广东省深圳市光明区公明中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题
1．（2024九上·光明开学考）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵6a3b=3a2b×2a，9a2b3=3a2b×3b2，
∴单项式6a3b与9a2b3的公因式为3a2b.
故答案为：C.
【分析】确定几个单项式的公因式，可概括为三“定”：1定系数，即确定各系数的最大公约数；2定字母，即确定单项式的相同字母因式(或相同多项式因式)；3定指数，即各单项式中相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此求解即可.
2．（2024九上·光明开学考）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．5，12，15 C．1，，2 D．，，5
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵42+52=16+25=41＞36=62，∴不能组成直角三角形，故A选项不正确；
B、∵52+122=25+144=169＜225=152，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵12+（）2=22，∴能组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵（）2+（）2=2+3=5＜25=52，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故答案为：C．
【分析】本题需要运用勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。针对ABCD四个选项，可以求出两条较短边的平方和与最长边的平方比较，如果相等则能构成直角三角形，若不相等则够不成直角三角形.
3．（2024九上·光明开学考）把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．不改变
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，分式的值不改变，
故答案为：D．
【分析】 分母的x、y同时扩大为原来的2倍 ，根据分式的基本性质约分化简即可解得。
4．（2024九上·光明开学考）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：根据作法可以发现，，
则两组对边分别相等，那么，四边形为平行四边形，
故答案为：B．
【分析】根据尺规作图方法“ 以点B为圆心，长为半径画弧 ”可得，“ 以点D为圆心，长为半径画弧”，可得CD=AB，则判定四边形为平行四边形的依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
5．（2024九上·光明开学考）下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、B、D三个选项中的图形不是平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形通过平移得到的，
故答案为：C．
【分析】根据平移的定义逐项判断即可．
6．（2024九上·光明开学考）为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则走乙路线的平均速度为千米/时，
依题意，可列方程为，
故答案为：A．
【分析】设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则设走乙路线的平均速度为千米/时，根据“时间节省20分钟”列出分式方程即可．
7．（2024九上·光明开学考）关于 的不等式组 恰好只有四个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】由不等式 ，可得：x≤4，
由不等式a﹣x＜2，可得：x＞a﹣2，
由以上可得不等式组的解集为：a﹣2＜x≤4，
因为不等式组 恰好只有四个整数解，
所以可得：0≤a﹣2＜1，
解得：2≤a＜3，
故选：C．
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组 恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．
8．（2024九上·光明开学考）如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．6 B．4.5 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC的延长线于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．
故答案为：B．
【分析】延长BD交AC的延长线于点H，先由直角三角形和等腰三角形的性质可得出D、C为中点，在由三角形的中线等分面积，即可推出两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
9．（2024九上·光明开学考）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 .
【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得 ＝40，
解得n＝9.
故答案为9.
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案.
10．（2024九上·光明开学考）若分式 的值为零，则x的值为 ．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据题意，得|x|-1=0，且x-1≠0，解得x=-1．
故答案为：1
【分析】若分式的值为0，则分子为0且分母不等于0，就可求出x的值。
11．（2024九上·光明开学考）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 种．
【答案】2
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，去掉一个小正方形后能组成中心对称图形的情况如下，
∴去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有2种，
故答案为：2．
【分析】根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行判断即可.
12．（2024九上·光明开学考）如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点A，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点，一次函数的图象过点A，
∴当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，
∴不等式的解集为，
故答案为：
【分析】利用一次函数图象与不等式的关系，结合两直线交点的横坐标，及函数图象的相对位置即可作答.
13．（2024九上·光明开学考）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为 ．
【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，
∵∠DCB＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，BD＝AB，
∴∠ABD+∠1＝∠2+∠1，
即∠DBE＝∠ABC，
在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝ED，
在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，
∴CD2+BC2＝AC2，
∵CD＝a，BC＝b，AC＝4，
∴a2+b2＝32，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝32+2ab，
∵以a，b，4为边的三角形是直角三角形，a，b是直角边，
∴S△CDE＝ab，
当a＝b时，三角形的面积最大，此时a＝b＝4，
∴ab＝16，
∴（a+b）2的最大值为64，
∴a+b的最大值为8，
故答案为：8．
【分析】
过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，得到等边△BCE，进而证明出△ABC≌△DBE，再由勾股定理得a2+b2＝32，根据完全平方公式（a+b）2＝a2+b2+2ab＝32+2ab，故a＝b时，a+b的值最大即可．
14．（2024九上·光明开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
，
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式化简，再代值计算即可.
