2023-2024学年山西省高二（上）期末数学试卷（含答案)

2023-2024学年山西省高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数的模为( )
A. B. C. D.
3.下列说法中，正确的是( )
A. 数列，，，可表示为集合
B. 数列，，，与数列，，，是相同的数列
C. 数列的第项为
D. 数列，，，，，可记为
4.若函数，则( )
A. B. C. D.
5.若，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知半径为的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知公差不为的等差数列满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是( )
A. B.
C. D.
10.年月日国家统计局发布了制造业采购经理指数如图所示：
则下列说法正确的是( )
A. 从年月到年月，这个月的制造业采购经理指数的极差为
B. 年月份，制造业采购经理指数为，比上月上升个百分点
C. 从年月到年月，这个月的制造业采购经理指数的第百分位数为
D. 从年月到年月，这个月的制造业采购经理指数的平均数约为
11.已知正四棱锥的底边长为，高为，且各个顶点都在球的球面上，则下列说法正确的是( )
A. 直线与平面所成角的余弦值为
B. 平面截球所得的截面面积为
C. 球的体积为
D. 球心到平面的距离为
12.已知，为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则( )
A. 当为双曲线上一点时，的面积为
B. 当点坐标为时，
C. 当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为
D. 当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设单位向量的夹角的余弦值为，则 ______．
14.已知抛物线：的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，
点的坐标为______．
15.某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是______．
16.若存在实数，使得，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，且，为极值点．
求实数，的值；
判断，是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
设是边上一点，为角平分线且，求的值．
19.本小题分
已知数列，且．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
20.本小题分
如图，在直四棱柱中，，与相交于点，，，为线段上一点，且．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
21.本小题分
已知函数，．
证明：；
设，求证：对任意的，都有成立．
22.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
设，是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点，与圆相交于另一点，若的斜率不等于，的斜率等于斜率的倍，证明：直线经过定点．
参考答案
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17.解：，
因为，为函数的极值点，
所以，解得，
经检验符合题意，所以，；
由得，，
当或时，，当时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以为极大值点，极大值为，
为极小值点，极小值为．
18.解：由正弦定理得，
即，
利用余弦定理可知，
因为，所以；
在中，，
所以，
即，
因为为角平分线，所以，所以，
由余弦定理，得，
则，
因此．
19.解：因为，
当时，，
两式相减，得，则，
当时，，则，满足上式，
所以．
由得，
所以，
则，
两式相减，得，
所以．
20.证明：因为，所以∽，所以，
又为线段上一点，且，
所以，在中，
又平面，平面，
所以平面．
解：在直四棱柱中，平面，又，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，
设平面与平面的夹角的大小为，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
21.证明：设，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
于是有，即．
要证明成立，
即证明成立，
即证明成立，
也就是证明成立，
因为，所以原问题就是证明成立，
由，设，
即证明，也就是证明成立，
设，
所以当时，函数单调递增，即有，
从而成立．
22.解：因为点在椭圆上且长轴长为，
所以，
解得，
则椭圆的方程为．
证明：设、的斜率分别为、，，
由知下顶点为，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或，
所以，
即，
同理得或，
所以，
即，
所以直线的斜率为，
则直线方程为，
整理得．
故直线经过定点．

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