重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 4
题型一：平移法求异面直线所成角 4
题型二：定义法求线面角 5
题型三：等体积法法求线面角 7
题型四：定义法求二面角 9
题型五：三垂线法求二面角 11
题型六：射影面积法求二面角 13
题型七：垂面法求二面角 15
题型八：补棱法求二面角 16
题型九：距离问题 18
03过关测试 20
技巧一：二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
技巧二：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
技巧三：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
题型一：平移法求异面直线所成角
【典例1-1】在正三棱柱中，，，分别是中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-1】在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
题型二：定义法求线面角
【典例2-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）如图，在四面体中，.若从直线，，，中任选两条，则它们互相垂直的概率为.
(1)证明：平面；
(2)若四面体的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【典例2-2】如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求和平面所成角的正弦值.
【变式2-1】如图，已知平面，，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【变式2-2】如图，在四棱锥，底面，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
题型三：等体积法法求线面角
【典例3-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.
(1)求证:平面MCD;
(2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
【典例3-2】如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线BE与平面所成角的正弦值．
【变式3-1】正方体的棱长为，是线段上的动点.
(1)求证：平面平面；
(2)与平面所成的角的余弦值为，求的长．
【变式3-2】在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点．
(1)证明：平面；
(2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值．
题型四：定义法求二面角
【典例4-1】如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且．
(1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角大小的余弦值．
【典例4-2】如图为三棱锥的高，点在三角形内，为中点（图中未画），，平面.
(1)求直线与平面所成角；
(2)若，且，求二面角的大小.
【变式4-1】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点.
(1)求证：平面；
(2)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.
【变式4-2】五面体中，，，，均为正三角形.
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.
【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，.
求二面角的余弦值；
题型五：三垂线法求二面角
【典例5-1】如图，在三棱锥中，是等边三角形，分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【典例5-2】如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；
(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值．
【变式5-2】如图，已知四棱锥中，平面，且.
(1)证明：平面；
(2)已知锐二面角的正弦值为，求二面角的余弦值.
题型六：射影面积法求二面角
【典例6-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．
【典例6-2】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
(1)证明：AB⊥平面PAD；
(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．
【变式6-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．
【变式6-2】类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，则.
(1)如图2，四棱柱中，平面平面，，，求的余弦值；
(2)当时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，记二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明.
题型七：垂面法求二面角
【典例7-1】（2024·高三·山东济南·开学考试）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形.
(1)证明：.
(2)若，求二面角的余弦值.
【典例7-2】已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________.
【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.
(1)求点C到平面的距离.
(2)求二面角的余弦值.
【变式7-2】在三棱台中，，，且平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
题型八：补棱法求二面角
【典例8-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在三棱台中，为正三角形，，，点为的中点，平面平面．
(1)若，证明：平面平面；
(2)若，记平面与平面的交线为，求二面角的余弦值．
【典例8-2】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．
【变式8-1】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
题型九：距离问题
【典例9-1】（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点.
(1)证明：平面平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
【典例9-2】如图，在四棱锥中，，．
(1)若点为中点，求证：平面；
(2)若二面角的平面角为，求点到平面的距离．
【变式9-1】多面体中，，平面平面，平面底面ABC，，，，，且．
(1)求与平面所成角；
(2)求平面与平面所成二面角的大小；
(3)求侧棱到侧面的距离．
【变式9-2】如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至.
(1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，求点B到直线CH的距离.
1．平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为 .
2．在三棱锥中，平面，，且最长的棱长为，为棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为 .
3．菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为 ．
4．在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值．
5．如图，在三棱台中，与都垂直，已知．
(1)求证：平面平面．
(2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？
6．如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且．
(1)求证：；
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值．
7．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
8．如图，在长方形中，，，，将沿折起至，使平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长；
(3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明：.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
9．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面.