15．（2024九上·光明开学考）如图所示，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出，并写出点、、的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点P，使得与面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；∴，，；
（2）解：由题意得，，∴，
设P点坐标为（0，y）
∴，即，
∴，即y+2=3或-3
解得y=1或-5.
∴点P的坐标为或。
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）根据点的坐标平移规律“上加下减，左减右加”，分别得到A、B、C按照要求“ 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 ”，找到对应点、、的坐标，再描出、、，最后顺次连接成三角形即可；
（2）因为条件是“与面积相等 ”，可以先求出的面积，而P在y轴上，因此可以先假设P点的坐标为（0，y），此时的面积就是BC为底、为高的三角形，这样就可以列方程求解即可得到答案．
（1）解：如图所示，即为所求；
∴，，；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或．
16．（2024九上·光明开学考）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，线段BE垂直于∠BAC的平分线于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
(1)求证： DM＝CE；
(2)若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
在△BAD和△EAD中， ，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴AB=AE，BD=DE，
∵M为BC的中点，
∴DM=CE
（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6，BD=8，
∴由勾股定理得：AE=AB=，
∵DM=2，DM=CE，
∴CE=4，
∴AC=10+4=14．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证△BAD≌△EAD，由全等性质得出AB=AE，BD=DE，再根据三角形的中位线性质得出DM=CE即可；
（2）根据勾股定理求出AB、AE，由三角形的中位线性质求出CE，即可解答．
17．（2024九上·光明开学考）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少10mL，无人机用药300mL喷洒的农田面积与常规喷药壶用药450mL喷洒的农田面积相同．
（1）求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量 ．
（2）该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，若采购资金不超过360000元，则最少需采购A型号喷药无人机多少台？
【答案】（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购台型号喷药无人机，则采购台型号喷药无人机，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为8．
答：最少需采购型号喷药无人机8台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为xml， 则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为mL，列出关于x 的分式方程即可解答；
（2）设采购m 台 A 型号喷药无人机，根据结合总价不超过360000元，可列出关于m的一元一次不等式，解出解集后求最小值即可.
（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购台型号喷药无人机，则采购台型号喷药无人机，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为8．
答：最少需采购型号喷药无人机8台．
18．（2024九上·光明开学考）如图，已知，在一条直线上，.
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形.
【答案】证明：（1）∵AF=EC∴AC=EF
又∵BC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF
（2）∵Rt△ABC≌Rt△EDF
∴BC=DF，∠ACB=∠DFE
∴∠BCF=∠DFC
∴BC∥DF，BC=DF
∴四边形BCDF是平行四边形
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意，由“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△EDF；
（2）由全等的性质及平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证四边形BCDF是平行四边形．
19．（2024九上·光明开学考）【阅读学习】
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1）；
（2）．
【学以致用】
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【拓展应用】
已知：，．求：的值．
【答案】解：（1）（2）
【拓展应用】
∵，，
代入得：原式=．
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】由题意，理解分组分解法，（1）参照例题把分为再提取公因式分解即可；
（2）把化为再利用完全平方和平方差分解；
（3）把化为再因式分解代入即可．
20．（2024九上·光明开学考）如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB上一动点．
（1）点A的坐标为 ；
（2）连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标；
（3）如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：根据题意分两种情况讨论：①S△OCD=2S△AOC时，∴×OC×OD=2××OC×AB，
∴OD=2AB=2，
∴点D（0，-2），
设直线AD的解析式为y=kx-2，
∴=3k-2，
∴k=，
∴直线AD的解析式为y=x-2，
∴当y=0时，x=2，
∴点C（2，0）；
②2S△OCD=S△AOC时，
∴2××OC×OD=×OC×AB，
∴OD=AB=，
∴点D（0，-），
设直线AD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y=x-，
∴当y=0时，x=1，
∴点C（1，0）；
综上所述：点C的坐标为（2，0）或（1，0）．
（3）点的坐标或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；含30°角的直角三角形；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3，∴AO=2AB，
∵AO2=AB2+OB2，
∴BA=，
∴A．
（3）
如图，当∠APO=90°时，连接BB'，过点B'作B'H⊥OB于H，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，
∵∠OAC=30°，∠APO=90°，
∴∠AOP=60°，
∴∠B'OB=60°，
∵B'H⊥OB，
∴∠OB'H=30°，
∴
当∠AOP=90°时，如图，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，
∴点B'在y轴上，
∴点B'（0，-3），
如图，由中心对称的性质可得：点的坐标或，
综上所述：点的坐标或或或
【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质、勾股定理即可求得A点坐标；
