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2025贵州省中考复习试题分类汇编：图形的性质之锐角三角函数
一、单选题
1．在中，， ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小 D．扩大
3．如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，， ，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，已知，，，那么的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
7．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
9．在中，，，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
12．的值为（ ）
A． B． C． D．
13．下列式子错误的是（ ）
A． B．
C． D．
14．的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
15．在中，如果，，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
16．在△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．等腰直角三角形 B．有60°角的直角三角形
C．等边三角形 D．顶角为120°的等腰三角形
17．若，则锐角α的度数是（ ）
A． B． C． D．
18．已知，则锐角的取值范围是( )
A． B． C． D．
19．已知，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
20．已知中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
21．中，，，，则（ ）
A．，且
B．，且
C．，且
D．，且
22．如图，一架民航客机在飞行途中前方出现雷暴区域，机组请示后决定从C点处以仰角直线爬升至云层上方，爬升后客机所在的A点处相对于C点处的飞行高度上升了米，则客机直线爬升的距离为（ ）
A． B． C． D．
23．一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是
A．海里、15海里 B．海里、5海里
C．海里、海里 D．海里、海里
24．如图，某滑雪场有一坡角为α的滑雪道，滑雪道的长为300m，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）
A．300cosαm B．300sinαm C． D．
25．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
二、填空题
26．一个斜坡的坡角为度，它的坡比 ．
27．已知锐角满足，则 ．
28．小明在探究一个角的正弦值与余弦值之间的关系发现：．已知中，则 ．
29．若是的一个内角，且有，则等于 ．
30．计算： ．
31．在中，，，，则的值是 ．
32． ．
33．在中，若、满足，则为 三角形．
34．若为锐角，，则 ．
35．比较大小：sin80° sin50°（填“＞”或“＜”）．
36．若锐角满足，则的取值范围是 ．
37．如果，那么 ．
38．如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ．
39．如图，在中，，于点D，，，那么 ．
40．如图所示，自动扶梯段的长度为20米，倾斜角A为，高度为 米．（结果用含的三角函数表示）
41．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标为（6，），连接，与轴正半轴的夹角的正切值是，则的值是 ．
42．如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．
43．小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了 米．
44．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为 ．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37° ≈0.75）
三、解答题
45．计算：
46．计算：
(1)．
(2)．
47．如图，在中，，，．求的长、和的值．
48．如图中，，试求出的三个三角函数值．
49．在中，，，为锐角且．
（1）求的度数；
（2）求的正切值．
50．如图，已知中，，，，，为边上的中线．
(1)求的长；
(2)求的面积．
51．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上．沿教学楼向前走7.7米到达点处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点，，在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：，）
52．如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东60°的方向上.
(1)求BP的距离；
(2)已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险.
53．如图，在一旗杆AB的顶端A上系一活动旗帜，在某一时刻，旗杆的影子落在平地BD和一坡度为1：的斜坡DF上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡顶点D处，若测得旗高BC=8m，影长BD=16m，影长DE=12m，（假设旗杆AB与地面垂直，B、D、G三点共线，AB、BG、DF在同一平面内）．
（1）求坡角∠FDG的度数；
（2）求旗杆AB的高度．（注：≈1.73，结果精确到0.1m）
54．如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，．
(1)求旗杆部分的长．
(2)求钢丝的总长度．（结果保留根号）
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C D A A B D B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 C C C A D B D D D B
题号 21 22 23 24 25
答案 B A D B A
1．B
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正弦和余弦的定义．
【解答】解：∵，，
∴．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变．
【解答】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：∵，则，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要，必须熟练掌握知识点是解题关键．根据锐角三角函数的定义即可求得答案．
【解答】解：在中，，，，
，
，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【解答】解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∴．
∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】根据正切的定义解答即可．
【解答】解：tanA=．
故答案为A．
【总结】本题主要考查了正切的定义，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA．
8．B
【分析】本题考查了求角的正切值，牢记角的正切值的定义是解题的关键：在中，，如果锐角确定，那么的对边与邻边的比也随之确定，的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即．
按照角的正切值的定义求解即可．
【解答】解：在中，，
，
故选：．
9．D
【分析】本题考查解直角三角形，根据已知条件，利用正切定义求解即可．
【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据的正切值求出的度数是解题的关键．先根据，且是锐角求出的度数，即可求解．
【解答】解：，且是锐角，
，
，
故选：B．
11．C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可．
【解答】解：如图，中，，，则，，
∴，
故选：C．
12．C
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：．
故选：C．
13．C
【分析】本题考查三角函数计算．根据题意熟记特殊角三角函数值是解决本题的关键，逐一计算选项即可选出本题答案．
【解答】解：A、∵，故A选项正确；
B、∵，故B选项正确；
C、∵，
∴，故C选项不正确；
D、∵，故D选项正确；
故选：C．
14．A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，将代入求值即可．
【解答】解：原式
，
故选：A．
15．D
【分析】根据特殊的三角函数值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状．
【解答】∵ ，，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴ ∠A＋∠B＝90°，
∴ 这个三角形一定是直角三角形，
故选：D．
【总结】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．
16．B
【分析】根据非负数的性质得到，再根据特殊角的三角函数值得到∠A=60°，∠B=30°，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：∵，
∴，
即，
∴∠A=60°，∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
故选：B．
【总结】本题考查直角三角形的判定，特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
17．D
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可．
【解答】解：，，
，
故选：D．
18．D
【分析】首先明确，然后根据余弦函数随角度的增大而减小即可得出答案．
【解答】∵，余弦函数随角度的增大而减小，
∴，
故选：D．
【总结】本题主要考查三角函数，掌握特殊角的三角函数值及锐角三角函数的增减性是解题的关键．
19．D
【分析】根据的正弦值和余弦值都是的的值，因此值相等．
【解答】
∴
故选：D
【总结】此题考查锐角三角形函数值，解题关键是分清锐角三角函数中的对边，邻边和斜边分别是哪条边．
20．B
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故选B．
21．B
【分析】根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形中正弦、余弦、正切的定义分别求值，即可得到答案．
【解答】解：在中 ，，，
∴，
∵，，，，
∴ ，，
故选B．
22．A
【分析】本题考查了解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．由的正弦即可求解，
【解答】，
米，
故选：．
23．D
【分析】过S作于C，在上截取，根据线段垂直平分线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，求得，设，解直角三角形即可得到结果．
【解答】
过S作于C，在上截取，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，在中，
∵，
∴，，
∵海里，
∴，
解得：，
∴海里，
∴海里，
∴则灯塔S离观测点A、B的距离分别是海里、海里．
故选D．
【总结】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出高线转化成解直角三角形问题是解决本题的关键．
24．B
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正弦的定义进行解答即可．
【解答】
解：在中，，，，
∵，
∴，
故选：B．
25．A
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案．
【解答】解：由题意得（米），
在中，，，
（米），
故选A．
26．
【分析】坡比，即坡面的垂直高度和水平宽度的比，即坡角的正切值，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，，，，
∴设，则，
∴，
故答案为：．
【总结】本题主要考查坡比的概念及计算方法，掌握其概念和计算方法是解题的关键．
27．35
【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案．
【解答】解：∵，
∴，即：，
故答案为：35．
28．
【分析】本题考查同角三角函数的关系，根据，，代入计算即可．
【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
29．
【分析】本题考查特殊角的三角函数问题，先由题中条件，结合特殊角的三角函数值得到，从而确定，再由特殊角的三角函数值求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
【解答】解：是的一个内角，且有，
，则，
，
故答案为：．
30．
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算减法即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
31．
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中正切等于对边比邻边，即可求解．
【解答】解：∵在中，，，，
∴．
故答案为：
32．
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
根据特殊角的三角函数值解决此题．
【解答】解：原式
=
故答案为：
33．直角
【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得∠A和∠B，即可作出判断．
【解答】∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【总结】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，是解题的关键．
34．30