(1)求证：四棱锥是“阳马”；
(2)点M在正方形内（包括边界）．平面平面且，
（i）求M点轨迹长度；
（ii）是否存在M点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．
10．如图（1）梯形中，，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面，与和交于O，点P在上，且，R是的中点，过O、P、R三点的平面交于Q．在图（2）中：
(1)证明：Q是的中点；
(2)M是上一点，已知二面角的正切值为，求的值．
11．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
12．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线到平面的距离．
13．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的距离．
的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．
(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．
17．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱AD，PC的中点．
(1)若，，求异面直线EF与AB的夹角的大小；
(2)若直线PC与平面ABCD所成角的大小为．
①求二面角的余弦值；
②求点F到平面PAB的距离．
18．如图，在六面体中，为等边三角形，平面平面，，，，，
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
19．在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较和的大小；
(3)如图3，已知，M为平面PBC内一点，且，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值．
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目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 4
题型一：平移法求异面直线所成角 4
题型二：定义法求线面角 7
题型三：等体积法法求线面角 12
题型四：定义法求二面角 17
题型五：三垂线法求二面角 24
题型六：射影面积法求二面角 33
题型七：垂面法求二面角 38
题型八：补棱法求二面角 42
题型九：距离问题 48
03过关测试 54
技巧一：二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．
图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
技巧二：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
技巧三：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
题型一：平移法求异面直线所成角
【典例1-1】在正三棱柱中，，，分别是中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，取的中点，的中点，的中点,
易知,,
所以异面直线与所成角为或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得,，.
,
,
，，
,
在中，由余弦定理可得,
所以直线与所成角的余弦值为.
故选:A.
【典例1-2】如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接、，易知，
所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角），
由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等，
可设三棱柱的棱长都为，则，，，
因为，所以为直角三角形，
所以
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：.
【变式1-1】在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接，则，连接，因为，
所以．易知四边形为平行四边形，则，且，
所以或其补角为异面直线与所成的角，
同理知，又，所以为等边三角形，所以，
故选：C．
【变式1-2】如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，
则为异面直线EC与BD所成角或其补角，
不妨设，易得，
，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为．
故选：A．
【变式1-3】已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设为的中点，连接，，又、分别是、的中点，
所以、分别为、的中线，
所以且，且，
所以与所成的角即为与所成的角，
又，所以，所以为直角三角形，且，
所以，所以，
即与所成的角为.
故选：C
题型二：定义法求线面角
【典例2-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）如图，在四面体中，.若从直线，，，中任选两条，则它们互相垂直的概率为.
(1)证明：平面；
(2)若四面体的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：从直线，，，中任选两条，不同的选法共有种，
因为它们互相垂直的概率为，所以互相垂直的直线有3对.
又，所以与，均不垂直.
若，则恰与，，的其中两条垂直，
不妨设，，则平面，则，不符合题意.
若与不垂直，则，，，
，平面，
则平面，符合题意，故平面.
（2）设，则，
解得，则或.
若，则为正三角形，则，不符合题意.
若，则，符合题意.
如图，过点作，垂足为.
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面.
连接，则为直线与平面所成的角.
，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【典例2-2】如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求和平面所成角的正弦值.
【解析】（1）连接交于，连接，因为为、的中点，
所以为的中位线；
所以，而平面，平面，
故平面；
（2）因为平面，平面，所以，
又由，而，平面，
故平面；
故即为和平面所成的角.
由已知，，，
在直角三角形中，可得，
所以和平面所成角的正弦值为.
【变式2-1】如图，已知平面，，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【解析】（1）取中点，连接，，，如图所示，
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为点为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）因为平面，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为，点为的中点，
所以，
因为平面平面平面，
所以平面，
由（1）得四边形为平行四边形，所以，
所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，
因为平面，
所以即为直线与平面所成角，
因为点为的中点，，
所以，
所以，由，
所以，
所以直线与平面所成角为．
【变式2-2】如图，在四棱锥，底面，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）在中，，，，则，，所以
在中，，
故，所以为直角三角形，故，
又因为底面，底面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又平面，故平面平面.
（2）如图：作于，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，故为与平面所成的角，
中，，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
题型三：等体积法法求线面角
【典例3-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.
(1)求证:平面MCD;
(2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
【解析】（1）取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点，
所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面，
由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故，
又平面平面MCD，因此平面MCD；
（2）连接AC，BD交于点，则为平行四边形ABCD的中心，
又，
则等腰中，根据三线合一，有，
又，平面，
故平面，
设，
则，
，
，
相加并整理得，①
在Rt，Rt中，有，
即，（2），，③
解方程组①②③得，，
故，
于是，
在中，是PC中点，
故，
于是，
设点A到平面PBC的距离为，由，得，
故，
故所求线面角的正弦值.
【典例3-2】如图1，在四边形中，，将沿边BD翻折至，使得平面平面，如图2所示．E是线段PD上的一点，且．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线BE与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因为平面平面BCD，平面平面，
且平面，由题意易知，所以平面PBD，
又平面，所以，
又，且平面PCD，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）在中，结合已知有．
因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
平面，所以，
所以中，易得，
所以．
因为平面PBD，所以CD是三棱锥的高，
解法一：所以．
设点D到平面的距离为h，因为，
所以，解得，
易得，所以点E到平面的距离为，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为．
解法二：在中，BE是边PD的高，可求出，
所以，
设点E到平面的距离为d，则，
由等体积可知，令，解出，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为．
【变式3-1】正方体的棱长为，是线段上的动点.