（2）根据题意可分两种情况讨论，S△OCD=2S△AOC时，2S△OCD=S△AOC时，由三角形面积关系可先求出点D坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，再求直线AD与x轴交点C即可；
（3）根据题意 △OAP为直角三角形分为两种情况，当∠APO=90°时，当∠AOP=90°时，再由30度角的直角三角形的性质求解．
（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3，
∴AO=2AB，
∵AO2=AB2+OB2，
∴BA=，
∴A．
（2）根据题意分两种情况讨论：①S△OCD=2S△AOC时，
∴×OC×OD=2××OC×AB，
∴OD=2AB=2，
∴点D（0，-2），
设直线AD的解析式为y=kx-2，
∴=3k-2，
∴k=，
∴直线AD的解析式为y=x-2，
∴当y=0时，x=2，
∴点C（2，0）；
②2S△OCD=S△AOC时，
∴2××OC×OD=×OC×AB，
∴OD=AB=，
∴点D（0，-），
设直线AD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y=x-，
∴当y=0时，x=1，
∴点C（1，0）；
综上所述：点C的坐标为（2，0）或（1，0）．
（3）如图，当∠APO=90°时，连接BB'，过点B'作B'H⊥OB于H，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，
∵∠OAC=30°，∠APO=90°，
∴∠AOP=60°，
∴∠B'OB=60°，
∵B'H⊥OB，
∴∠OB'H=30°，
∴
当∠AOP=90°时，如图，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，
∴点B'在y轴上，
∴点B'（0，-3），
如图，由中心对称的性质可得：点的坐标或，
综上所述：点的坐标或或或
1 / 1广东省深圳市光明区公明中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题
1．（2024九上·光明开学考）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·光明开学考）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．5，12，15 C．1，，2 D．，，5
3．（2024九上·光明开学考）把分式（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x、y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的 D．不改变
4．（2024九上·光明开学考）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
5．（2024九上·光明开学考）下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·光明开学考）为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·光明开学考）关于 的不等式组 恰好只有四个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·光明开学考）如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．6 B．4.5 C．3 D．2
9．（2024九上·光明开学考）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是 .
10．（2024九上·光明开学考）若分式 的值为零，则x的值为 ．
11．（2024九上·光明开学考）如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 种．
12．（2024九上·光明开学考）如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点A，则不等式的解集为 ．
13．（2024九上·光明开学考）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，设CD＝a，BC＝b，AC＝4，则a+b的最大值为 ．
14．（2024九上·光明开学考）先化简，再求值：，其中．
15．（2024九上·光明开学考）如图所示，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
（1）在图中画出，并写出点、、的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点P，使得与面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
16．（2024九上·光明开学考）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，线段BE垂直于∠BAC的平分线于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
(1)求证： DM＝CE；
(2)若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
17．（2024九上·光明开学考）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少10mL，无人机用药300mL喷洒的农田面积与常规喷药壶用药450mL喷洒的农田面积相同．
（1）求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量 ．
（2）该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，若采购资金不超过360000元，则最少需采购A型号喷药无人机多少台？
18．（2024九上·光明开学考）如图，已知，在一条直线上，.
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形.
19．（2024九上·光明开学考）【阅读学习】
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1）；
（2）．
【学以致用】
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【拓展应用】
已知：，．求：的值．
20．（2024九上·光明开学考）如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB上一动点．
（1）点A的坐标为 ；
（2）连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标；
（3）如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：∵6a3b=3a2b×2a，9a2b3=3a2b×3b2，
∴单项式6a3b与9a2b3的公因式为3a2b.
故答案为：C.
【分析】确定几个单项式的公因式，可概括为三“定”：1定系数，即确定各系数的最大公约数；2定字母，即确定单项式的相同字母因式(或相同多项式因式)；3定指数，即各单项式中相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此求解即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵42+52=16+25=41＞36=62，∴不能组成直角三角形，故A选项不正确；
B、∵52+122=25+144=169＜225=152，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵12+（）2=22，∴能组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵（）2+（）2=2+3=5＜25=52，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故答案为：C．
【分析】本题需要运用勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。针对ABCD四个选项，可以求出两条较短边的平方和与最长边的平方比较，如果相等则能构成直角三角形，若不相等则够不成直角三角形.
