浙江省舟山市岱山县金衢山五校联考2024-2025学年九年级上学期开学质量监测数学试题卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2024九上·岱山开学考）关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．7
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=2代入得，
，
解得，．
故答案为：C.
【分析】把代入方程中，解关于b的一元一次方程即可．
2．（2024九上·岱山开学考）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
3．（2024九上·岱山开学考）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故答案为：A．
【分析】配方法过程步骤为：先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方后的结果．
4．（2024九上·岱山开学考）将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的面积，菱形的面积，而矩形面积是菱形面积的倍，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意，首先用字母表示出矩形的面积和菱形的面积，然后列出等式，最后整理化简后即可得出结论。
5．（2024九上·岱山开学考）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令，则，
∴，
∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，
设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴此时，
∴水温与通电时间的函数关系式为，
上午10点到共30分钟，，
∴当时，，
即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
∵，
∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法，将（4，100）代入，即可求解；由反比例函数解析式求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，则接通电源30分钟后，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别由加热过程和降温过程的解析式求出水温为的时间，计算时间差即可判断．
6．（2024九上·岱山开学考）二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的图象有最高点，
二次函数图象开口向下，即，
二次函数的顶点坐标为，
当二次函数的图象的最高点在轴上时，，即，解得或（正值舍去），
故答案为：B．
【分析】根据二次函数有最高点，得出，再由顶点坐标公式求出顶点坐标，根据题意得出，即可解出答案.
7．（2024九上·岱山开学考）已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数(a、b、c为常数，)的图象可以看出，
函数开口向下，∴，
当x=0时，y=c＞0；
对称轴x＞0，∵a＜0，∴b＞0.
选项中只有A选项符合所有条件。
故答案为：A．
【分析】由二次函数(a、b、c为常数，)的图象开口向下，因此首先确定；其次可以看出c就是二次函数和y轴的交点，是大于0的，即c＞0；最后看对称轴，发现对称轴在y轴的右侧可知，得出b>0。范围确定之后，再看选项找出正确答案即可。
8．（2024九上·岱山开学考）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（-1，4），且二次函数的图象开口向下，
∵当时，，
∴a＜-1，
当y=1时，-a2-2a+3=1，
解得：或（舍去），
故答案为：A.
【分析】先将抛物线的解析式整理为顶点坐标式，得出抛物线的顶点坐标为（-1，4），且二次函数的图象开口向下，先求出当时，，得出x=a时，函数值y=1，结合抛物线的对称轴和开口方向可得a＜-1，将y=1代入抛物线解析式，求出a的值即可.
9．（2024九上·岱山开学考）已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
∴点在直线上.
∵直线与坐标轴分别交于点两点，
∴点的坐标为点的坐标.
过点作直线于点，延长交直线于点，如图所示.
∵点的坐标为， 点B的坐标，
，
，
同理，可求出：
，
，
故答案为： B.
【分析】先将原抛物线由一般式化为顶点式，得到顶点M的坐标，根据坐标特征可以判断M在直线上，再求出直线与坐标轴的两个交点A、B的坐标，根据一次函数图象及性质，得到
直线与直线平行，结合图象过点作直线于点，延长交直线于点，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可以求出高的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的面积.
10．（2024九上·岱山开学考）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当时，，
函数图象为开口方向向上的抛物线；∴B选项不符合题意
②当时，如图，
设交于，则，
则，
，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
③当时，；∴A选项不符合题意
④当时，同理可得，
函数图象为开口方向向下的抛物线；∴D选项不符合题意；
故只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意在移动的过程中，需要分为四段，分别是，，，，依据运动特点，分别求出对应的函数关系式，根据函数关系式对函数图象进行判断即可.
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（2024九上·岱山开学考）要使式子有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列出关于t的不等式，即可解答.
12．（2024九上·岱山开学考）已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2023．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的根的意义，得出，，再代入求值即可．
13．（2024九上·岱山开学考）已知，，，…，的平均数，求，，…，的平均数为 ．
【答案】
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：，，，，的平均数为
，，，的平均数．
故答案为：．
【分析】根据平均数的算法计算比较即可解答.
14．（2024九上·岱山开学考）如图，在矩形中，点在上，，，将沿直线翻折至的位置，使得点在边上，作于点，为的中点，连接．则 ．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
15．（2024九上·岱山开学考）如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，，…，，
∵，，，…，在反比例函数的图象上，
∴，，，…，，
∴；
∴；
；
；
…
；
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，，，…，的坐标，再根据三角形的面积公式，表示出、、…、，探索规律即可计算.