(1)求证：平面平面；
(2)与平面所成的角的余弦值为，求的长．
【解析】（1）因为平面，且平面，可得，
四边形为正方形，则，
且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）设在平面上的射影点为，连接，
可知是以边长为的等边三角形，则，
因为，即，解得，
设与平面所成的角的大小为，因为，则，
则，可得，
在中，由余弦定理得，
即，解得.
【变式3-2】在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点．
(1)证明：平面；
(2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值．
【解析】（1）如图，连接、、、、，
由直棱柱性质且，
所以四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，故平面；
又由直棱柱性质有且，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，因为平面，
所以平面.
（2）因为，
所以，，，
设，则，所以，
由（1）可知点F到平面的距离是一个定值，将其设为，
由直棱柱性质平面，平面，故，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以，
，
又，所以.
所以与平面所成角的正弦值为即，
所以即，故.
题型四：定义法求二面角
【典例4-1】如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且．
(1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角大小的余弦值．
【解析】（1），理由如下：
由分别是的中点，得，而平面，平面，
则平面，又平面平面，平面，
所以.
（2）令，连接，由是菱形，，得都是正三角形，
则，，而平面，
于是平面，又平面，则平面平面，
在平面内过作于，由平面平面，
因此平面，连接，则是直线与平面所成的角，
在正中，，，
，则，
于是，，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
（3）在中，，
即，显然，则有，同理，
取的中点，连接，则，有，
因此是二面角的平面角，而，
则，
所以二面角大小的余弦值是.
【典例4-2】如图为三棱锥的高，点在三角形内，为中点（图中未画），，平面.
(1)求直线与平面所成角；
(2)若，且，求二面角的大小.
【解析】（1）
因为为三棱锥的高，故平面.
又平面，故.
因为点为的中点，则
又，故，
则为等边三角形，故.
又平面，则即为直线与平面所成的角，
故与平面所成角的大小为.
（2）如图，延长交于点，连接.
由平面,平面，
故，又，则.
在与中，
故，.
又在与中，
故，故，
即为的平分线，
又，则，且为的中点，
又，则，
则即为二面角的平面角，
由平面，平面，平面平面，故.
，
由（1）知，，
即二面角的大小为.
【变式4-1】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点.
(1)求证：平面；
(2)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.
【解析】（1）直线就是直线，
根据正方体的性质知，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）平面就是平面，平面就是平面，
∵平面与平面固定，
∴二面角的大小是定值，
设，，
∵，是的中点，∴，
根据正方体的性质可知，，
∴里二面角的平面角，
在直角中，，
∴.
∴二面角的余弦值为.
【变式4-2】五面体中，，，，均为正三角形.
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.
【解析】（1）因为，，均为正三角形，
所以，
记的中点为，连接，则，
因为，所以，
所以，则，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以.
易知在中，，
由余弦定理可得，
所以，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）记的交点为，连接，的中点为，
作，垂足分别为，连接，
因为，所以，所以，
由题设易得，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
所以四边形为菱形，所以，，
所以，则，
解得，
在中，，
由余弦定理得，
所以，
所以为的中点，又为的中点，所以，，
所以，所以或者其补角即为平面与平面所成夹角，
又，
所以，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，.
求二面角的余弦值；
【解析】（1）连接，交于点，连接，
因为底面为菱形，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，所以为等边三角形，
取的中点，连接，则，
在中，作交于点，
所以为二面角的平面角，
在中，因为，所以，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
在中，由余弦定理，
所以二面角的余弦值为；
题型五：三垂线法求二面角
【典例5-1】如图，在三棱锥中，是等边三角形，分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）因为，
所以，
又，所以，所以，
又、平面，所以平面，
又平面，所以
因为是等边三角形，是的中点，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因为平面平面，所以平面平面，
在中，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，
连接，如图所示，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，所以为二面角的平面角，
在中，，
又平面平面，所以，
在中，，
又，
所以，解得，
因为平面平面，所以，又，
在中，，
所以，即二面角的平面角的余弦值为.
