第01讲 平面向量的概念及线性运算
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：向量的有关概念 4
知识点2：向量的线性运算 4
知识点3：平面向量基本定理和性质 5
知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 7
解题方法总结 7
题型一：平面向量的基本概念 8
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 9
题型三：共线定理及其应用 10
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 12
题型五：平面向量的直角坐标运算 15
题型六：向量共线的坐标表示 16
04真题练习·命题洞见 16
05课本典例·高考素材 17
06易错分析·答题模板 19
易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件 19
答题模板：用基底表示向量 19
考点要求 考题统计 考情分析
（1）向量的有关概念 （2）向量的线性运算和向量共线定理 （3）平面向量基本定理和性质 （4）平面向量的坐标表示及坐标运算 2024年I卷第3题，5分 2024年甲卷（理）第9题，5分2023年北京卷第3题，5分 2022年I卷第3题，5分 2021年乙卷（文）第13题，5分 2022年乙卷（文）第3题，5分 通过对近5年高考试题分析可知，高考在本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算，预计后面几年的高考也不会有大的变化．
复习目标： （1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义． （2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义． （3）了解平面向量基本定理及其意义 （4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
知识点1：向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【诊断自测】下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
知识点2：向量的线性运算
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时，
【注意】
（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．
【诊断自测】（ ）
A． B． C． D．
知识点3：平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3、线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
4、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5、中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
【诊断自测】在中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
【诊断自测】已知点，且，则点的坐标是 ．
解题方法总结
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．
题型一：平面向量的基本概念
【典例1-1】（2024·高三·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【典例1-2】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则与不是共线向量
【变式1-2】设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7] B． C． D．
【典例2-2】在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
【变式2-1】如图，在平行四边形中，，点E满足，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A．1 B．-1 C． D．
【变式2-3】已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2024·高三·安徽·开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：共线定理及其应用
【典例3-1】已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【典例3-2】如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=．
【变式3-1】如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·重庆·模拟预测）已知点是的重心，点是线段的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 .
【变式3-4】已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则 .
【变式3-5】如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，，则＝ ；若，则的最小值为 .
【变式3-6】如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用
【典例4-1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
【典例4-2】如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点．
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】在中，，I为的内心，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-4】（2024·江苏扬州·模拟预测）在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】如图，平面内有三个向量，，，其中 ，，且，，若，则 .
【变式4-6】（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-7】（2024·河北衡水·模拟预测）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-8】（2024·河南·模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-9】在中，，点为与的交点，，则 ．
【变式4-10】（2024·高三·河南·期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
题型五：平面向量的直角坐标运算
【典例5-1】已知为的外心，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】 为坐标原点，，若点在直线上，且，是的中点，则点的坐标为 ．
【方法技巧】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
【变式5-1】已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ．
【变式5-2】已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 .
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，点，，．若与的交点为，则的中点的坐标为 ,
【变式5-4】如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为 ．
【变式5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为
题型六：向量共线的坐标表示
【典例6-1】已知，，且，则 ．
【典例6-2】已知向量，若三点共线，则 .
【方法技巧】
（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则．
（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【变式6-1】已知向量，若与共线，则实数 .
【变式6-2】已知向量，若，则 ．
【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知点，，．则的中点坐标为 ；当实数 时，．
1．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2022年新高考全国I卷数学真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题（海南卷））在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（2024年上海秋季高考数学真题）已知，且，则的值为 ．
5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则 ．
1．（1）如图（1），在中，计算；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；
（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.
2．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
3．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．
易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件
易错分析： 平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，且不能含有零向量.
【易错题1】如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【易错题2】在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上一点，且，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
答题模板：用基底表示向量
1、模板解决思路
当待求向量的两个端点都能够确定位置时，一般在平面图形中借助三角形法则或平行四边形法则将向量不断向基底转化．当待求向量某个端点的位置不能确定时，一般通过向量共线定理和平面向量基本定理解决．
2、模板解决步骤
第一步：找一个向量所在的三角形或平行四边形，用三角形的另外两条边或平行四边形的邻边对应的向量表示待求向量．
第二步：根据题中给出的线段的数量关系进行转化．
第三步：将不是基底的向量作为待求向量按照第一步、第二步的方法不断进行转化为，直到关系式中只用表示.
【典型例题1】在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【典型例题2】在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 平面向量的概念及线性运算
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：向量的有关概念 4
知识点2：向量的线性运算 4
知识点3：平面向量基本定理和性质 5
知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 7
解题方法总结 8
题型一：平面向量的基本概念 9
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 11
题型三：共线定理及其应用 14
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 19
题型五：平面向量的直角坐标运算 26
题型六：向量共线的坐标表示 30
04真题练习·命题洞见 32
05课本典例·高考素材 33
06易错分析·答题模板 36
易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件 36
答题模板：用基底表示向量 37
考点要求 考题统计 考情分析
（1）向量的有关概念 （2）向量的线性运算和向量共线定理 （3）平面向量基本定理和性质 （4）平面向量的坐标表示及坐标运算 2024年I卷第3题，5分 2024年甲卷（理）第9题，5分2023年北京卷第3题，5分 2022年I卷第3题，5分 2021年乙卷（文）第13题，5分 2022年乙卷（文）第3题，5分 通过对近5年高考试题分析可知，高考在本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算，预计后面几年的高考也不会有大的变化．
复习目标： （1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义． （2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义． （3）了解平面向量基本定理及其意义 （4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
知识点1：向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【诊断自测】下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.
