浙江省宁波外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
1．（2024八上·宁波开学考）若分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·宁波开学考）若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，分别是上的点，且，若，则（ ）°
A．66 B．92 C．96 D．98
4．（2024八上·宁波开学考）如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·宁波开学考）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·宁波开学考）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是或
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是
7．（2024八上·宁波开学考）如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（ ）
A． B． C． D．无解
8．（2024八上·宁波开学考）如图，在中是上的一点，，点是的中点．设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
9．（2024八上·宁波开学考）如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的点处，折痕与交于点，若，则折痕的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·宁波开学考）将点关于轴对称后再向左平移个单位，其对应点落在轴上，则 ．
12．（2024八上·宁波开学考）已知方程组的解满足方程，则 ．
13．（2024八上·宁波开学考）若且，则的值为
14．（2024八上·宁波开学考）如图，，点在边上，与交于点，则 ．
15．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ．
16．（2024八上·宁波开学考）如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为 ．
17．（2024八上·宁波开学考）解分式方程和不等式组
（1）
（2）解不等式组并把解集表示在数轴上．
18．（2024八上·宁波开学考）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形．
（1）请在图甲中作一个格点三角形，使是一个面积为2的等腰三角形．
（2）请在图乙中仅用无刻度的直尺，作出的平分线（保留作图痕迹）．
19．（2024八上·宁波开学考）某产品的商标如图所示，O是线段AC、DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小林认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：
∵ AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，
∴ △ABO≌△DCO．
你认为小林的思考过程对吗？
如果正确，指出他用的是哪个判别三角形全等的方法；如果不正确，写出你的思考过程
20．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且，
（1）求的面积；
（2）求经过点且平分面积的直线解析式．
21．（2024八上·宁波开学考）学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍．
（1）求A，B两种水杯的进价分别是多少元．
（2）学校超市计划按（1）题的进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润．
22．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系中，是轴上一点，是轴上一点，
（1）若，判断的形状．
（2）在（1）的条件下，延长至，使，求点的坐标．
（3）在（2）条件下，点是轴上的动点，若为等腰三角形，直接写出点的坐标．
（4）如图，若平分的横坐标为，探究与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式有意义，
则，
解得，
故答案为：A．
【分析】若分式有意义，则分式的分母不能为零，列不等式即可解答．
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意，得
解得，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的三边关系，列出不等式即可解答.．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵
∴
，
，
∴
∵
∴
∴
在中，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）及三角形的内角和、平角的定义即可解答.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：作轴，如图所示：
令，则；令，则；
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴点的坐标是
故答案为：D。
【分析】根据旋转的性质得出，，然后作轴，得到，这样，AC=BO=4，即C点就在A点的右边四个单位，所以C点的坐标就是（3+4，0），即（7，0）；B'的横坐标就是7；AO=AO'=B'C=3，因此B'的纵坐标就是3，因此得出答案。
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由，得：，
由，得：，
不等式组无解，
，
故答案为：B
【分析】解含参数的不等式，根据解集情况，确定参数范围即可.
6．【答案】A
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：的公分母是
方程两边同时乘上
得
若此整式方程无解，则
解得
若整式方程有解，使得公分母为0，则这个解是分式方程的增根
令：
∴
∴
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则或，故C是正确的；
故答案为：A
【分析】将含参的分式方程先化成整式方程后，在根据分式方程无解，分成两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但分式方程无解（分式方程有增根），分别解出m的值即可.
7．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方，
∴不等式组的解为，
故答案为：A．
【分析】根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即是不等式组的解集．
8．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：，
，
点是的中点，
，
，
即，
．
故答案为：B．
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，求出，，然后计算面积差即可解答．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折而成，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，则，
设，则，
在中，，
即，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据图形折叠的性质，利用勾股定理列式计算即可.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当时，
；
在中，，
当，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
；
情况二：
，
，
，
为等边三角形，
；
故答案为：C．
【分析】P是射线CO上的动点，若是直角三角形，则可分为或两种情况作出图形，再根据勾股定理，等边三角形的判定及性质，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，即可解答.