【典例5-2】如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
(1)当侧面底面时，求点到平面的距离；
(2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）在中，，所以，
因为在直角梯形中，，，，
所以，所以四边形为正方形，
所以，，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
设点到平面的距离为，由题意得，
则，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离为；
（2）过作交于点，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
作交于点，连接，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，
所以，所以为二面角的平面角，
则，所以，
所以，
连接，交于点，因为四边形为正方形，所以，
所以，设，
由，得，得，
因为，所以，解得，
因为底面，底面，所以
所以，所以，即,
所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时.
【变式5-1】如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值．
【解析】（1）证明：法一：连接，
在中，因为为对应边上的中点，
所以为中位线，，
又平面平面，
平面；
法二：设中点为中点为，连接，
在中，因为为对应边上的中点，
所以为中位线，且，
同理，在中，且，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面平面，
平面；
（2）在四边形中，，
所以都为等腰直角三角形，即，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以直线平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面．
（3）直线与底面所成角的余弦值为，且平面，
直线与底面所成的角为，又，
则，
在中，，
，
设的中点为，连接，过点作的垂线交于，连接，
由（1）知，，且平面，
则平面，平面，，
平面，平面，
平面，，又，
则是二面角的平面角，
，
，
设二面角的平面角为，则二面角的正切值为．
【变式5-2】如图，已知四棱锥中，平面，且.
(1)证明：平面；
(2)已知锐二面角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【解析】（1）法一：如图1，延长和相交于点，连接，
，，则，
又，，
则平面平面平面.
法二：如图2，过作平行交于点，
，则，
，
，，，
，均平行于平面，
且是平面内的两条相交直线，
平面平面，又平面平面.
法三：如图2，过作平行交于点，连接，
，且，
平行，，则，
平行于，，
..均平行于平面，且是平面内的两条相交直线，
平面平面，又平面平面.
（2）法一：平面平面平面平面，
如图3，过点作交于平面平面，
平面平面.
过点作交于，又，
且平面，平面，
为二面角的平面角，则，
设，则，
平面平面，，
又，，
中，，则，
过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角，
，
综上所述，二面角的余弦值为.
法二：如图4，在平面内过点作的垂线于的延长线交于点
过作交于，连接，
平面平面平面平面，
平面平面平面，
平面，
平面，
又平面，即为二面角的平面角，
平面平面，，又，
中，，则，
，
，
中，边上的高，
设二面角的平面角为平面，
，
综上所述，二面角的余弦值为.
题型六：射影面积法求二面角
【典例6-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．
【解析】因为平面平面，
所以，
又，且，平面，
所以平面，
同理平面，
所以在平面上的射影为．
设平面与平面所成二面角为，所以，所以．
故平面与平面所成二面角的大小为．
【典例6-2】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
(1)证明：AB⊥平面PAD；
(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．
【解析】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，
∴AB⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，
∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD；
（2）(法一)由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD．
设AD＝a，则S△PAD，
△PBD中，PD＝a，BDa，PBa，
∴S△PBD，
∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为，
∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为．
（法二）如图所示：取中点，连接.
设AD＝a，则，
所以,
所以是平面PAD与平面PDB所成的二面角的平面角，
在中，,
所以.
【变式6-1】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小．
【解析】因为平面平面，
所以，
又，且，平面，
所以平面，
同理平面，
所以在平面上的射影为．
设平面与平面所成二面角为，所以，所以．
故平面与平面所成二面角的大小为．
【变式6-2】类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，则.
(1)如图2，四棱柱中，平面平面，，，求的余弦值；
(2)当时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，记二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明.
【解析】（1）由平面平面，得，
由三面角余弦定理得，
因为，，
所以；
（2）过射线PC上一点H作交PA于M点，
作交PB于N点，连接MN，如图所示：
则是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
两式相减得：
，
则：，
两边同除以，
得；
（3）已知三棱锥，，，，侧面，，的面积分别为，，，以，，为棱的二面角分别为，，，
求证：.
证明：
在上取点，使得，过作平面，，，
设，，，
则，，
同理，
所以，即，
同理可证，
所以，
又因为，所以，
同理，，
所以，同乘得：
.
题型七：垂面法求二面角
【典例7-1】（2024·高三·山东济南·开学考试）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形.
(1)证明：.
(2)若，求二面角的余弦值.
【解析】（1）连结，
因为底面和侧面均是边长为2的正方形，
所以四边形是边长为2的菱形，则，
且四边形和也是边长为2的正方形，
所以，且，，平面，
所以平面，平面
所以，且，且平面，
所以平面，平面,
所以；
（2）由（1）可知，平面，且，
所以平面，且平面，
所以平面平面，又因为平面平面，
所以平面平面，且平面平面，
因为，所以，
所以为等边三角形，
取的中点，连结，则，平面
所以平面，
再取的中点，连结,则，
因为平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
，，，
所以，
所以二面角的余弦值为.
