第03讲 复数
目录 01 模拟基础练 2 题型一：复数的概念 2 题型二：复数的运算 3 题型三：复数的几何意义 5 题型四：复数的相等与共轭复数 6 题型五：复数的模 7 题型六：复数的三角形式 8 题型七：与复数有关的最值问题 10 题型八：复数方程 12 02 重难创新练 14 03 真题实战练 20
题型一：复数的概念
1．（2024·河南信阳·模拟预测）复数的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为，所以复数的虚部为.
故选：B
2．（2024·陕西安康·模拟预测）若的虚部为2，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】由题得，
则.
故.
故选：D.
3．（2024·甘肃张掖·三模）已知复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【解析】因为，
则，所以，
所以复数的虚部为.
故选：C.
题型二：复数的运算
4．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】设复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点，
则复数在复平面内对应的向量为，且，
，，
所以四边形为菱形，且，
又，与轴正半轴所成的角为，
所以与轴正半轴所成的角为，所以与关于轴对称，
所以，则，所以，故B正确；
因为，所以，故A错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：BC
5．（多选题）下列各式的运算结果是实数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A项中，，故A正确；
B项中，，故B错误；
C项中，，故C正确；
D项中，，故D错误.
故选：AC.
6．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】设复数，可得
因为复数z满足，可得，则，
可得且，
由时，可得或，
当时，可得，此时；当时，方程，无解；
对于A中，当，可得，可得；
当，可得，可得，所以A正确；
对于B中，当，可得，且，
则，所以B不正确；
对于C中，当，可得，可得，所以C不正确；
对于D中，当，可得，可得，则；
当，可得，可得，则，所以D正确.
故选：AD.
7．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（ ）
A．i B．-i C． D．
【答案】B
【解析】z对应的点坐标为，所以，
所以
故选：B.
8．（2024·高三·黑龙江绥化·期中）已知复数和（i是虚数单位），则 ．
【答案】/
【解析】由题意，得，
，
则.
故答案为：.
题型三：复数的几何意义
9．（2024·陕西·模拟预测）已知复数，，，若，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
则有，解得，
所以，复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
10．（2024·青海海西·模拟预测）已知，复数，则“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，
则可得，
故“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的充要条件．
故选：C．
11．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，
所以，
则，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
12．（2024·高三·湖南岳阳·期中）已知复数的共轭复数为，且满足，则在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】设，则，
代入，得，
∴，．
∴．
∴在复平面内的对应点的坐标为：，位于第二象限．
故选：B．
题型四：复数的相等与共轭复数
13．（2024·北京海淀·二模）若，则 .
【答案】1
【解析】因为，
所以，即，
所以，解得.
故答案为：1.
14．（2024·重庆·模拟预测）复数满足（为虚数单位），则 ．
【答案】
【解析】依题意，，所以，
所以.
故答案为：
15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部为 .
【答案】/0.5
【解析】，
所以，
则的虚部为.
故答案为：
16．（2024·山东青岛·二模）已知复数满足，则复数 .
【答案】
【解析】易知，所以.
故答案为：.
题型五：复数的模
17．（2024·高三·上海·期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模等于 ．
【答案】
【解析】设，
由可得，
则，解得：，故，
所以复数z的模等于.
故答案为：.
18．（2024·高三·上海嘉定·期中）若复数（为虚数单位），则 ．
【答案】
【解析】，
，
故答案为：
19．（2024·高三·辽宁大连·期中）设复数，满足，，则 .
【答案】
【解析】由题意设：，，，
所以得：，化简得：，，
，化简得：，，
所以得：
，
所以得：.
故答案为：.
20．若复数z满足，则
【答案】
【解析】，则，故.
故答案为：.
题型六：复数的三角形式
21．（2024·高三·辽宁·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，故.
故选：A.
22．（2024·全国·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，.
故选：B.
23．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，令，
则，所以，
因为，所以，
所以的三角形式是.
故选：D.
24．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】.
故选：C.
题型七：与复数有关的最值问题
25．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，
所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值，
如图所示，最大值为.
故选：D.
26．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【解析】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1，
即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上，
的几何意义是点Z到点的距离．
如图所示，故．
故选：B．
27．（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】设，则，
即，由于，故，解得，
则，
故选：D
28．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．3
【答案】B
【解析】设，其中，则，
∵，
∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∴即为圆上动点到定点的距离，
∴的最大值为.
故选：B.
29．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】设，在复平面内对应的点的坐标为，
由，得，即，
因此点在圆上运动，圆心的坐标为，半径，
又，
于是可以看成是点到点的距离，显然此点在圆外，
所以.
故选：D
30．已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】设复数在复平面内对应的点为，
因为复数满足，
所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，
所以在复平面内点的轨迹为，
又表示点到点的距离，
所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，
当为时，到定点的距离最小，最小值为1，
所以的最小值为1，
故选：A．
题型八：复数方程
31．（2024·上海浦东新·二模）已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则 ．
【答案】0
【解析】是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
则，即，
，
.
故答案为：0
32．（2024·上海嘉定·二模）设，则 ．
【答案】5.
【解析】由，则．
故答案为：5
33．复数（i为虚数单位）的平方根为
【答案】
【解析】设复数（i为虚数单位）的平方根为，则，即，所以，解得或，
所以或，
故答案为：或
34．已知关于的方程的两根为、，满足，则实数的值为
【答案】4或
【解析】，
若，则方程的两根为实数，且，解得.
若，则方程的两根为虚数，该方程可化简为：
，故两根分别为，，
所以，故，
故答案为或.
35．已知方程有两个虚根，则的取值范围是
【答案】
【解析】因为为方程两个根，所以，，方程有虚根，所以，故，故填.
