湖南省“金太阳联考”2024-2025学年高二（上）12月联考数学试题（含答案）

湖南省“金太阳联考”2024-2025 学年高二（上）12 月联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
3
1.已知集合 = { | ≤ 0}， = { | = cos 2 }，则 ∩ =

A. [ 1,3] B. (0,3] C. (0,1] D. [0,1]
2.已知复数 在复平面内对应的点的坐标是(1,2)，则(1 + ) =
A. 3 + B. 3 C. 1 + 3 D. 1 3
3.已知正项等比数列{ }的前 项和为 ， 1 = 20，2 6 + 5 = 4，则 4 =
75 75
A. 50 B. C. D. 60
4 2
2 2
4.已知椭圆 ： + = 1，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为
4 3
A. 1 B. 2 C. √ 2 D. √ 2 1
5.在△ 中，点 在线段 上，且 = 3 ，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， ，若
= ， = ，则3 + =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1 1
6.在各项均不为零的数列{ }中， 1 = 1， 2 = ，2 4 +2 = +1 + +1 +2，若 = ，则 = 37
A. 13 B. 16 C. 19 D. 22

7.已知函数 ( ) = sin + √ 3cos ( > 0)，若 ( )在区间[ , ]上单调递增，则 的取值范围是
6 3
1 1 13
A. (0, ] B. (0,5] C. [ , 2] D. [5, ]
2 2 2
8.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ，过点 且倾斜角为30°的直线 与抛物线 的一个交点为 (
| |
位于 轴的右侧)，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，交抛物线 于点 ( 在线段 上)，则 =
| |
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法一定正确的是
2 2
A. 若 ≥ 2 > 0，则ln ln ≥ ln 2 B. 若 ≥ 2 ，则 3 ≥ (2 )3
| | | |
C. 若ln 2 > ln 2，则2| | > 2| | D. 若 > ，则2 < 2
2 2
10.已知正方体 1 1 1 1的棱长为2， 为侧面 1 1内(含边界)的一个动点， ， 分别是线段 1，
的中点，则下列结论正确的是
第 1 页，共 9 页
A. 1 的最大值为6
B. 过点 的正方体的截面有可能是正五边形
2
C. 当直线 与平面 1 1所成的角为 时，点 的轨迹长度为 4 3
D. 当 1 ⊥ 时，三棱锥 1 的体积为定值
11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其形状类似打
横的阿拉伯数字8，对应着数学曲线中的双纽线．在 平面上，把与定点 1( , 0)， 2( , 0)距离之积等于
2( > 0)的动点的轨迹称为双纽线， 是双纽线 上的一个动点，则下列结论正确的是
A. 双纽线 上不存在点 ，使得| 1| = | 2|
B. 双纽线 的图象关于 轴对称，关于 轴对称，也关于原点对称
C. 若 = 4，则△ 1 2的周长可以为19
D. 若 = 2√ 2，则△ 1 2的面积的最大值为4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1
12.(1)设 ， 是一次随机试验中的两个相互独立事件，且 ( ) = ， ( ) = ，则 ( ) =_________．
3 4
2 2
(2)已知双曲线 ：2 2 = 1( > 0, > 0)，若有且仅有一对过原点 且所成的角为30°的直线 1 1和 2 2，
使得| 1 1| = | 2 2|，其中 1， 1和 2， 2分别是这对直线与双曲线 的交点，则该双曲线的离心率的取值
范围是_________．
(3)按照如下规则构造数表：第一行是2；第二行是2 + 1，2 + 3，即3，5；第三行是3 + 1，3 + 3，5 + 1，
5 + 3，即4，6，6，8；…….整理如下：
2
3，5
4，6，6，8
5，7，7，9，7，9，9，11
…
2 2 2
记第 行所有数字之和为 ，比如 1 = 2， = 8，令 =
3 + 4 + + +2 ( ∈ 2 )，比如 1 = 3， 1 2 2 3 +1
则 20 =_________．
2 2
13.已知双曲线 ： = 1( > 0, > 0)，若有且仅有一对过原点 且所成的角为30°的直线 和 ，
2 2 1 1 2 2
使得| 1 1| = | 2 2|，其中 1， 1和 2， 2分别是这对直线与双曲线 的交点，则该双曲线的离心率的取值
范围是 ．
第 2 页，共 9 页
14.按照如下规则构造数表：第一行是2；第二行是2 + 1，2 + 3，即3，5；第三行是3 + 1，3 + 3，5 + 1，
5 + 3，即4，6，6，8；…….整理如下：
2
3，5
4，6，6，8
5，7，7，9，7，9，9，11
…
2 2 2
记第 行所有数字之和为 ，比如 1 = 2， 2 = 8，令 =
3 + 4 + + +2 ( ∈ )，比如 1 = 3， 1 2 2 3 +1
则 20 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = √ 2 1 = 2， ⊥ ， 为线段 的中点．
(1)证明： 1 ⊥平面 1D.
(2)求平面 1 与平面 1 1夹角的大小．
16.(本小题15分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 + = ．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题15分)

