中小学教育资源及组卷应用平台
九年级上学期期末测试卷
考试范围：九上、九下全册
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 宁波期中）若，则
A． B．1 C． D．
2．（2024 镇海区校级模拟）一圆的半径为3，圆心到直线的距离为4，则该直线与圆的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．以上都不对
3．（2023 开化县模拟）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是
A． B． C． D．
4．（2023秋 宁波校级月考）如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点落在上，两边与圆交于点、，则弦的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024秋 慈溪市期中）一个盒子中有红球个，白球8个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取到白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是
A． B． C． D．
6．（2024春 海曙区校级期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024 瑞安市二模）《周髀》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径是
A． B．2 C． D．4
8．（2023秋 宿迁期末）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为
A． B． C． D．2
9．（2024 武汉模拟）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为
A． B． C． D．
10．（2024秋 湖州期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③（其中；④若，和，均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 仙居县期中）抛物线的顶点坐标是 ．
12．（2024秋 鄞州区校级月考）如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 ．
13．（2021秋 余杭区月考）如图，在中，点，分别在边，上，且，，射线和的延长线交于点，则的值为 ．
14．（2023秋 永康市期末）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．
15．（2023秋 婺城区校级月考）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
16．（2024秋 平湖市期中）如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，则弦的长度为 ；当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2022秋 金华期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024 拱墅区二模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：．
（2）当，求的值．
19．（2022秋 柯桥区期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？
20．（2024秋 婺城区校级月考）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中将△绕点顺时针旋转，画出旋转得到的△；
（2）在图2中画出一个与△相似的△，且使得相似比不为1；（画出一个即可）
（3）在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点，使得．
21．（2024秋 温州期中）利用以下素材解决问题．
超市饮料定价问题
素材1 大华超市降价销售某种饮料，每箱成本为40元，每日销售量（箱与销售单价（元之间存在一次函数关系，如图所示．
素材2 该饮料定价范围为45元至65元（包含45和．
素材3 为增加销量，超市每天有10箱饮料用来试喝．
任务1 求关于的函数关系式．
任务2 当单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
任务3 扣除赠饮成本后，要保证每天利润不少于1200元，求售价的取值范围．
22．（2024 宁波模拟）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．
（1）如图2，求遮阳棚前端到墙面的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到．（参考数据：，，，
23．（2024 浙江模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数．
（1）若为整数，二次函数图象过点（其中是正整数），求抛物线的对称轴．
（2）若，，，为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求的值．
②若对于，都有，求的取值范围．
24．（2023秋 浙江期末）已知四边形内接于，对角线于点，点为线段上一点，且．（1）如图1，若恰好经过圆心，证明：；
（2）如图2，若不经过圆心，是否成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3所示，线段与交于点，延长交于点，连结，若，，设，，请直接写出的长（用，表示）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
九年级上学期期末测试卷
考试范围：九上、九下全册
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 宁波期中）若，则
A． B．1 C． D．
【答案】
【解析】，
，
；
故选．
2．（2024 镇海区校级模拟）一圆的半径为3，圆心到直线的距离为4，则该直线与圆的位置关系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．以上都不对
【答案】
【解析】由题意可知，，
．
直线与圆相离．
故选．
3．（2023 开化县模拟）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】该几何体的俯视图是：
故选．
4．（2023秋 宁波校级月考）如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点落在上，两边与圆交于点、，则弦的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【解析】如图所示，连接，，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
故选．
5．（2024秋 慈溪市期中）一个盒子中有红球个，白球8个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取到白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据概率公式，摸出白球的概率，，
摸出不是白球的概率，，
由于二者相同，故有，
整理得，，
故选．
6．（2024春 海曙区校级期末）若二次函数的图象经过点，则方程的解为
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【解析】抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为，
即二次函数的图象与轴的两个交点坐标为，，
方程的解为，．
故选．
7．（2024 瑞安市二模）《周髀》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径是
A． B．2 C． D．4
【答案】
【解析】如图，连接，
在正方形中，，
则，
正方形与正方形是位似图形，，
，
，
，
四边形的外接圆的直径是，
