湖北省“腾·云”联盟2025届高三上学期12月联考数学试题（含答案）

湖北省“腾·云”联盟2025届高三上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆，则下列结论正确的是( )
A. 的焦点在轴上 B. 的焦距为 C. 的离心率 D. 的长轴长是短轴长的倍
3.展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
4.高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜。如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约天后，张三超过李四的倍参考数据：，
A. B. C. D.
5.已知函数是减函数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列为等比数列，，若的前项和为，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
8.设双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点为，，已知为双曲线一条渐近线上一点，若，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于向量与复数的说法正确的有( )
A. 若复数，满足，则
B. 若复数满足，则
C. 若，则或
D. 若，则或
10.已知函，
A. 的最小值为
B. 在区间上单调递减
C. 若当时，取得极大值，则
D. 若在区间恰有个零点，则
11.已知定义在上的函数，分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是( )
A. 函数为周期函数
B.
C. 的图像关于点中心对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线，，若，则 ．
13.已知三棱锥的四个顶点都在球体的表面上，若，，且，则球体的表面积为 ．
14.已知中，， ，为边的中点，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列，满足，，．
求证：数列是等差数列
令，求数列的前项和．
16.本小题分
已知．
当时，求曲线在点处的切线方程
若在区间内存在极小值点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在平行四边形中，，，为的中点，沿将翻折至位置得到四棱锥，为上一动点．
若为的中点，证明：在翻折过程中均有平面
若，证明：平面平面
记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于，与，，当时，为的中点．
求抛物线的方程
若，证明：
若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
19.本小题分
在某一次联考中，高三班前名同学的数学成绩和物理成绩如下表：
学生编号
数学成绩
数学名次
物理成绩
物理名次
从这名同学任取一名，已知该同学数学优秀成绩在分含以上，则该同学物理也优秀物理成绩在分含以上的概率
已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为，已知这名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求，的样本相关系数的最大值．
设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，，，，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位，在中的排名是位定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数记为为变量的排名和变量的排名的样本相关系数记，其中，，，
证明：，并用上述公式求这组学生的数学成绩和物理成绩的斯皮尔曼相关系数精确到参考公式：相关系数，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
，，
是以为首项，为公差的等差数列
由可知，，
令
对照系数可得，，其中，
16.解：当时，，
所以，，
切线方程
，
当时，，，，单调递减，
，，单调递增，
，取得极小值，符合
时，当即时，，，单调递增，，，单调递减，
，，单调递增，
在取得极小值，，，，
当，即时，此时恒成立，单调递增，无极值不符合，
(ⅲ)当，即时，，，单调递增，，，单调递减，
，，单调递增，
所以在取得极小值符合，
当，则，，，单调递减，，，，单调递增，时，，单调递减，
在取得极小值，符合，
综上．
17.解：取中点连，，，易知平行且相等
四边形为平行四边形，，
面，，面．
连，，，，
，又，与是平面内两条相交直线
所以面，面，
面面
，
，，
为中点。
取中点，中点，连，，由可知面，，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，
，
设平面的法向量为
则有，取可得
面的法向量，，
到面的距离．
18.解：联立消去，可得，
设，，，抛物线方程为：；
，设，，其中，，
代入，
，，
，
，
，
，
同理，
，，，；
过点，，
同理设，过点，
，结合可得，，
，恒过点．
19.解：从这名同学任取一名，已知该同学数学优秀成绩在分含以上的为编号，，， 四位同学，其中物理也优秀的为，，三位同学，故从这名同学任取一名，已知该同学数学优秀成绩在分含以上，则该同学物理也优秀物理成绩在分含以上的概率．
分析的向量意义，设，，
，，
分别令，的样本相关系数，，的样本相关系数，与的样本相关系数为，
则，，
，
，夹角余弦值最大值为，即，的样本相关系数的最大值为．
都是，，，的一个排列，
，
，
，
，
同理，
，
，
结合图表．
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