【典例7-2】已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________.
【答案】或
【解析】设点是二面角内的一点，过P分别作直线的平行线，且垂直于于，垂直于于，设平面交直线于点，连接，，由于，，，，
故，，又，平面，
故平面，又，平面，故，，
所以为二面角的平面角，
因为直线所成角的大小为，所以或，
当时，如图
因为，所以；
当时，
如图
因为，所以;
综上，二面角的大小为或
故答案为：或
【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.
(1)求点C到平面的距离.
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）由题设，面面，面，面面，
所以面，面，故，即，
所以，而，，
中上的高，故，
令点C到平面的距离为，又，且，到面的距离为正三角形的高，
所以，可得，故点C到平面的距离为.
（2）由，面面，面，面面，
所以面，面，故，则，
又，故为等腰三角形，则上的高为，
令到的距离为，则，
由（1）知：点C到平面的距离为，
若锐二面角为，则，故，
所以二面角的余弦值为.
【变式7-2】在三棱台中，，，且平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）平面平面，平面平面，，
平面，故平面，平面，故，中点为，连接，，则，，
，则，，，
故四边形为矩形，
，，，
故，即，
，平面，故平面，
又平面，故平面平面.
（2）设，连接，平面，面，故，
又因为，所以二面角的平面角为，
，，
平面，平面，所以，
在中，，解得，从而，故二面角的正弦值为.
题型八：补棱法求二面角
【典例8-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在三棱台中，为正三角形，，，点为的中点，平面平面．
(1)若，证明：平面平面；
(2)若，记平面与平面的交线为，求二面角的余弦值．
【解析】（1）因为平面平面，且平面平面，
因为，且点是，所以，又面，
所以平面，平面，
所以，，且，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面；
（2）由题意知，，，
因为是等边三角形，且点为的中点，则，
又因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，且平面，
所以，可得，
取的中点，连结，，
因为，，则，，
且，平面，则平面，
对于梯形，故点作，垂足为，
因为，则，可得，
由，可知，且，，
将三棱台补成三棱锥，则，
设，可知即为直线，则，即，可得，
由，则、、三点共线，且，
可知为线段的中垂线，则，
过点作，垂足为，过作，垂足为，连结，
因为平面，平面，所以，
且，平面，
可得平面，由平面
可得，且，平面，
所以平面，由平面，可得，
可知二面角的平面角为，
因为平面，由平面，所以，
在中，，，，
可得，，则，
在中，，，可得，
在中，可得，
在中，则，可得，
所以二面角的余弦值为.
【典例8-2】如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：取的中点，连接、、，
在正方体中，且，
、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则且，
又因为且，则且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
因为且，故四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，则，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
平面，平面.
（2）延长、交与点，连接，则直线即为直线，
因为且，为的中点，则，
故点为的中点，为的中点，
在中，，，，
由余弦定理可得，则，
，则，
过点在平面内作直线，垂足为点，连接，
，所以，，
平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，故二面角的平面角为，
且，故点到直线的距离为，
，因此，二面角的平面角的余弦值为.
【变式8-1】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
【解析】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又平面，所以，，；即，为直角三角形；
若，由，平面，可得：平面；
所以，即，为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得或或，都能满足四个面都是直角三角形；
故可填：或或或；
（2）（i）证明：
∵平面，平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴平面平面.
（ii）由题意知，在平面中，直线与直线相交.
如图所示，设，连结，则即为.
∵平面，平面，
∴，
∵平面，平面，
∴，
又，平面，
∴平面，
又平面，
∴，.
∴即为二面角的一个平面角.
在中，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴二面角的大小为.
题型九：距离问题
【典例9-1】（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点.
(1)证明：平面平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
【解析】（1）
取CD的中点O，连接OA，OB，
因为，，所以，且，
又，，，，
所以，可得，
又，平面，所以平面BCD，
又平面ACD，所以平面平面BCD；
（2）因为，所以由（1）可得，，
，
，
又F为AC的中点，所以，
在△BDF中，，，，
则，
所以，
则.
设点A到平面BDF的距离为d，则，
解得，即点A到平面BDF的距离为.