故选：C.
知识点2：向量的线性运算
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时，
【注意】
（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，．
【诊断自测】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
故选：A．
知识点3：平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3、线段定比分点的向量表达式
如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．
4、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
5、中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
【诊断自测】在中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，
所以
，
因为，
所以，所以.
故选：A
知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
【诊断自测】已知点，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】如图，连接，
设为坐标原点，建立平面直角坐标系，，
整理得．
故答案为：
解题方法总结
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
即．
（2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立．
（3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．
（4）减法公式：，常用于向量式的化简．
（5）、、三点共线，这是直线的向量式方程．
题型一：平面向量的基本概念
【典例1-1】（2024·高三·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【答案】A
【解析】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
【典例1-2】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.
③错误.因为，所以或.
④错误.当λ＝μ＝0时，，此时，与可以是任意向量.
所以错误命题有3个.
故选：C.
【方法技巧】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．
【变式1-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则与不是共线向量
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误.
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误.
对于C，若，则必定共线，故，故C成立.
对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与可以为共线向量，故D错误.
故选：
【变式1-2】设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确；
对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；
对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
故选：B
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7] B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，且,
当同向时，取得最小值，；
当反向时，取得最大值，；
当不共线时，取得最小值，，
故 的取值范围是，
故选：C
【典例2-2】在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为的中点，则，
所以.
故选：A.
【方法技巧】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
【变式2-1】如图，在平行四边形中，，点E满足，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，点满足，可得，
则.
故选：A.
【变式2-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A．1 B．-1 C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，
因为，所以，，，
故选：D．
【变式2-3】已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图
在矩形中，
，
在中，
，
，
，
．
故选：A．
【变式2-4】（2024·高三·安徽·开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，
则，.
因为，故，
因为，所以（负值舍去），
所以，
故.又，则，
因为，所以，
解得，所以，
故选：A.
题型三：共线定理及其应用
【典例3-1】已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】D
【解析】因为平面向量，不共线，所以，可以作为平面内的一组基底，
又，，，
所以，，
对于A：因为，，显然不存在实数使得，
所以，，三点不共线，故A错误；
对于B：因为，，不存在实数使得，
所以，，三点不共线，故B错误；
对于C：因为，，不存在实数使得，
所以，，三点不共线，故C错误；
对于D：因为，，所以，
所以，故，，三点共线，故D正确.
故选：D
【典例3-2】如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，所以，
又，即.
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
【方法技巧】
要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=．
【变式3-1】如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，点M是BC的中点，，则，
又，于是得，因点C，D，N共线，则有，解得，
所以.
故选：C
【变式3-2】（2024·重庆·模拟预测）已知点是的重心，点是线段的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以.
故选：C
【变式3-3】已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则 .
【答案】2
【解析】因为与共线，所以，
即，又不共线，所以，所以.
故答案为：
【变式3-4】已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则 .
【答案】3
【解析】
如图，设F为BC的中点，则，又，，
则，又G，D，E三点共线，∴，即.
故答案为：3.
【变式3-5】如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，，则＝ ；若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为点G为△ABC的重心，
所以，
因为，，
所以，
因为三点共线，
所以，
则则，代入得
令，，
令，则或（舍）
且当时，,递减
当时，，递增
所以当时，有极小值，即最小值，
且
故答案为:；.
【变式3-6】如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .
【答案】 4
【解析】设，令，
因为，所以，
所以，
又与分别共线，所以，解得.
因为，
所以，即，
解得，即.
因为，
所以，
所以，
因为共线，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：4；.
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用
【典例4-1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【解析】对A：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对B：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量，
且存在实数，使得，
故和共线，不可作基底；
对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.
故选：C.
【典例4-2】如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，
所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：B.
【方法技巧】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三点共线定理：A，B，P三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为AB外一点．
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题，A，C，F三点共线，则，
D，E，F三点共线，则，
∴ ，得 ，
∴．
故选：B.
【变式4-2】（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在中，取为基底，
则，
因为点分别为的中点，,
所以，
所以.
故选：B.
【变式4-3】在中，，I为的内心，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
根据内心的性质可知，
于是
，
于是．
故选：C.
【变式4-4】（2024·江苏扬州·模拟预测）在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，因则,即（*），
又,,代入（*）得，,
即，因三点共线，故，解得，.
故选：B.
【变式4-5】如图，平面内有三个向量，，，其中 ，，且，，若，则 .
【答案】6
【解析】
连接 ,交于点,
则,
,
法一：由平面向量基本定理得
,
法二：根据等高线定理可得
故答案为：6
【变式4-6】（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
故选：D．
【变式4-7】（2024·河北衡水·模拟预测）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得.