16．（2024九上·岱山开学考）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
三、解答题
17．（2024九上·岱山开学考）（1）先化简，再从中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
【答案】（1）解：原式
，
，2，1，，且a为整数，
∴a为0或
时，原式；
当时，原式；
（2）解：
；
，
，
设的整数部分为，小数部分为，
，，
∴．
【知识点】无理数的估值；分式有无意义的条件；分母有理化；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先根据分式的性质化简原式，根据分式的分母不等于0，判断出a可以取0或-1，将a=0或a=-1代入原式，进行计算即可求解；
（2）先根据将分式进行有理化运算，再根据无理数的估算，求出a和b的值，最后代入计算即可.
18．（2024九上·岱山开学考）如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．
（1）求证：平分；
（2）若点E为中点，，，求的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的周长
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质即可证明；
（2）由平行四边形的性质先证明出和是等边三角形，再由等边三角形的性质和平行四边形的周长公式即可解答.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的周长．
19．（2024九上·岱山开学考）我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题：
已知：二次函数中的和满足下表：
0 1 2 3 4 5
3 0 0 8
（1）可求得的值为________；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）画出函数图象；
（4）当时，则的取值范围为________．
【答案】（1）3
（2）设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，
即抛物线解析式为；
（3）如图，
（4）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（1）解：∵抛物线经过点和，抛物线的对称轴为直线，
当和所对应的函数值相等，
；
故答案为：；
（4）当时，，
当时，有最小值，
当时，，
当时，则的取值范围为．
故答案为：．
【分析】（1）根据抛物线的对称性及表中的数据可知x=1，x=3函数值相等，判断出抛物线对称轴为x=2，从而得到和所对应的函数值相等，即可求值；
（2）由表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标和，故设交点式，然后再把代入得求出的值，最后将交点式化为一般式即可；
（3）利用描点法画出二次函数图象；
（4）先计算出和所对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质可得在处取得最大范围，x=2处取得最小范围．
（1）解：∵抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
当和所对应的函数值相等，
；
故答案为：；
（2）设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，
即抛物线解析式为；
（3）如图，
（4）当时，，
当时，有最小值，
当时，，
当时，则的取值范围为．
故答案为：．
20．（2024九上·岱山开学考）如图，在和中，，，，为边上一点．
（1）求证：
（2）若点是的中点，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
（2）证明：中，D是中点的，，
，
又，
，
四边形是菱形．
又，
四边形是正方形
【知识点】正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由互余导角即可得到，再利用“边角边”证明，根据全等的性质即可证明；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质及等腰三角形的性质先说明四边形是菱形，再由一个角为90°，即可证明四边形是正方形.
（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：中，D是中点的，，
，
又，
，
四边形是菱形．
又，
四边形是正方形．
21．（2024九上·岱山开学考）3月21日是世界睡眠日，某社区为了了解该社区居民的睡眠情况，随机抽取若干名居民对其每日的睡眠时间x（时）进行调查，将调查结果进行整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；在扇形统计图中，______．
（2）此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在_______组．
（3）若该社区共有4200名居民﹐请你估计这个社区有多少名居民每日的睡眠时间在6小时及以上．
【答案】（1），14
（2）C
（3）解：名，
∴估计这个社区有3738名居民每日的睡眠时间在6小时及以上
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）
解：名，∴一共抽取了100名居民，
∴B组的人数为名，
补全统计图如下：
，
∴；
故答案为：14.
（2）解：把这100名居民每日的睡眠时间按照从低到高排列，处在第51名和第52名的时间都在C组，∴此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在C组；
故答案为：C.
【分析】（1）先由C组数据求出总人数，即可求出D组所占百分比和B组人数，从而确定m值，补全统计图；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）用样本中C、D两组的占比估计总体4200人，即可解答.