【典例9-2】如图，在四棱锥中，，．
(1)若点为中点，求证：平面；
(2)若二面角的平面角为，求点到平面的距离．
【解析】（1）
取中点，连接．
因为，
所以，即，，
因为，所以四边形是矩形，
所以，
又因为，平面，，
故平面．
（2）
因为，平面，平面，平面平面，
故即为二面角的平面角，所以．
过点作于点，
因为平面，平面，所以，
因为平面，
所以平面．
因为，，
所以三角形是等边三角形，
从而，
故．
因为，
又，
则等腰三角形的面积为：，
记到平面的距离为，由
可求得．
【变式9-1】多面体中，，平面平面，平面底面ABC，，，，，且．
(1)求与平面所成角；
(2)求平面与平面所成二面角的大小；
(3)求侧棱到侧面的距离．
【解析】（1）（1）取的中点D，连接，
∵.，∴，
∵平面底面，平面底面，平面，∴底面，
∴为与底面所成的角，
∵且，∴.
即与平面ABC所成角为.
（2）取中点，则，
∵，∴，∴，
连接，∵底面，∴在平面上的射影为，
∴，∴为侧面与底面所成二面角的平面角.
在等腰中，，∴，
在中，，∴，
在中，，
∴，即侧面与底面所成二面角的大小为.
（3）过作于，∵底面，底面，∴，
∵平面底面，平面底面，
∴平面，
在中，，，∴，
∴，即侧棱到侧面的距离为.
【变式9-2】如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至.
(1)在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，求点B到直线CH的距离.
【解析】（1）在图①中，取的中点M，连接AM，如图所示，
因为是等边三角形，的中点为M，
所以,
因为，
所以，
在图②中，，平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，且，
在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示，
因为，
所以，
又因为平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，
又因为平面AMF，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面BDH，
所以存在点F满足题意，且；
（2）如图所示，连接，取的中点，连接，
由折叠性质可得平面，平面，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为为的中点，
所以，
所以即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，
由（1）可得，，
因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，
所以，所以，
所以，所以，
设点B到直线CH的距离为，
则，
即，解得，
即点B到直线CH的距离为.
1．平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】由题意可知，延长与平面交于点，延长与平面交于点，连接，即平面所在平面为平面，如图所示
因为平面平面，平面平面，又，
所以.
同理可证,
所以所成角的大小与所成角的大小相等，
在正方体中，，
所以是等边三角形，
所以所成角就是,
所以所成角的正弦值为.
故答案为：.
2．在三棱锥中，平面，，且最长的棱长为，为棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
又因为平面，所以，所以，
又，
当且仅当时等号成立，
所以，当时取最大值，
取的中点，连接，所以，
所以（或其补角）为直线与所成的角，
因为，，，
所以，
直线与所成角的余弦值为.
3．菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为 ．
【答案】/0.75
【解析】为了区别，设折起后的点A为，
设，连接，可知为的中点，，
则，可知，即，
过点作，垂足为，
则，，平面，
可知平面，由平面，可知，
且，，平面，
可得平面，
所以点到平面BCD的距离为即为.
故答案为：.
4．在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值．
【解析】（1）
证明：连接，设，连接，
在中，，，∴，
又平面，平面，
∴平面．
（2）由正三棱柱，可得平面，
∵平面，∴，∵为的中点，∴，
又，，平面，
故平面，
而，平面，故，，
∴二面角的平面角是，
在平面内作，连接，
∵平面，∴平面平面，
又平面平面，平面，
故平面，
∴直线和平面所成的角为，
又平面，∴，
∴，
∴直线和平面所成角的正弦值为．
5．如图，在三棱台中，与都垂直，已知．
(1)求证：平面平面．
(2)直线与底面所成的角为多少时，二面角的余弦值为？
【解析】（1）与都垂直，由棱台的性质得，
．又平面，
平面．又平面ABC，
∴平面平面，即平面平面．
（2）由（1）知，平面平面ABC．如图，
过作于D，平面平面平面，
则平面，
是与平面ABC所成的角，即．
作于E，连接平面ABC，平面ABC，．
又，平面，
平面平面，
则为二面角的平面角．
在中，，得．
平面，平面，所以，则，
在中，．
由∽-，得，则．
，则，
，即，
于是，则，
.
6．如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且．
(1)求证：；
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因为为半球的直径，为半球底面圆周上一点,
所以,
因为、平面,
所以平面，又因为平面,
所以,
又因为为半球面上一点,
所以,
又因为平面
所以平面,又平面,
所以;
（2）因为三角形为直角三角形,
所以,
又因为平面,
所以，
又因为三角形也是直角三角形，
所以,
所以，
设点到平面的距离为,
则有，即,
所以，
设直线与平面所成的角为，则.