3．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，分式的值不改变，
故答案为：D．
【分析】 分母的x、y同时扩大为原来的2倍 ，根据分式的基本性质约分化简即可解得。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：根据作法可以发现，，
则两组对边分别相等，那么，四边形为平行四边形，
故答案为：B．
【分析】根据尺规作图方法“ 以点B为圆心，长为半径画弧 ”可得，“ 以点D为圆心，长为半径画弧”，可得CD=AB，则判定四边形为平行四边形的依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
5．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、B、D三个选项中的图形不是平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形通过平移得到的，
故答案为：C．
【分析】根据平移的定义逐项判断即可．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则走乙路线的平均速度为千米/时，
依题意，可列方程为，
故答案为：A．
【分析】设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则设走乙路线的平均速度为千米/时，根据“时间节省20分钟”列出分式方程即可．
7．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】由不等式 ，可得：x≤4，
由不等式a﹣x＜2，可得：x＞a﹣2，
由以上可得不等式组的解集为：a﹣2＜x≤4，
因为不等式组 恰好只有四个整数解，
所以可得：0≤a﹣2＜1，
解得：2≤a＜3，
故选：C．
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组 恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．
8．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC的延长线于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．
故答案为：B．
【分析】延长BD交AC的延长线于点H，先由直角三角形和等腰三角形的性质可得出D、C为中点，在由三角形的中线等分面积，即可推出两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
9．【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得 ＝40，
解得n＝9.
故答案为9.
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案.
10．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据题意，得|x|-1=0，且x-1≠0，解得x=-1．
故答案为：1
【分析】若分式的值为0，则分子为0且分母不等于0，就可求出x的值。
11．【答案】2
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图所示，去掉一个小正方形后能组成中心对称图形的情况如下，
∴去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有2种，
故答案为：2．
【分析】根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行判断即可.
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点，一次函数的图象过点A，
∴当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，
∴不等式的解集为，
故答案为：
【分析】利用一次函数图象与不等式的关系，结合两直线交点的横坐标，及函数图象的相对位置即可作答.
13．【答案】8
【知识点】完全平方公式及运用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，
∵∠DCB＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，BD＝AB，
∴∠ABD+∠1＝∠2+∠1，
即∠DBE＝∠ABC，
在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝ED，
在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，
∴CD2+BC2＝AC2，
∵CD＝a，BC＝b，AC＝4，
∴a2+b2＝32，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝32+2ab，
∵以a，b，4为边的三角形是直角三角形，a，b是直角边，
∴S△CDE＝ab，
当a＝b时，三角形的面积最大，此时a＝b＝4，
∴ab＝16，
∴（a+b）2的最大值为64，
∴a+b的最大值为8，
故答案为：8．
【分析】
过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，得到等边△BCE，进而证明出△ABC≌△DBE，再由勾股定理得a2+b2＝32，根据完全平方公式（a+b）2＝a2+b2+2ab＝32+2ab，故a＝b时，a+b的值最大即可．
14．【答案】解：，
，
，
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式化简，再代值计算即可.
15．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；∴，，；
（2）解：由题意得，，∴，
设P点坐标为（0，y）
∴，即，
∴，即y+2=3或-3
解得y=1或-5.
∴点P的坐标为或。
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）根据点的坐标平移规律“上加下减，左减右加”，分别得到A、B、C按照要求“ 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 ”，找到对应点、、的坐标，再描出、、，最后顺次连接成三角形即可；
（2）因为条件是“与面积相等 ”，可以先求出的面积，而P在y轴上，因此可以先假设P点的坐标为（0，y），此时的面积就是BC为底、为高的三角形，这样就可以列方程求解即可得到答案．
（1）解：如图所示，即为所求；
∴，，；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为或．
16．【答案】（1）证明：∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
在△BAD和△EAD中， ，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴AB=AE，BD=DE，
∵M为BC的中点，
∴DM=CE
（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6，BD=8，
∴由勾股定理得：AE=AB=，
∵DM=2，DM=CE，
∴CE=4，
∴AC=10+4=14．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证△BAD≌△EAD，由全等性质得出AB=AE，BD=DE，再根据三角形的中位线性质得出DM=CE即可；
（2）根据勾股定理求出AB、AE，由三角形的中位线性质求出CE，即可解答．
17．【答案】（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购台型号喷药无人机，则采购台型号喷药无人机，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为8．
答：最少需采购型号喷药无人机8台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为xml， 则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为mL，列出关于x 的分式方程即可解答；
（2）设采购m 台 A 型号喷药无人机，根据结合总价不超过360000元，可列出关于m的一元一次不等式，解出解集后求最小值即可.