（1）解：名，
∴一共抽取了100名居民，
∴B组的人数为名，
补全统计图如下：
，
∴；
（2）解：把这100名居民每日的睡眠时间按照从低到高排列，处在第51名和第52名的时间都在C组，
∴此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在C组；
（3）解：名，
∴估计这个社区有3738名居民每日的睡眠时间在6小时及以上．
22．（2024九上·岱山开学考）宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表：
x … 20 26 28 31 35 …
y … 20 14 12 9 5 …
（1）求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．
①求2023年该特产的售价；
②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
由题中条件可以列式为：
，解得，
每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为。
（2）解：①由题意列式为：，
变形为x2-60x+896=0；
解得：，
销售单价定为25元到30元之间，
，
2023年该特产的售价为28元；
②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意得：
，
，且，
当或30时，的值最大，最大值为（万元），
该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）题可以根据表格中的数据，先设出一元一次函数关系式，然后用待定系数法求出一次函数关系式即可；
（2）题中，①问由题意并且根据“收入-成本-年初投入80万=利润”，列出一元二次方程，并注意x的取值范围求解即可；②问可以设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意成本降为19元/件，列出工厂利润和售价的函数关系式，，由二次函数的性质和x的取值范围求解即可．
（1）设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
由题意得：
，解得，
每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
（2）①由题意得：，
解得：，
销售单价定为25元到30元之间，
，
2023年该特产的售价为28元；
②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意得：
，
且，
当或30时，的值最大，最大值为（万元），
该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元．
23．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
24．（2024九上·岱山开学考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
（3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．
【答案】（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再求抛物线的对称轴为x=1，代入解析式即可求出顶点坐标；
（2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．利用待定系数法求出直线AD解析式，表示出E点、G点坐标，根据△ADE的面积列出方程求出t值，得到E点坐标，再根据平移的性质得出F点坐标代入即可解答；
（3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，由抛物线解析式求得顶点Q坐标，表示出DK、KQ，根据直线MN的性质可得，得到n关于h的函数关系，配方后结合三角形面积公式即可求出面积的最小值.
（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
1 / 1浙江省舟山市岱山县金衢山五校联考2024-2025学年九年级上学期开学质量监测数学试题卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2024九上·岱山开学考）关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．7
2．（2024九上·岱山开学考）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·岱山开学考）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·岱山开学考）将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·岱山开学考）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
6．（2024九上·岱山开学考）二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·岱山开学考）已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．（2024九上·岱山开学考）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．（2024九上·岱山开学考）已知点M是抛物线（m为常数）的顶点，直线与坐标轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A． B．6 C．4 D．
10．（2024九上·岱山开学考）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（2024九上·岱山开学考）要使式子有意义，则的取值范围是 ．
12．（2024九上·岱山开学考）已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
13．（2024九上·岱山开学考）已知，，，…，的平均数，求，，…，的平均数为 ．
14．（2024九上·岱山开学考）如图，在矩形中，点在上，，，将沿直线翻折至的位置，使得点在边上，作于点，为的中点，连接．则 ．
15．（2024九上·岱山开学考）如图，已知，，，…，是x轴上的点，且，分别过点，，，…，，作x轴的垂线交反比例函数（）的图象于点，，，…，，过点作于点，过点作于点，…，记的面积为，的面积为，…，的面积为，则等于 ．
16．（2024九上·岱山开学考）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，…，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点，，…，都在直线：上；②抛物线依次经过点，，…；则顶点的坐标为 ．
三、解答题
17．（2024九上·岱山开学考）（1）先化简，再从中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
18．（2024九上·岱山开学考）如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．
（1）求证：平分；
（2）若点E为中点，，，求的周长．
19．（2024九上·岱山开学考）我们已经历了“一次函数”的学习过程，请你根据已有的经验和方法结合假期的预习尝试完成下列问题：
已知：二次函数中的和满足下表：
0 1 2 3 4 5
3 0 0 8
（1）可求得的值为________；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）画出函数图象；
（4）当时，则的取值范围为________．
20．（2024九上·岱山开学考）如图，在和中，，，，为边上一点．
（1）求证：
（2）若点是的中点，求证：四边形是正方形．
21．（2024九上·岱山开学考）3月21日是世界睡眠日，某社区为了了解该社区居民的睡眠情况，随机抽取若干名居民对其每日的睡眠时间x（时）进行调查，将调查结果进行整理后分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；在扇形统计图中，______．
（2）此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在_______组．
（3）若该社区共有4200名居民﹐请你估计这个社区有多少名居民每日的睡眠时间在6小时及以上．
22．（2024九上·岱山开学考）宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表：
x … 20 26 28 31 35 …
y … 20 14 12 9 5 …
（1）求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．
①求2023年该特产的售价；
②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大 最大利润是多少
23．（2024九上·岱山开学考）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点的“纵横值”为 ；
②求出函数的“最优纵横值”；
（2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．
24．（2024九上·岱山开学考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；
（2）如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
（3）如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=2代入得，
，
解得，．
故答案为：C.
