2024-2025学年江西省鹰潭市余江一中高三（上）第三次模拟数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年江西省鹰潭市余江一中高三（上）第三次模拟
数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为，若存在，，使得成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面四边形中，，，，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，都是负数，且，则( )
A. B. C. D.
10.下列等式成立的有( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若在上单调递增，则的取值范围是
B. 点为曲线的对称中心
C. 若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.已知函数和的零点分别为，，则 ______．
14.锐角的内角的对边为，若的面积是，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为．
求；
若，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，，．
求证：；
求平面与平面的夹角的正弦值．
18.本小题分
设抛物线：的焦点为，是上一点且，直线经过点．
求抛物线的方程；
若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
若与在第一象限内的两个不同交点为，，且关于原点的对称点为，证明：直线，的倾斜角之和为．
19.本小题分
高斯是德国著名数学家，被认为是历史上最杰出的数学家之一，并享有“数学王子”之称用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，，已知函数．
证明：；
已知函数，命题：，使得成立；命题：在区间上有零点若，中至少有一个是真命题，求正实数的取值范围；
定义：函数的定义域为，函数，若存在，使得，则称点为函数的一个高斯点记上的第个高斯点和第个高斯点连线的斜率为，证明：．
参考答案
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15.解：设等差数列的公差为，
又因为，，
所以，解得，
所以．
由知，，所以，
当时，，所以；
当时，，，
所以当时，，
当时，．
综上，数列的前项和．
16.解：由及余弦定理可得：，
因为，所以，
因为，
由正弦定理可得：，
所以，
由，化简可得，即，
因为，所以，
所以
．
因为，，，
所以，
所以，
由余弦定理可得：
，
所以．
17.证明：，
在中，，解得．
，为的中点，
，
在中，，，且，
即，．
，，，
在中，，，
又，平面，，平面，
又平面，．
又，，平面，，平面，
又平面，．
解：由知，，两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，．
设平面的一个法向量，
则取，则，，平面的一个法向量．
设平面的一个法向量，
则取，则，，
平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
故，
平面与平面夹角的正弦值为．
18.解：因为，
所以，
所以，
所以 ，
又是上一点，
所以，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为．
解：设切点坐标为，
因为，
所以，
切线的斜率为，
所以切线方程为，
将代入上式，得，
所以，
所以切点坐标为．
证明：由得，直线，的斜率都存在，
要证：直线，的倾斜角之和为，
只要证明：直线，的斜率之和为．
设直线的方程为，，，，
则，，
由得，
所以，，
又，
即，
所以，
即直线，的倾斜角之和为．
19.解：证明：令，，当为偶数时，，当为奇数时，，
所以对任意，，所以，
设，导函数，
当时，导函数，当时，导函数，
所以函数，所以，因此．
记，所以导函数，
因此函数单调递增，，
根据第一问知，所以函数，
所以函数，在上恒成立，所以，
所以在恒成立．
因此命题为假命题，又由于，中至少有一个为真命题，所以命题为真命题，
可转化为与函数在上至少有一个交点，
根据第一问知：当时，函数，
当时，函数，
所以函数在上的值为，在上的值为零，
因此所以．
证明：分析可得第个高斯点的坐标为，
第个高斯点的坐标为，
所以，要证明原不等式，只需证明，
所以证，代入可得，
对左边放缩可得，
只需证明，设，所以即证．
令函数，
所以函数在上单调递减，
因此函数，所以，所以．
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