11．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点为，
点向左平移2个单位即可落在轴上，
故答案为：．
【分析】根据轴对称点特征求出对称点，再根据点坐标的平移规律即可得到解答．
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
①②得：．
，
∵
，
解得．
故答案为：．
【分析】方程组中两方程相加得出，再由题意得，解方程即可求解.
13．【答案】-7或6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，
∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42，
∴（x+y）2+（x+y）-42=0，
∴（x+y+7）（x+y-6）=0，
∴x+y+7=0或x+y-6=0，
解得：x+y=-7或x+y=6．
故答案为：-7或6.
【分析】将原题中的两个等式相加得到：x2+2xy+y2+x+y=42，整理得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；8字模型
【解析】【解答】解：和相交于点，
．
在和中，
∵，
．
又，
，
．
在和中，
，
．
，．
在中，
，，
，
．
故答案为：
【分析】先根据三角形外角的性质得出，即可判断出，由全等三角形的性质得，，在△CDE中根据三角形内角和即可求解的度数.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，，
是的中线，，
是的中点，
∴，
∴
的周长为8，
，
，
，
由勾股定理可知：，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质先求出BF=2，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=DF，即可根据题意求出AB的长，在由勾股定理计算出AF.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：在CA上截取CG=AB，连接GF
∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠A=∠ACB=45°，
∵
∴∠GCF=45°
在△ABE和△CGF中
∴△ABE≌△CGF（SAS）
∴BE=GF
故的最小值为的最小值
作B关于CD的对称点，连接、，过G作于H
则G即为的最小值
∵，∠ACB=45°
∴
∴
在Rt△HG中，
即的最小值为.
【分析】根据题意，构造全等三角形，将两个动点一个定点的最值问题转化成我们熟悉的“将军饮马问题”，再由勾股定理求解即可.
17．【答案】（1）解：
经检验：是原分式方程的解．
（2）解：
由①得：，
由②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
【知识点】解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）按解分式方程步骤，先将分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，并检验；
（2）先分别解出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
（1）解：
经检验：是原分式方程的解．
（2）解：
由①得：，
由②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
18．【答案】（1）解：根据等腰三角形的性质，；
；
（2）解：连接，取中点，
根据题意得：，
，
故平分．
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式确定等腰三角形的底为2，即可作图；
（2）根据勾股定理可以求出AB=5，连接，得等腰三角形ABC，取中点，根据等腰三角形的性质画图即可．
（1）解：根据等腰三角形的性质，；
；
（2）解：连接，取中点，
根据题意得：，
，
故平分．
．
19．【答案】解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边；正确的解答是：连接BC，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
∴∠A=∠D，
在△AOB和△DOC中，
∵，
∴△AOB≌△DOC（AAS）．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】因为AC和BD不是这两个三角形的边，所以小华的思考是不正确的，应该连接BC，先利用SSS判定△ABC≌△DBC，再由全等三角形性质得到∠A=∠D，然后根据AAS来判定△AOB≌△DOB．
20．【答案】（1）解：将代入，得，∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，点P在x轴的负半轴，∴；
∵经过点的直线平分面积，
∴该直线经过线段的中点，
∵，
∴线段的中点坐标为，
设该直线的解析式为，
将、代入，得，解得，
∴经过点且平分面积的直线解析式为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再确定三角形的底和高，利用三角形的面积公式求解即可；
（2）根据题意，可确定点P坐标，因为三角形的中线平分该三角形的面积，所以得过点P的直线只需经过线段的中点即可，故根据中点坐标公式求得OA中点坐标，然后利用待定系数法即可求出直线解析式.