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，牢记常见特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据“”即可解答．
【解答】解：∵，
∴．
故答案为：30．
35．＞
【分析】根据锐角三角函数的性质可知，锐角的角度越大，它的正弦值越大即可判断．
【解答】解：∵0°＜50°＜80°＜90°，
∴
故答案为：＞．
【总结】本题主要考查锐角三角函数的性质：锐角的角度越大，它的正弦和正切值越大，余弦值越小．熟记相关性质是解题关键．
36．
【分析】首先根据得到，进而求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【总结】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性．
37．/58度
【分析】根据互为余角的两个角的正切相乘等于1即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【总结】本题考查了互为余角的三角函数的关系，掌握“互为余角的两个角的正切相乘等于1”是解题的关键．
38．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键．
由题意可得，进而解答，然后求出即可．
【解答】解：由题意可知：
∵，
∴，即，解得：，
∴木杆折断之前高度为．
故答案为．
39．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．先得，由，从而求出，最后由进行计算可以得解．
【解答】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：．
40．
【分析】利用所给角的正弦函数求解．
【解答】解：，
（米），
故答案为：．
【总结】此题主要考查三角函数定义的应用，属于基础应用问题，比较简单．
41．8
【分析】由点向轴引垂线，结合锐角三角函数值和点的横坐标，求得点的纵坐标，即的值；
【解答】解：作轴于，
，，
，即．
故答案为：．
【总结】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握点的坐标以及锐角三角函数的概念．
42．
【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可．
【解答】解：由题意，得：海里，
∴海里；
∴渔船每小时航行海里；
故答案为：．
【总结】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
43．50
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出上升高度和水平前进距离.根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果．
【解答】解：设垂直距离为x米，则水平距离为米，
根据题意得：，
解得：（负值舍去），
∴她实际上升了50米，
故答案为：50
44．10米/10m
【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长即可．
【解答】解：根据题意得：∠BAC=37°，∠ACB=90°，
∵，
∴，
解得：AB≈10米，
即自动扶梯AB的长约为10米．
故答案为：10米
【总结】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
45．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：
．
46．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】（1）解：原式，
（2）解：原式．
47．，，
【分析】根据勾股定理和各三角函数的定义即可求解．
【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得，
则，
【总结】本题考查勾股定理的应用、求一个角的正弦和正切值等知识点．掌握相关定义是解题关键．
48．，，
【分析】本题考查了三角函数的定义，结合已知，先利用勾股定理求出的长，再根据，，即可求解的三个三角函数值．
【解答】解：中，，
，
，，．
49．（1）60°，（2）3
【分析】（1）根据特殊角三角函数值直接求解即可；
（2）作AD⊥BC于D，求出AD＝3，CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠B为锐角且，
∴∠B＝60°；
（2）作AD⊥BC于D，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝，
∵BC＝4，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴tanC＝＝＝3．
【总结】本题考查了解直角三角形、特殊锐角的三角函数值、三角函数定义等知识；熟练掌握直角三角形的性质和特殊锐角的三角函数值是解题的关键．
50．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键．
（1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题．
【解答】（1），
．
在中，
，
，
．
（2）为边上的中线，
．
又，
．
51．19.8米
【分析】先得出是等腰直角三角形，设米，得，，由得，进而得出方程求解即可进一步得出结论．
解：如图，连接并延长，交于点，设米．
由题意可知，四边形，四边形是矩形，
∴，，．
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
在中，，，
∴．
∴．
解得，．
∴（米）
答：教学楼的高约为19.8米．
【总结】本题考查了解三角形的应用---仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
52．(1)40海里
(2)若轮船仍向前航行有触礁的危险，理由见解析
【分析】（1）通过计算得到，得到，从而得解；
（2）作于点，解得进而判定即可；
【解答】（1），，
又，
，
（海里）
（2）作于点.
在直角中，.
答：若轮船仍向前航行有触礁的危险
【总结】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，掌握直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键．
53．（1）∠FDG=30°；（2）19.2m．
【分析】（1）作EH⊥DG于H，根据坡度为1：，可得∠FDG=30°；
（2）求出BG的值，根据BC=8m，影长BD=16m，可求得AB的值．
【解答】解：（1）作EH⊥DG于H，
∴tan∠FDG=
∴∠FDG=30°；
（2）延长AE交BG于点M，
∵∠FDG=30°，DE=12m，
∴
又∵BC=8m，影长BD=16m，
∴HM=2EH=12m，
∴
∴
答：旗杆AB的高度约为19.2m．
【总结】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形．
54．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用；
（1）利用的正切解题即可；
（2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案．
【解答】（1）解：在中，，
∴；
（2）解：，
在中，,
∴，
∴钢丝的总长度为．
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