7．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点.
(1)若，求证：平面；
(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）连接，交于点，连接，如图所示.
因为，易得，所以，
又，，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）取中点，连接交于点，连接，
则，且，所以四边形是平行四边形，
为中点，.因为平面，
所以直线是直线在平面内的射影，
所以是直线与平面所成的角，
即为直线与平面所成角的平面角.
如图所示，过点作，垂足为，连接，
因为，所以,易得，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，所以，
在直角中，由平面平面，则，解得，
所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.
8．如图，在长方形中，，，，将沿折起至，使平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长；
(3)设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，证明：.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
【解析】（1）因为四边形为长方形，所以,
又平面平面，平面平面,所以平面，
（2）如图所示，在（ii）图中过点S作,垂足为O,
交于点E,连接．由翻折知,
所以二面角的平面角为,
在（ii）图中设,可得，
因为，所以,所以,所以，
解得,即或（舍去），所以．
（i）（ii）
（3）如图所示，由（2）知,所以平面
平面,所以．由（1）问，
知平面且,所以平面,
又平面,所以,又,
且平面,所以平面,
又平面,所以．
在（ii）图中过点E作交于点H，
过点E作,连接．由（2）知平面,
又平面,所以平面平面,
因为平面平面,所以平面,
所以在平面的射影为,
所以为直线与平面所成角．
注意到,即，解得．又，,所以，
即，所以，
由（2）知,所以
（等号当且仅当时成立）．
（i）（ii）
9．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面.
(1)求证：四棱锥是“阳马”；
(2)点M在正方形内（包括边界）．平面平面且，
（i）求M点轨迹长度；
（ii）是否存在M点，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为四边形ABCD是边长为2的正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以；
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，又平面，所以.
因为平面，所以平面，
所以四棱锥是“阳马”.
（2）（i）如图，以为直径在平面上作一个半圆，
在该半圆周上任取点，连接、、，则，
又由（1）知平面，而平面，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故点的运动轨迹在该半圆周上，
因为，所以，
所以根据扇形的弧长公式得点的运动轨迹长度为.
（ii）存在M点，使得平面平面，且该点为与交点，
如图，连接、，则由（i）可知此时与交点在（i）中所作的半圆圆周上，且满足，
由正方体性质可知，，又平面，而平面，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
所以存在M点为与交点，使得平面平面，
过点A作交于点，过作交于点，连接，
又由平面可得，
所以由且、平面得平面，
所以且由平面得，
因为，、平面，所以平面，
所以是二面角的平面角，
因为正方体边长为2，，
所以，
，
所以，，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值为.
10．如图（1）梯形中，，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面，与和交于O，点P在上，且，R是的中点，过O、P、R三点的平面交于Q．在图（2）中：
(1)证明：Q是的中点；
(2)M是上一点，已知二面角的正切值为，求的值．
【解析】（1）如图（1）：因为，，，，且，
所以，，.
图（2）中：
在中，，，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，所以，
在中，为中点，所以为中点.
（2）如图：
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面.
作于，则平面，作于，连，
则为二面角的平面角.
设，
因为.
因为为等腰直角三角形，所以.
又.
在直角中，.
即.
11．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
【解析】（1）证明：因为在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
所以点的曲率为，得，
因为，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，所以平面；
（2）取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
设，则，
所以，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，
所以在中，，
所以二面角的余弦值为；
（3）证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，
设第号（）多边形有条边，
则多面体共有条棱，
由题意，多面体共有个顶点，
号多边形的内角之和为，
所以所有多边形的内角之和为，
所以多面体的总曲率为
所以简单多面体的总曲率为.
12．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线到平面的距离．
【解析】（1）连接，交点O，连接，则O是的中点，
因为D是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为为等边三角形，且D是的中点，
所以，由正三棱柱的性质知，平面，
因为平面，所以，
又平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面.
（3）由（1）知平面，
以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离，
由（2）知平面，所以点A到平面的距离为，
而2，
4，
设点B到平面ADC1的距离为d，
因为，
所以，即，解得d，
所以直线A1B到平面ADC1的距离为．
13．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的距离．
【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面，
又，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，
，
在和中，，
，即，
又，平面
平面．
（2）由题意知，
在中，，
又，，
平面，平面，
平面，
、分别为、的中点，
，又，
，
平面，平面，
平面，
平面，平面，，
平面平面．
平面，平面平面，
平面，
为平行平面与之间的距离，
，
即平面与之间的距离为．
14．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且.