（1）解：将代入，得，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，点P在x轴的负半轴，
∴；
∵经过点的直线平分面积，
∴该直线经过线段的中点，
∵，
∴线段的中点坐标为，
设该直线的解析式为，
将、代入，得，解得，
∴经过点且平分面积的直线解析式为．
21．【答案】（1）解：设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；
（2）解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个，根据题意，得，
解得，
，
设利润为W元，根据题意，
，
∵，
∴W随x的增大而减小，又x为整数，
∴当时，W最大，最大值为，
答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种水杯的进价为a元，根据" 800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍 "列出分式方程求解即可；
（2）设购进A种水杯x个，根据“ 超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元 ”列出不等式组，解到x的取值范围，设利润为W元，根据题意，得，再根据一次函数的性质即可解答．
（1）设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；
（2）解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个，
根据题意，得，
解得，
，
设利润为W元，根据题意，
，
∵，
∴W随x的增大而减小，又x为整数，
∴当时，W最大，最大值为，
答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．
22．【答案】（1）解：∵
∴，，，
，
是直角三角形；
（2）解：过点作轴，
由（1）可得，中，
，
在和中，
；
（3）或或或
（4）解：过点作轴，
中，
，，
，
在和中，
，
，，
，
由题意可得：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解析】（3）解：设点为，
①当时，
，
解得，（舍去），
此时；
②当时，，
解得或；
此时或，
③当时，即，
，
解得，
此时；
综上所述，或或或；
【分析】（1）根据A、C、D三点的坐标，先求出的长，再根据勾股定理逆定理即可 判断是直角三角形 ；
（2）过点作轴，由（1）的结论，若， 则可判断出，由全等三角形的性质即可求出点的坐标；
（3） 若为等腰三角形，可分为：BC=BE、BC=CE、BE=CE三种情况，分别求解即可.
（4）过点作轴，先证明，由全等的性质，再证明根，由全等三角形的性质得，由线段的和差关系即可写出与的数量关系．
（1）解：由题意可得：，，，
，
是直角三角形；
（2）解：过点作轴，
由（1）可得，中，
，
在和中，
；
（3）解：设点为，
①当时，
，
解得，（舍去），
此时；
②当时，，
解得或；
此时或，
③当时，即，
，
解得，
此时；
综上所述，或或或；
（4）解：过点作轴，
中，
，，
，
在和中，
，
，，
，
由题意可得：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
1 / 1浙江省宁波外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题
1．（2024八上·宁波开学考）若分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式有意义，
则，
解得，
故答案为：A．
【分析】若分式有意义，则分式的分母不能为零，列不等式即可解答．
2．（2024八上·宁波开学考）若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意，得
解得，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的三边关系，列出不等式即可解答.．
3．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，分别是上的点，且，若，则（ ）°
A．66 B．92 C．96 D．98
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵
∴
，
，
∴
∵
∴
∴
在中，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质（等边对等角）及三角形的内角和、平角的定义即可解答.
4．（2024八上·宁波开学考）如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：作轴，如图所示：
令，则；令，则；
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴点的坐标是
故答案为：D。
【分析】根据旋转的性质得出，，然后作轴，得到，这样，AC=BO=4，即C点就在A点的右边四个单位，所以C点的坐标就是（3+4，0），即（7，0）；B'的横坐标就是7；AO=AO'=B'C=3，因此B'的纵坐标就是3，因此得出答案。
5．（2024八上·宁波开学考）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由，得：，
由，得：，
不等式组无解，
，
故答案为：B
【分析】解含参数的不等式，根据解集情况，确定参数范围即可.
6．（2024八上·宁波开学考）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（ ）
A．分式方程的增根是或
B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则或
D．分式方程的增根是
【答案】A
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：的公分母是
方程两边同时乘上
得
若此整式方程无解，则
解得
若整式方程有解，使得公分母为0，则这个解是分式方程的增根
令：
∴
∴
把分别代入
得出（舍去）；，则
∴分式方程的增根是
故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；
若分式方程无解，则或，故C是正确的；
故答案为：A
【分析】将含参的分式方程先化成整式方程后，在根据分式方程无解，分成两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但分式方程无解（分式方程有增根），分别解出m的值即可.
7．（2024八上·宁波开学考）如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方，
∴不等式组的解为，
故答案为：A．
【分析】根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即是不等式组的解集．
8．（2024八上·宁波开学考）如图，在中是上的一点，，点是的中点．设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：，
，
点是的中点，
，
，
即，
．
故答案为：B．
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，求出，，然后计算面积差即可解答．
9．（2024八上·宁波开学考）如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的点处，折痕与交于点，若，则折痕的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折而成，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，则，
设，则，
在中，，
即，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据图形折叠的性质，利用勾股定理列式计算即可.