（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为；
（2）解：设采购台型号喷药无人机，则采购台型号喷药无人机，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为8．
答：最少需采购型号喷药无人机8台．
18．【答案】证明：（1）∵AF=EC∴AC=EF
又∵BC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF
（2）∵Rt△ABC≌Rt△EDF
∴BC=DF，∠ACB=∠DFE
∴∠BCF=∠DFC
∴BC∥DF，BC=DF
∴四边形BCDF是平行四边形
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据题意，由“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△EDF；
（2）由全等的性质及平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证四边形BCDF是平行四边形．
19．【答案】解：（1）（2）
【拓展应用】
∵，，
代入得：原式=．
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】由题意，理解分组分解法，（1）参照例题把分为再提取公因式分解即可；
（2）把化为再利用完全平方和平方差分解；
（3）把化为再因式分解代入即可．
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意分两种情况讨论：①S△OCD=2S△AOC时，∴×OC×OD=2××OC×AB，
∴OD=2AB=2，
∴点D（0，-2），
设直线AD的解析式为y=kx-2，
∴=3k-2，
∴k=，
∴直线AD的解析式为y=x-2，
∴当y=0时，x=2，
∴点C（2，0）；
②2S△OCD=S△AOC时，
∴2××OC×OD=×OC×AB，
∴OD=AB=，
∴点D（0，-），
设直线AD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y=x-，
∴当y=0时，x=1，
∴点C（1，0）；
综上所述：点C的坐标为（2，0）或（1，0）．
（3）点的坐标或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；含30°角的直角三角形；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3，∴AO=2AB，
∵AO2=AB2+OB2，
∴BA=，
∴A．
（3）
如图，当∠APO=90°时，连接BB'，过点B'作B'H⊥OB于H，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，
∵∠OAC=30°，∠APO=90°，
∴∠AOP=60°，
∴∠B'OB=60°，
∵B'H⊥OB，
∴∠OB'H=30°，
∴
当∠AOP=90°时，如图，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，
∴点B'在y轴上，
∴点B'（0，-3），
如图，由中心对称的性质可得：点的坐标或，
综上所述：点的坐标或或或
【分析】（1）由含30度角的直角三角形的性质、勾股定理即可求得A点坐标；
（2）根据题意可分两种情况讨论，S△OCD=2S△AOC时，2S△OCD=S△AOC时，由三角形面积关系可先求出点D坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，再求直线AD与x轴交点C即可；
（3）根据题意 △OAP为直角三角形分为两种情况，当∠APO=90°时，当∠AOP=90°时，再由30度角的直角三角形的性质求解．
（1）解：∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=3，
∴AO=2AB，
∵AO2=AB2+OB2，
∴BA=，
∴A．
（2）根据题意分两种情况讨论：①S△OCD=2S△AOC时，
∴×OC×OD=2××OC×AB，
∴OD=2AB=2，
∴点D（0，-2），
设直线AD的解析式为y=kx-2，
∴=3k-2，
∴k=，
∴直线AD的解析式为y=x-2，
∴当y=0时，x=2，
∴点C（2，0）；
②2S△OCD=S△AOC时，
∴2××OC×OD=×OC×AB，
∴OD=AB=，
∴点D（0，-），
设直线AD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y=x-，
∴当y=0时，x=1，
∴点C（1，0）；
综上所述：点C的坐标为（2，0）或（1，0）．
（3）如图，当∠APO=90°时，连接BB'，过点B'作B'H⊥OB于H，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴BO=B'O=3，∠AOB=∠A'OB'=30°，
∵∠OAC=30°，∠APO=90°，
∴∠AOP=60°，
∴∠B'OB=60°，
∵B'H⊥OB，
∴∠OB'H=30°，
∴
当∠AOP=90°时，如图，
∵将△OAB绕点O顺时针旋转，
∴∠BOB'=∠AOA'=90°，OB=OB'=3，
∴点B'在y轴上，
∴点B'（0，-3），
如图，由中心对称的性质可得：点的坐标或，
综上所述：点的坐标或或或
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