已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 6，6sin = cos ．
2
(1)求角 的大小；
(2)若点 为△ 的垂心， 的延长线交 于点 ，且 = √ 3，求△ 的面积．
18.(本小题17分)
已知 1( 5,0)， 2(1,0)，动点 与点 1的距离是它与点 2的距离的3倍，记动点 的轨迹为曲线Г．
第 3 页，共 9 页
(1)求曲线Г的方程．
(2)试判断曲线Г与圆 2 + 2 + 6 16 = 0是否有公共点．若有，求出公共点所在直线的方程．
(3)过原点的直线 1与曲线Г交于 ， 两点，其中点 在第一象限，过原点的另一条直线 2与曲线Г交于 ， 两
点，其中点 在第二象限，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，证明：点 ， 关于 轴对称．
19.(本小题17分)
2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 1( , 0)，左、右顶点分别为 1， 2，离心率为 ，点 在椭 2
2

圆 上，直线 1(点 在点 1的右上方)被圆
2 + 2 = 截得的线段的长为 ，且| 1| = 2． 3
(1)求椭圆 的方程；

(2)过点 (√ 3, 0)的直线 交椭圆 于点 ， (异于 1， 2)，设直线 1 ，
1
2 的斜率分别为 1， 2，证明 为 2
定值，并求出该定值；

(3)设 为直线 1 和 2 的交点，记△ ，△ 1 2的面积分别为
1
1， 2，求 的最小值． 2
第 4 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】(1) ；
6
(2)(√ 6 √ 2, √ 6 + √ 2]；
1
(3)4
21×218
13.【答案】(√ 6 √ 2,√ 6 + √ 2]
1
14.【答案】4
21×218
15.【答案】解：(1)根据题意易得 = 1 1 = 2√ 2，
则 = = = √ 2， 1 = √ 6， 1 = 1 = √ 2 + 2 = 2，
得 2 + 1
2 = 2， 2 + 2 21 1 1 = 1 1，
所以 ⊥ 1 ， 1 ⊥ 1D.
因为 ∩ 1 = ， 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥平面 1D.
(2)解：如图，以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系．
(0,0,0)， 1(2,0, √ 2)， 1(0,2,√ 2)， (1,1,0)，
= (2,0,√ 2)， 1 1 = (0,2,√ 2).
由(1)易得平面 1 的个法向量为 1 = (1, 1, √ 2).
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
第 5 页，共 9 页
1 = 2 + √ 2 = 0则{ ,
1 = 2 + √ 2 = 0
取 = √ 2，则 = 1， = 1，即 = (1,1, √ 2).
1 1+2 1
cos < ， 1 >=
1 = = ，
| || 1 | √ 1+1+2×√ 1+1+2 2

所以平面 1 与平面 1 1的夹角为 ． 3
16.【答案】解：(1)数列{ }的前 项和为 ，且 + = ，
1
当 = 1时， 1 + 1 = 2 1 = 1，则 1 = ． 2
+1 = ( + 1 +1) ( ) =
1 1 1
+1 = + 2 2 +1
1 = ( 1) 2
1 1
则 1 = ( 1 1)( )
1 = ( ) ，
2 2
1
∴ = 1 ( ) ． 2
1 1 1 1
(2) = ( )
，则 = (1 + 2 + + ) [1 × ( ) + 2 × ( )
2 + + × ( ) ]，
2 2 2 2
(1+ ) 1 1 1
记 = 1 + 2 + + = ， = 1 × ( ) + 2 × ( )
2 + + × ( ) ，
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
又 = 1 × ( ) + 2 × ( )
2 + + × ( ) ， = 1 × ( )
2 + 2 × ( )3 + + × ( ) +1，
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
两式相减得 = + ( )
2 + ( )3 + + ( ) × ( ) +1 = [1 ( ) ] × ( ) +1，
2 2 2 2 2 2 2 2
2+
= 2 2
，
(1+ ) 2+
故 = = + 2． 2 2

17.【答案】解：(1) ∵ = 6，∴ 6sin = cos ，则sin sin = sin cos ，
2 2
在△ 中，sin ≠ 0，
1
∴ sin = cos ，则2sin cos = cos ，∴ sin = ， ∵ ∈ (0, )
2 2 2 2 2 2 2 2
第 6 页，共 9 页