10．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当时，
；
在中，，
当，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
；
情况二：
，
，
，
为等边三角形，
；
故答案为：C．
【分析】P是射线CO上的动点，若是直角三角形，则可分为或两种情况作出图形，再根据勾股定理，等边三角形的判定及性质，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，即可解答.
11．（2024八上·宁波开学考）将点关于轴对称后再向左平移个单位，其对应点落在轴上，则 ．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点为，
点向左平移2个单位即可落在轴上，
故答案为：．
【分析】根据轴对称点特征求出对称点，再根据点坐标的平移规律即可得到解答．
12．（2024八上·宁波开学考）已知方程组的解满足方程，则 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：，
①②得：．
，
∵
，
解得．
故答案为：．
【分析】方程组中两方程相加得出，再由题意得，解方程即可求解.
13．（2024八上·宁波开学考）若且，则的值为
【答案】-7或6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，
∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42，
∴（x+y）2+（x+y）-42=0，
∴（x+y+7）（x+y-6）=0，
∴x+y+7=0或x+y-6=0，
解得：x+y=-7或x+y=6．
故答案为：-7或6.
【分析】将原题中的两个等式相加得到：x2+2xy+y2+x+y=42，整理得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．
14．（2024八上·宁波开学考）如图，，点在边上，与交于点，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；8字模型
【解析】【解答】解：和相交于点，
．
在和中，
∵，
．
又，
，
．
在和中，
，
．
，．
在中，
，，
，
．
故答案为：
【分析】先根据三角形外角的性质得出，即可判断出，由全等三角形的性质得，，在△CDE中根据三角形内角和即可求解的度数.
15．（2024八上·宁波开学考）如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，，
是的中线，，
是的中点，
∴，
∴
的周长为8，
，
，
，
由勾股定理可知：，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质先求出BF=2，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=DF，即可根据题意求出AB的长，在由勾股定理计算出AF.
16．（2024八上·宁波开学考）如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：在CA上截取CG=AB，连接GF
∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠A=∠ACB=45°，
∵
∴∠GCF=45°
在△ABE和△CGF中
∴△ABE≌△CGF（SAS）
∴BE=GF
故的最小值为的最小值
作B关于CD的对称点，连接、，过G作于H
则G即为的最小值
∵，∠ACB=45°
∴
∴
在Rt△HG中，
即的最小值为.
【分析】根据题意，构造全等三角形，将两个动点一个定点的最值问题转化成我们熟悉的“将军饮马问题”，再由勾股定理求解即可.
17．（2024八上·宁波开学考）解分式方程和不等式组
（1）
（2）解不等式组并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）解：
经检验：是原分式方程的解．
（2）解：
由①得：，
由②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
【知识点】解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）按解分式方程步骤，先将分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，并检验；
（2）先分别解出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
（1）解：
经检验：是原分式方程的解．
（2）解：
由①得：，
由②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
18．（2024八上·宁波开学考）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形．
（1）请在图甲中作一个格点三角形，使是一个面积为2的等腰三角形．
（2）请在图乙中仅用无刻度的直尺，作出的平分线（保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：根据等腰三角形的性质，；
；
（2）解：连接，取中点，
根据题意得：，
，
故平分．
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式确定等腰三角形的底为2，即可作图；
（2）根据勾股定理可以求出AB=5，连接，得等腰三角形ABC，取中点，根据等腰三角形的性质画图即可．
（1）解：根据等腰三角形的性质，；
；
（2）解：连接，取中点，
根据题意得：，
，
故平分．
．
19．（2024八上·宁波开学考）某产品的商标如图所示，O是线段AC、DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小林认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：
∵ AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，
∴ △ABO≌△DCO．
你认为小林的思考过程对吗？
如果正确，指出他用的是哪个判别三角形全等的方法；如果不正确，写出你的思考过程
【答案】解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边；正确的解答是：连接BC，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
∴∠A=∠D，
在△AOB和△DOC中，
∵，
∴△AOB≌△DOC（AAS）．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】因为AC和BD不是这两个三角形的边，所以小华的思考是不正确的，应该连接BC，先利用SSS判定△ABC≌△DBC，再由全等三角形性质得到∠A=∠D，然后根据AAS来判定△AOB≌△DOB．
20．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且，
（1）求的面积；
（2）求经过点且平分面积的直线解析式．
【答案】（1）解：将代入，得，∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，点P在x轴的负半轴，∴；
∵经过点的直线平分面积，
∴该直线经过线段的中点，
∵，
∴线段的中点坐标为，
设该直线的解析式为，
将、代入，得，解得，
∴经过点且平分面积的直线解析式为．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再确定三角形的底和高，利用三角形的面积公式求解即可；
（2）根据题意，可确定点P坐标，因为三角形的中线平分该三角形的面积，所以得过点P的直线只需经过线段的中点即可，故根据中点坐标公式求得OA中点坐标，然后利用待定系数法即可求出直线解析式.