【分析】把代入方程中，解关于b的一元一次方程即可．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可。
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故答案为：A．
【分析】配方法过程步骤为：先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方后的结果．
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的面积，菱形的面积，而矩形面积是菱形面积的倍，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意，首先用字母表示出矩形的面积和菱形的面积，然后列出等式，最后整理化简后即可得出结论。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令，则，
∴，
∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，
设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴此时，
∴水温与通电时间的函数关系式为，
上午10点到共30分钟，，
∴当时，，
即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
∵，
∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法，将（4，100）代入，即可求解；由反比例函数解析式求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，则接通电源30分钟后，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别由加热过程和降温过程的解析式求出水温为的时间，计算时间差即可判断．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的图象有最高点，
二次函数图象开口向下，即，
二次函数的顶点坐标为，
当二次函数的图象的最高点在轴上时，，即，解得或（正值舍去），
故答案为：B．
【分析】根据二次函数有最高点，得出，再由顶点坐标公式求出顶点坐标，根据题意得出，即可解出答案.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数(a、b、c为常数，)的图象可以看出，
函数开口向下，∴，
当x=0时，y=c＞0；
对称轴x＞0，∵a＜0，∴b＞0.
选项中只有A选项符合所有条件。
故答案为：A．
【分析】由二次函数(a、b、c为常数，)的图象开口向下，因此首先确定；其次可以看出c就是二次函数和y轴的交点，是大于0的，即c＞0；最后看对称轴，发现对称轴在y轴的右侧可知，得出b>0。范围确定之后，再看选项找出正确答案即可。
8．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标为（-1，4），且二次函数的图象开口向下，
∵当时，，
∴a＜-1，
当y=1时，-a2-2a+3=1，
解得：或（舍去），
故答案为：A.
【分析】先将抛物线的解析式整理为顶点坐标式，得出抛物线的顶点坐标为（-1，4），且二次函数的图象开口向下，先求出当时，，得出x=a时，函数值y=1，结合抛物线的对称轴和开口方向可得a＜-1，将y=1代入抛物线解析式，求出a的值即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
∴点在直线上.
∵直线与坐标轴分别交于点两点，
∴点的坐标为点的坐标.
过点作直线于点，延长交直线于点，如图所示.
∵点的坐标为， 点B的坐标，
，
，
同理，可求出：
，
，
故答案为： B.
【分析】先将原抛物线由一般式化为顶点式，得到顶点M的坐标，根据坐标特征可以判断M在直线上，再求出直线与坐标轴的两个交点A、B的坐标，根据一次函数图象及性质，得到
直线与直线平行，结合图象过点作直线于点，延长交直线于点，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质可以求出高的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的面积.
10．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当时，，
函数图象为开口方向向上的抛物线；∴B选项不符合题意
②当时，如图，
设交于，则，
则，
，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
③当时，；∴A选项不符合题意
④当时，同理可得，
函数图象为开口方向向下的抛物线；∴D选项不符合题意；
故只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意在移动的过程中，需要分为四段，分别是，，，，依据运动特点，分别求出对应的函数关系式，根据函数关系式对函数图象进行判断即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列出关于t的不等式，即可解答.
12．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：2023．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的根的意义，得出，，再代入求值即可．
13．【答案】
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：，，，，的平均数为
，，，的平均数．
故答案为：．
【分析】根据平均数的算法计算比较即可解答.
14．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
15．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，，…，，
∵，，，…，在反比例函数的图象上，
∴，，，…，，
∴；
∴；
；
；
…
；
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，，，…，的坐标，再根据三角形的面积公式，表示出、、…、，探索规律即可计算.
16．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
17．【答案】（1）解：原式
，
，2，1，，且a为整数，
∴a为0或
时，原式；
当时，原式；
（2）解：
；
，
，
设的整数部分为，小数部分为，
，，
∴．
【知识点】无理数的估值；分式有无意义的条件；分母有理化；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先根据分式的性质化简原式，根据分式的分母不等于0，判断出a可以取0或-1，将a=0或a=-1代入原式，进行计算即可求解；
（2）先根据将分式进行有理化运算，再根据无理数的估算，求出a和b的值，最后代入计算即可.
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的周长
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质即可证明；
（2）由平行四边形的性质先证明出和是等边三角形，再由等边三角形的性质和平行四边形的周长公式即可解答.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的周长．
19．【答案】（1）3
（2）设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，
即抛物线解析式为；
（3）如图，
（4）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；作图-二次函数图象
【解析】【解答】（1）解：∵抛物线经过点和，抛物线的对称轴为直线，
当和所对应的函数值相等，
；
故答案为：；
（4）当时，，
当时，有最小值，
当时，，
当时，则的取值范围为．
故答案为：．
【分析】（1）根据抛物线的对称性及表中的数据可知x=1，x=3函数值相等，判断出抛物线对称轴为x=2，从而得到和所对应的函数值相等，即可求值；
（2）由表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标和，故设交点式，然后再把代入得求出的值，最后将交点式化为一般式即可；
（3）利用描点法画出二次函数图象；
（4）先计算出和所对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质可得在处取得最大范围，x=2处取得最小范围．
（1）解：∵抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
当和所对应的函数值相等，
；
故答案为：；
（2）设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，
即抛物线解析式为；
（3）如图，
（4）当时，，
当时，有最小值，
当时，，
当时，则的取值范围为．
故答案为：．
20．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
（2）证明：中，D是中点的，，
，
又，
，
四边形是菱形．
又，
四边形是正方形
【知识点】正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由互余导角即可得到，再利用“边角边”证明，根据全等的性质即可证明；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质及等腰三角形的性质先说明四边形是菱形，再由一个角为90°，即可证明四边形是正方形.
