详见解析
(2)=，详见解析
(3)，详见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，
（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论；
（2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论；
（3）过点E作，交的延长线于点F，同（2）得是等边三角形，，则，，即可得出答案；
熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【详解】（1），理由如下：
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
过点E作，交于点F，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）的长为6；理由如下：
过点E作，交的延长线于点F，如图3所示：
同（2）得：是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：6．
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