因为共线，所以，解得.
故选：B.
【变式4-8】（2024·河南·模拟预测）在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，因为点为的中点，，
所以，，
，
所以，即，解得
所以，的值为.
故选：B
【变式4-9】在中，，点为与的交点，，则 ．
【答案】/
【解析】因为，所以为中点，
三点共线，故可设，即，
整理得，
因为，所以，即，
三点共线，
可得，
所以，解得，
可得，则，.
故答案为:
【变式4-10】（2024·高三·河南·期中）已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】选取为基底，
，
，
，
设
，
，，
即.
故选：A
题型五：平面向量的直角坐标运算
【典例5-1】已知为的外心，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，则有，如图所示，
设的外心，由，得，解得，
由，得，解得，
得，则，
又，，
由，即，
得，解得，
故.
【典例5-2】 为坐标原点，，若点在直线上，且，是的中点，则点的坐标为 ．
【答案】或
【解析】由题可知，，点在直线上，则，
又，，
设点，则，，
①当时，则，
，解得：，，
是的中点，
，解得：，.
②当时，则，
，解得：，，
是的中点，
，解得：，，
综上可得，点的坐标为或.
故答案为：或.
【方法技巧】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
【变式5-1】已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】因为点，向量，，
所以，，
设，则，
，
因为，所以，解得，所以.
故答案为：
【变式5-2】已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 .
【答案】
【解析】∵在梯形中，，，，，．
∴．设点D的坐标为．
则，．
∴，即，
∴解得故点的坐标为．
故答案为：．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，点，，．若与的交点为，则的中点的坐标为 ,
【答案】
【解析】在平行四边形中，
因为与的交点为，且为的中点，
所以
，
由为坐标原点，所以向量的坐标即为的坐标，
故点的坐标为．
故答案为：.
【变式5-4】如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为 ．
【答案】
【解析】设P(x，y)，则(x－1，y)，(5，4)，(－3，6)，(4，0)．
由B，P，D三点共线可得．
又因为，由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得，
所以，即，
故.
所以P的坐标为.
故答案为：
【变式5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为
【答案】
【解析】把向量顺时针旋转定角得到，得，
关于轴的对称点记为，则，即
把向量顺时针旋转定角得到，得，即
关于轴的对称点记为，则，
以此类推可得当为奇数时，，
当为偶数时，，
故的坐标为.
故答案为：
题型六：向量共线的坐标表示
【典例6-1】已知，，且，则 ．
【答案】
【解析】由可得，解得，.
故答案为：.
【典例6-2】已知向量，若三点共线，则 .
【答案】
【解析】由，又三点共线，
所以与共线，得，解得.
故答案为：
【方法技巧】
（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则．
（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【变式6-1】已知向量，若与共线，则实数 .
【答案】
【解析】因，，
则由与共线可得，，解得.
故答案为：.
【变式6-2】已知向量，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
又因为，所以，所以.
故答案为：．
【变式6-3】在平面直角坐标系中，已知点，，．则的中点坐标为 ；当实数 时，．
【答案】 /
【解析】因为，，，所以的中点坐标为，即；
又，，，
则，
因为，则，解得.
故答案为：；
1．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量满足，
所以.
故选：B
2．（2022年新高考全国I卷数学真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题（海南卷））在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C
4．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知，且，则的值为 ．
【答案】15
【解析】，，解得．
故答案为：15．
5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量，若，则 ．
【答案】
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
1．（1）如图（1），在中，计算；
（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；
（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.
【解析】（1）
（2）.
（3）.
证明如下：
2．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
【解析】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.
设甲地为，乙地为，丙地为，作出示意图，
则，，，
，
是等边三角形，
，，
，
即丙地在甲地北偏东，丙地距甲地.
3．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．
【解析】因为E，F分别是AD，BC中点，
所以，，.
因为，，
所以，.
4．在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量.
【解析】如图，
.
5．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量满足等式.
（1）作出满足条件的四边形ABCD.
（2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想.
【解析】（1）作图，
通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形.
（2）四边形ABCD为平行四边形，证明如下：
因为，所以，
对于D中，向量和，假设存在实数，使得，可得无解，所以和可以作为基底．
故选:C．
【易错题2】在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC上一点，且，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由D是边BC的中点，，
则，
，则，，所以.
故选：C
答题模板：用基底表示向量
1、模板解决思路
当待求向量的两个端点都能够确定位置时，一般在平面图形中借助三角形法则或平行四边形法则将向量不断向基底转化．当待求向量某个端点的位置不能确定时，一般通过向量共线定理和平面向量基本定理解决．
2、模板解决步骤
第一步：找一个向量所在的三角形或平行四边形，用三角形的另外两条边或平行四边形的邻边对应的向量表示待求向量．
第二步：根据题中给出的线段的数量关系进行转化．
第三步：将不是基底的向量作为待求向量按照第一步、第二步的方法不断进行转化为，直到关系式中只用表示.
【典型例题1】在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以.
故选：B.
【典型例题2】在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，
得
.
故选：C.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