∴ = ， ∴ = ．
2 6 3

(2)连接 并延长，交 于点 ，则∠ = ， = ，∠ = ．
2 3 6
sin∠
在△ 中，由 = ，得 = = 2 sin∠ ．
sin∠ sin∠ sin∠
sin 6sin
在△ 中，由 = ，得 = = = 4√ 3sinC.
sin sin∠ sin∠ √ 3
2
易证∠ = ， ∠ + = ， 则sin∠ = sin ，
∴ 2 = 4√ 3， = 2√ 3， = + = 3√ 3，
1
故 △ = = 9√ 3． 2
18.【答案】解：(1)设 ( , )，由| 1| = 3| 2|，
得√ ( + 5)2 + 2 = 3√ ( 1)2 + 2，
化简得2 2 + 2 2 7 4 = 0，
即曲线Г的方程为2 2 + 2 2 7 4 = 0；
7 81
(2)因为曲线Г的方程为2 2 + 2 2 7 4 = 0，即( )2 + 2 = ，
4 16
7 9
所以曲线Г是以 1( , 0)为圆心， 为半径的一个圆． 4 4
圆 2 + 2 + 6 16 = 0的方程可化为 2 + ( + 3)2 = 25，其圆心为 2(0, 3)，半径为5．
49 9
因为| 1 2| = √ + 9 < + 5， 16 4
所以曲线Г与圆 2 + 2 + 6 16 = 0相交，有两个公共点．
设这两个公共点为 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
把圆2 2 + 2 2 7 4 = 0与圆 2 + 2 + 6 16 = 0的方程联立得7 + 12 28 = 0，
显然7 1 + 12 1 28 = 0，7 2 + 12 2 28 = 0，
所以直线 的方程为7 + 12 28 = 0．
(3)设直线 1的方程为 = 1 ( 1 > 0)，直线 2的方程为 = 2 ( 2 < 0)，
( 3, 3)， ( 4, 4)， ( 5, 5)， ( 6, 6)，

则直线 的方程为 3 =
5 3 ( )，
5
3
3
( )
令 = 0，解得 = 5 3 3 5 = 5 3 1 2 ，
5 3 5 3
5 3( 1 所以点 的坐标为(0, 2
) ( )
)，同理可得点 的坐标为(0, 6 4 1 2 )，
5 3 6 4
第 7 页，共 9 页
= 1 ,
联立{ 得2(1 + 2) 2 7 4 = 0，
2 2 + 2 2 7 4 = 0, 1
7 4
则 + 3
+ 4 7
3 4 = 2 ， 3 4 = 2 ，所以 = ，
2(1+ 1) 2(1+ ) 3 4 41
1 1 7 1 1 7
即 + = ，同理可得 + = ，
3 4 4 5 6 4
1 1 1 1 1 1 1 1 5 所以 + = + ，即 = ( )，即 3 = 6 4，
3 4 5 6 3 5 4 6 5 3 6 4
( ) ( )
又 5 3 1 2 6 4 1 21 > 0， 2 < 0，所以 + = 0， 5 3 6 4
即 + = 0，所以点 ， 关于 轴对称
2 1
19.【答案】解：(1)由已知有 = ，又由 2 = 2 + 2，可得 2 = 4 2， 2 = 3 2．
2 4
设直线 1的斜率为 ( > 0)，则直线 1的方程为 = ( + )，
2

由已知得( )2 + ( )2 = ，解得 = √ 3，
√ 2
2 3
+1
2 2
2 + 2 = 1联立{4 3 消去 整理得5 2
8
+ 8 = 0，解得 = 或 = 0．
5
= √ 3( + )
又点 在点 1的右上方，所以 的坐标为(0, )，所以| 1| = 2 = ，解得 = 1，
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1．
4 3
(2)显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 = + √ 3， ( 1, 1)， ( 2, 2).
2 2
+ = 1,
联立{ 4 3 消去 整理得(3 2 + 4) 2 + 6√ 3 3 = 0，
= + √ 3,
6√ 3 3
1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 1 + 2 = 2√ 3 3 +4 3 +4 1
2．
1
1 1+2 1( 2 2) 1( 2+√ 3 2) 1 2+(√ 3 2) 所以 = = = = 1 22 ( +2) ( 2 2 1 2 1+√ 3+2) 1 2+(√ 3+2) 22
√ 3
( 1+ 2)+(√ 3 2) 6 1 (7 4√ 3) 1+ = = 2 = 7 4√ 3．
√ 3
( + )+(√ 3+2) 1+(7+4√ 3) 1 2 2 26
(3)由(2)得直线 1 的方程为 = 1( + 2)，直线 2 的方程为 = (7 + 4√ 3) 1( 2)，
4√ 3 4√ 3
联立两条直线方程，解得 = ，所以 ( , ). 3 3
又 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1( 2,0)， 2(2,0)，
第 8 页，共 9 页
1 4 4
1 | || |sin∠ | || | ( √ 3 1)( √ 3 )所以 = 2 = = 3 3
2
1 4 42 | 1|| 2|sin∠ | || |1 2 1 2 ( √ 3+2)( √ 3 2)2 3 3
√ 3 √ 3
( )( ) 2
3 1 3 2 1 √ 3 ( 1+ 2)+3 1 2 3
2+1 3 1
= 4 = = 2 = 1 2 ≥ ， 4 3 +4 3 +4 4
3
1
当且仅当 = 0时，等号成立，所以 1的最小值为 ．
2 4
第 9 页，共 9 页