四边形的外接圆的半径是，
故选．
8．（2023秋 宿迁期末）如图，点，，都是正方形网格的格点，连接，，则的正弦值为
A． B． C． D．2
【答案】
【解析】连接，如图所示：
设小正方形边长为1，
，，，
，
是直角三角形，
在中，，
故选．
9．（2024 武汉模拟）如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线相交于、、于点、、，
，
，
，
的长为，
，
，
，
，
故选．
10．（2024秋 湖州期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③（其中；④若，和，均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
把，代入，可得：
，
解得，
，故②正确；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故①错误；
，
，
又，，
，
即（其中，故③正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
当时，随的增大而减小，
，
，故④错误，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 仙居县期中）抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】．
【解析】抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
12．（2024秋 鄞州区校级月考）如果一个扇形的圆心角为，面积是，那么这个扇形的弧长是 ．
【答案】．
【解析】设扇形所在圆的半径为，
扇形的圆心角为，面积是，
，
（负值已舍去），
这个扇形的弧长．
故答案为：．
13．（2021秋 余杭区月考）如图，在中，点，分别在边，上，且，，射线和的延长线交于点，则的值为 ．
【答案】．
【解析】过点作交于，
则，
，
，
，
，
故答案为：．
14．（2023秋 永康市期末）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 或 ．
【答案】或．
【解析】与平行，
当时，直线与原图象只有一个交点，
联立，
，即，，
只有一个交点，
，
，
的取值范围为：或．
15．（2023秋 婺城区校级月考）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 2 ．
【答案】2．
【解析】如图，连接，，，交于点，过点作于点，设的半径为，则，
六边形是的内接正六边形，
，
，
是正三角形，
，
，
，
，
正六边形的面积为；
由题意可知，是的内接正三角形，
，
，，
，
的面积为；
．
16．（2024秋 平湖市期中）如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，则弦的长度为 ；当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
【答案】，．
【解析】作于，连接．
，
，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
点在以为直径的上，
当点在的延长线上时，的长最小，最小值．
故答案为，．
三．解答题（共8小题）
17．（2022秋 金华期末）计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
18．（2024 拱墅区二模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：．
（2）当，求的值．
【解析】（1）证明：以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
而，
，
．
19．（2022秋 柯桥区期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？
【解析】（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，
所以从袋中任意摸出一个球为红球的概率为；
（2）设取走了个红球，
根据题意，得：，
解得，
答：取走了3个红球．
20．（2024秋 婺城区校级月考）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中将△绕点顺时针旋转，画出旋转得到的△；
（2）在图2中画出一个与△相似的△，且使得相似比不为1；（画出一个即可）
（3）在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点，使得．
【解析】（1）如图1，△即为所求．
（2）如图2，取格点，使，，
此时，
则△△，
则△即为所求（答案不唯一）．
（3）如图3，取格点，使，且，连接交于点，
此时△△，
则，
则点即为所求．
21．（2024秋 温州期中）利用以下素材解决问题．
超市饮料定价问题
素材1 大华超市降价销售某种饮料，每箱成本为40元，每日销售量（箱与销售单价（元之间存在一次函数关系，如图所示．
素材2 该饮料定价范围为45元至65元（包含45和．
素材3 为增加销量，超市每天有10箱饮料用来试喝．
任务1 求关于的函数关系式．
任务2 当单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
任务3 扣除赠饮成本后，要保证每天利润不少于1200元，求售价的取值范围．
【解析】（1）每日销售量（箱与销售单价（元之间存在一次函数关系，
由题意得，
解得．
故与之间的函数关系式为：；
（2）设利润为，
，
，
时，随的增大而增大，
，
当时，
的最大值（元
答：当单价定为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是1350元；
（3），
，
，
，，
如图所示，由图象得：
该饮料定价范围为45元至65元，
当时，保证每天利润不少于1200元．
22．（2024 宁波模拟）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．
（1）如图2，求遮阳棚前端到墙面的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到．（参考数据：，，，
【解析】（1）如图，作于，
，．
在△中，，即，
，
答：遮阳棚前端到墙面的距离约为；
（2）解：如图3，作于，于，延长交于，则，
四边形，四边形是矩形，
由（1）得，
，
在△中，，即，
，
由题意得：，
，
，
在△中，，即，
，
，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为．
23．（2024 浙江模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数．
（1）若为整数，二次函数图象过点（其中是正整数），求抛物线的对称轴．
（2）若，，，为抛物线上两个不同的点．
①当时，，求的值．
②若对于，都有，求的取值范围．
【解析】（1）把代入，得，
解得，，．
是正整数，为整数，
（舍去），．则，
对称轴为直线．
（2）①时，，
，，，两点关于抛物线的对称轴对称，
则对称轴为直线，
．
②由题意可知，对于任意的，随的增大而增大，
可得
，解得．
24．（2023秋 浙江期末）已知四边形内接于，对角线于点，点为线段上一点，且．（1）如图1，若恰好经过圆心，证明：；
（2）如图2，若不经过圆心，是否成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3所示，线段与交于点，延长交于点，连结，若，，设，，请直接写出的长（用，表示）．
【解析】（1）证明：，是直径，
，
，
，
点是中点，
点是中点，
是的中位线，
，
，
；
（2）仍成立，理由如下：
连接并延长，交于点，连接，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
即，
，
，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
；
（3）过点作，垂足为点，连接，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
由（2）得，
，
，，
，
整理得，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
