2023-2024学年陕西省西安南开高级中学高二（上）期末数学试卷(含答案）

2023-2024学年陕西省西安南开高级中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的一个顶点为，虚半轴长为，则双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
3.个人排成一排，则甲不站两边的站法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.某商品的地区经销商对年月到月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表发现销售量万件与时间月成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得与的回归直线方程为：则下列说法错误的是( )
时间月
销售量万件
A. 由回归方程可知年月份该地区的销售量为万件
B. 表中数据的样本中心点为
C.
D. 由表中数据可知，和成正相关
5.设随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
6.直线：与圆：交于，两点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.小张、小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件：“两家至少有一家选择丹东凤凰山”，事件：“两家选择景点不同”则概率( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，为棱的中点动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：
存在点，使得；
的面积越来越小；
四面体的体积不变．
其中，所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知的展开式的各二项式系数的和为，则( )
A. B. 展开式中的系数为
C. 展开式中所有项的系数和为 D. 展开式中的第二项为
11.设，是一次随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. ，相互独立 B.
C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 展开式中项的系数为
B. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立
D. 在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知焦点为，的椭圆的方程为：，且，过椭圆左焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为______．
14.已知变量和的统计数据如右表：若由表中数据得到经验回归直线方程为，则时的残差为______注：观测值减去预测值称为残差．
15.若多项式，则 ______．
16.某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有______种不同的涂色方法．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
等差数列的公差为，数列的前项和为．
已知，，，求及；
已知，，，求．
18.本小题分
已知直线：与圆：相切．
求实数的值；
已知直线：与圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
在四棱锥中，平面平面，底面是边长为的正方形，，取的中点，连接请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题：
求异面直线与所成角的余弦值；
求与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一次随机调查共随机调查了名男生和名女生，调查发现，男、女生中分别有人和人喜爱运动，其余不喜爱．
根据以上数据完成以下列联表：
喜欢运动 不喜欢运动 总计
男
女
总计
根据小概率值的独立性检验，能否据此推断性别与喜爱运动有关？
从被调查的女生中抽取人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列．
附参考公式及参考数据：，其中．
21.本小题分
某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径 合计
件数
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．
为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了对观测值，求与的线性回归方程．
为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判表示相应事件的概率；
；；．
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级．
将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品从样本中随意抽取件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取件零件，计算其中次品总数的数学期望．
附：对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；
参考数据：，，，．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为．
求的标准方程；
过点作直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，在线段上取一点满足，证明：点在一条定直线上．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：等差数列的公差为，
，，，
因为，
整理得，解得或舍，
所以．
，，，
因为，解得，
又，解得．
18.解：将圆：化为标准方程，
得，故圆心，半径为．
因为直线：与圆相切，所以，
解得，所以圆的标准方程为．
设圆心到直线的距离为．
则，所以，解得．
故，解得或．
所以直线的方程为或．
19.解：，且为的中点，，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
取中点，连接，则，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，，
故异面直线与所成角的余弦值为．
由得，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设与平面所成角为，
则，，
故与平面所成角的正弦值为．
20.解：根据题意，补全列联表如下：
喜欢运动 不喜欢运动 总计
男
女
总计
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分的把握判断喜爱运动与性别有关．
由题意可知，的所有可能取值为，，，，
，，，，
的分布列为：



21.解：，，，，
，，
与的线性回归方程为；
，，，，
，，
，，
，
设备的性能等级为丙级．
样本中直径小于等于的共有件，直径大于的零件共有件，
样本中次品共件，可估计设备生产零件的次品率为由题意可知从设备的生产流水线上随意抽取件零件，
其中次品数设为，则，于是；
从样本中随意抽取件零件其次品数设为，由题意可知的分布列为：
故．
则次品总数的数学期望．
22.解：根据题意，设双曲线的方程为，
由题知，，可得；
所以双曲线方程为．
证明：易知为双曲线的右焦点，如下图所示：
由题知直线斜率存在，
根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为，
代入双曲线方程得，
设，，
由韦达定理有，，
且，，
设，点在线段上，
所以，
由可得，，
化简得，
代入和并化简可得，
即存在点满足条件，并且在定直线上．
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