（1）解：将代入，得，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，点P在x轴的负半轴，
∴；
∵经过点的直线平分面积，
∴该直线经过线段的中点，
∵，
∴线段的中点坐标为，
设该直线的解析式为，
将、代入，得，解得，
∴经过点且平分面积的直线解析式为．
21．（2024八上·宁波开学考）学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍．
（1）求A，B两种水杯的进价分别是多少元．
（2）学校超市计划按（1）题的进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润．
【答案】（1）解：设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；
（2）解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个，根据题意，得，
解得，
，
设利润为W元，根据题意，
，
∵，
∴W随x的增大而减小，又x为整数，
∴当时，W最大，最大值为，
答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A种水杯的进价为a元，根据" 800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍 "列出分式方程求解即可；
（2）设购进A种水杯x个，根据“ 超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元 ”列出不等式组，解到x的取值范围，设利润为W元，根据题意，得，再根据一次函数的性质即可解答．
（1）设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解且符合题意，
∴，
答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；
（2）解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯个，
根据题意，得，
解得，
，
设利润为W元，根据题意，
，
∵，
∴W随x的增大而减小，又x为整数，
∴当时，W最大，最大值为，
答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．
22．（2024八上·宁波开学考）在平面直角坐标系中，是轴上一点，是轴上一点，
（1）若，判断的形状．
（2）在（1）的条件下，延长至，使，求点的坐标．
（3）在（2）条件下，点是轴上的动点，若为等腰三角形，直接写出点的坐标．
（4）如图，若平分的横坐标为，探究与的数量关系．
【答案】（1）解：∵
∴，，，
，
是直角三角形；
（2）解：过点作轴，
由（1）可得，中，
，
在和中，
；
（3）或或或
（4）解：过点作轴，
中，
，，
，
在和中，
，
，，
，
由题意可得：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解析】（3）解：设点为，
①当时，
，
解得，（舍去），
此时；
②当时，，
解得或；
此时或，
③当时，即，
，
解得，
此时；
综上所述，或或或；
【分析】（1）根据A、C、D三点的坐标，先求出的长，再根据勾股定理逆定理即可 判断是直角三角形 ；
（2）过点作轴，由（1）的结论，若， 则可判断出，由全等三角形的性质即可求出点的坐标；
（3） 若为等腰三角形，可分为：BC=BE、BC=CE、BE=CE三种情况，分别求解即可.
（4）过点作轴，先证明，由全等的性质，再证明根，由全等三角形的性质得，由线段的和差关系即可写出与的数量关系．
（1）解：由题意可得：，，，
，
是直角三角形；
（2）解：过点作轴，
由（1）可得，中，
，
在和中，
；
（3）解：设点为，
①当时，
，
解得，（舍去），
此时；
②当时，，
解得或；
此时或，
③当时，即，
，
解得，
此时；
综上所述，或或或；
（4）解：过点作轴，
中，
，，
，
在和中，
，
，，
，
由题意可得：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
．
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