(1)证明：平面；
(2)求点到面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）在三棱台中，平面平面，，
而平面平面，平面，
所以平面.
（2）由棱台性质知：延长交于一点，
由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则，
于是，由平面，得为点到平面的距离，
又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形，
设，则，
，解得，
，由平面，得，，
，设点到平面的距离为，
由，得，解得：.
即点到平面的距离为.
（3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接，
在正中，，而平面平面，则平面，而平面，
则，又平面，则平面平面，作于，
平面平面，则平面，，而平面，则，
作于，连接，，平面，则平面，
而平面，于是，即二面角的平面角，
设，由（2）知：，，
由，得，，
由，得，
若存在使得二面角的大小为，
则，解得，
，
所以存在满足题意的点，.
15．如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥.
(1)若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值；
(2)若二面角为直二面角，当取到最小值时，求的值及点到平面的距离.
【解析】（1）过点作的垂线交于点，交于点，如下图所示：
翻折后仍有，
又因为，且平面，平面，
所以平面，
所以为二面角所成的平面角.
由在面上的射影恰好在上得平面，
所以，
由可知，因为，
所以；
又易知，
所以，可得，所以；
所以，
即二面角平面角的余弦值为
（2）过点作的垂线交于点，如下图所示：
设，
由二面角为直二面角可知平面平面，
平面平面，，
又平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
则有，
可得，
又，
所以，；
当时，取到最小值；
.
所以，可得，所以
（注：，，由角平分线定理得也可）
则有,
，解得.
即点到平面的距离为.
16．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．
(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．
【解析】（1）连接，由已知得平面，，
又平面，所以平面平面，
所以二面角的大小为，因为为菱形，，
所以，又，所以，
在中，，
由三面角余弦定理可得
.
（2）依题意可得，设平面内任一条直线为，
若过点时，记与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
若不过点时，过点作使得，记与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
综上可得.
（3）连接，，
因为，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，
所以平面平面，
又平面平面，又平面平面，
所以，又即，
所以四边形为平行四边形，
所以，显然在的延长线上，
因为，所以，
所以，即.
17．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱AD，PC的中点．
(1)若，，求异面直线EF与AB的夹角的大小；
(2)若直线PC与平面ABCD所成角的大小为．
①求二面角的余弦值；
②求点F到平面PAB的距离．
【解析】（1）连接BD，AC，记，再连接EO，FO，
如图所示，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点，
又E是AD的中点，
所以，所以异面直线EF与AB的夹角，
因为O是AC的中点，F是PC的中点，所以，
且易知，
，
所以，
因为，所以，
即异面直线EF与AB的夹角为．
（2）连接PO，在中，，O是BD的中点，
所以，又四边形ABCD是边长为2的菱形，，
所以，，，
又，AC，，所以．
在中，过点P作AC的垂线，垂足为G，又，
所以，又，，AC，，
所以，
所以是直线PC与平面ABCD所成的角，所以，
又，，
所以，，，又，
所以．
取PA的中点M，连接MB，MD，
如图所示，在中，，，，点M是PA的中点，
所以，．
同理可得，，
所以二面角的平面角为．
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值为．
②在中，，，，
所以．
由①知的面积．
因为点F是PC的中点，
所以．
设点F到平面PAB的距离为d，
所以，
解得，
即点F到平面PAB的距离为．
18．如图，在六面体中，为等边三角形，平面平面，，，，，
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）取棱的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
又平面，故，
又已知，，又平面，
所以平面.
（2）连接，
所以或（舍去），
即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，
此时.
19．在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较和的大小；
(3)如图3，已知，M为平面PBC内一点，且，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值．
【解析】（1）取BC的中点为D，连接，
由，D为BC的中点，得，由，D为BC的中点，得，
而平面，则平面，又平面，
所以.
（2）由（1）知，，而平面，平面，则，
又平面，于是平面，而平面，
因此，又，为锐角，
过点H向AB作垂线，垂足为点N，连接PN，则，
由点P在平面ABC内的投影为H，得，
由平面ABC，平面ABC，得，
而，平面PHN，则平面PHN，
由平面PHN，则，于是，显然，
因此，当时，重合，，等式成立，所以，
由，得，又函数在上单调递减，
所以.
（3）设点A到平面PBC的距离为d，直线AM与直线BC的夹角，直线AM与平面PBC的夹角，
由（1）知，，，
，，且，
由，得，而，则直线与平面PBC所成角，
，即，
由（2）知，直线AM与直线BC的夹角，
所以异面直线AM与直线BC夹角的最小值为.
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