（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：中，D是中点的，，
，
又，
，
四边形是菱形．
又，
四边形是正方形．
21．【答案】（1），14
（2）C
（3）解：名，
∴估计这个社区有3738名居民每日的睡眠时间在6小时及以上
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）
解：名，∴一共抽取了100名居民，
∴B组的人数为名，
补全统计图如下：
，
∴；
故答案为：14.
（2）解：把这100名居民每日的睡眠时间按照从低到高排列，处在第51名和第52名的时间都在C组，∴此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在C组；
故答案为：C.
【分析】（1）先由C组数据求出总人数，即可求出D组所占百分比和B组人数，从而确定m值，补全统计图；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）用样本中C、D两组的占比估计总体4200人，即可解答.
（1）解：名，
∴一共抽取了100名居民，
∴B组的人数为名，
补全统计图如下：
，
∴；
（2）解：把这100名居民每日的睡眠时间按照从低到高排列，处在第51名和第52名的时间都在C组，
∴此次调查中，居民每日的睡眠时间的中位数落在C组；
（3）解：名，
∴估计这个社区有3738名居民每日的睡眠时间在6小时及以上．
22．【答案】（1）解：设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
由题中条件可以列式为：
，解得，
每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为。
（2）解：①由题意列式为：，
变形为x2-60x+896=0；
解得：，
销售单价定为25元到30元之间，
，
2023年该特产的售价为28元；
②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意得：
，
，且，
当或30时，的值最大，最大值为（万元），
该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）题可以根据表格中的数据，先设出一元一次函数关系式，然后用待定系数法求出一次函数关系式即可；
（2）题中，①问由题意并且根据“收入-成本-年初投入80万=利润”，列出一元二次方程，并注意x的取值范围求解即可；②问可以设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意成本降为19元/件，列出工厂利润和售价的函数关系式，，由二次函数的性质和x的取值范围求解即可．
（1）设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
由题意得：
，解得，
每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
（2）①由题意得：，
解得：，
销售单价定为25元到30元之间，
，
2023年该特产的售价为28元；
②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意得：
，
且，
当或30时，的值最大，最大值为（万元），
该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元．
23．【答案】（1）解：①.
②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2.
（2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵最优纵横值为5，
∴，
∴.
（3）解：，
若，则当时，；
即：，
解得：或（舍去）；
若，则当时，；
即：，
解得（舍）或；
综上所述：b的值为5或．
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为，故答案为：.
【分析】（1）①根据定义，求出y-x的值即可；
②根据定义， 先计算y-x的值，结合x的取值范围和反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴求出b=3，故抛物线的解析式为y=-x2+3x+c，根据定义，求出y-x=-x2+3x+c-x=-（x-1）2+1+c，根据配方法可得x=1时，y-x的值最大为c+1，根据最优纵横值为5，即可得出1+c=5，解得c=4；
（3）根据定义，求出，结合故y-x与x的函数图象，关于直线x=b对称，且抛抛物线的开口向下，据此分为b＞0和b＜-1两种情况，分别计算求出b的值，即可求解.
24．【答案】（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再求抛物线的对称轴为x=1，代入解析式即可求出顶点坐标；
（2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．利用待定系数法求出直线AD解析式，表示出E点、G点坐标，根据△ADE的面积列出方程求出t值，得到E点坐标，再根据平移的性质得出F点坐标代入即可解答；
（3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，由抛物线解析式求得顶点Q坐标，表示出DK、KQ，根据直线MN的性质可得，得到n关于h的函数关系，配方后结合三角形面积公式即可求出面积的最小值.
（1）解：抛物线过点
得
解得
抛物线的表达式为
顶点；
（2）解：如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．
设直线的表达式为
由题意知
解得
直线的表达式为
的面积为12
，
，
解得（舍）
点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点
将代入
得
解得．
（3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且
抛物线的顶点
，
易得
当时，
点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小
最近距离即边上的高，高为：
面积的最小值为．
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