1．（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以．
故选：A．
2．（2024·甘肃兰州·三模）已知复数，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】，
故.
故选：D
3．（2024·山西阳泉·三模）已知是实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】A
【解析】因为是实系数方程的一个复数根，
则也是实系数方程的一个复数根，
所以，解得，
所以.
故选：A
4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
故选：B.
5．（2024·浙江·三模）已知复数z满足，其中i是虚数单位，则（ ）
A．2 B． C． D．5
【答案】D
【解析】设，a，，则
则，．∴，，
所以，
故选：D．
6．（2024·安徽安庆·模拟预测）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）虚数满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】C
【解析】由已知，，
所以，，
所以，解得.
故选：C.
8．（2024·福建泉州·模拟预测）若复数z满足，则z的一个可能值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
由，得，即，整理得，
显然选项ACD不满足要求，B符合要求.
故选：B
9．（多选题）（2024·湖北襄阳·二模）已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为4
C．当时，则 D．当时，则
【答案】AD
【解析】设在复平面内的对应点分别为，
由得，所以在直线上.
由得，所以在圆上.
如图所示：
对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故B错误；
对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，
所以.
若，即或，此时，
由得或，
∴当或时，；
当时，，故C错误；
若，即，此时，为一对共轭虚根，
，故D正确.
故选：AD.
10．（多选题）（2024·广西贵港·模拟预测）已知复数，，，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，或，故A正确．
对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确．
方法二（复数的三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为，
所以．故B正确．
对于C，取，，则，此时，故C错误．
对于D，，，所以，故D正确．
故选：ABD
11．（多选题）（2024·山东菏泽·二模）下列选项正确的有（ ）
A．若是方程的一个根，则
B．复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为
C．若复数满足，则的最大值为
D．若复数，满足，则
【答案】BCD
【解析】对于A：若是方程的一个根，
则方程的两个根分别，
所以，
所以，故A错误；
对于B：由题意可知，
所以，
所以向量表示的复数为，故B正确；
对于C：设，
若复数满足，
则在复平面内点在圆上，
圆的圆心，半径，
则的几何意义为原点到圆上点的距离，又，
则的最大值为，C正确；
对于D：因为，
所以，
，
所以，D正确．
故选：BCD.
12．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若是的共轭复数，则
C．若，则
D．若，则取最大值时，
【答案】CD
【解析】对于A：复数的实部为，虚部为，若为纯虚数，则，
故，错误；
对于B：因为，所以，则，错误；
对于C：，则，正确；
对于D：因为，所以，即，
令，则，
因为，所以，所以当时，取到最大值2，
此时，所以，正确.
故选：CD
13．（2024·天津南开·二模）是虚数单位，复数 .
【答案】
【解析】由题.
故答案为：.
14．（2024·天津北辰·三模）是虚数单位，复数的虚部为 .
【答案】
【解析】，
所以复数Z的虚部为.
故答案为：
15．（2024·河南南阳·三模）若，则
【答案】/
【解析】，
所以，
故答案为：.
16．（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 .
【答案】3
【解析】因为关于的一元二次方程有两个虚根，
所以，即，得或，
所以中，
因为，
整理得，解得或（舍），故，
所以实数的值为3.
故答案为：3
17．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 .
【答案】
【解析】方法一：由已知可得，即，
所以，解得，所以.
方法二：因为是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，
所以也是该方程的一个根，
由韦达定理得，解得，所以.
故答案为：.
1．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【解析】由题意可得，
则.
故选：C.
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为，
所以，解得：．
故选：C.
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
则.
故选：B.
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选 ：C
13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
14．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【解析】由题意有，故．
故选：B．
15．（2022年新高考全国I卷数学真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题设有，故，故，
故选：D
16．（2024年天津高考数学真题）已知是虚数单位，复数 ．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
17．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
【答案】2
【解析】设，且.
则，
，，解得，
故答案为：2.
18．（2023年天津高考数学真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
【答案】/
【解析】由题意可得.
故答案为：.
19．（2022年新高考天津数学高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
【答案】/
【解析】．
故答案为：．
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目录 01 模拟基础练 2 题型一：复数的概念 2 题型二：复数的运算 2 题型三：复数的几何意义 3 题型四：复数的相等与共轭复数 3 题型五：复数的模 3 题型六：复数的三角形式 4 题型七：与复数有关的最值问题 4 题型八：复数方程 5 02 重难创新练 5 03 真题实战练 7
题型一：复数的概念
1．（2024·河南信阳·模拟预测）复数的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·陕西安康·模拟预测）若的虚部为2，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
3．（2024·甘肃张掖·三模）已知复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．0
题型二：复数的运算
4．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）下列各式的运算结果是实数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选题）（2024·福建泉州·一模）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z对应的点坐标为，则（ ）
A．i B．-i C． D．
8．（2024·高三·黑龙江绥化·期中）已知复数和（i是虚数单位），则 ．
题型三：复数的几何意义
9．（2024·陕西·模拟预测）已知复数，，，若，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2024·青海海西·模拟预测）已知，复数，则“”是“复数z在复平面内所对应的点位于第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2024·高三·湖南岳阳·期中）已知复数的共轭复数为，且满足，则在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型四：复数的相等与共轭复数
13．（2024·北京海淀·二模）若，则 .
14．（2024·重庆·模拟预测）复数满足（为虚数单位），则 ．
15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则的虚部为 .
16．（2024·山东青岛·二模）已知复数满足，则复数 .
题型五：复数的模
17．（2024·高三·上海·期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模等于 ．
18．（2024·高三·上海嘉定·期中）若复数（为虚数单位），则 ．
19．（2024·高三·辽宁大连·期中）设复数，满足，，则 .
20．若复数z满足，则
题型六：复数的三角形式
21．（2024·高三·辽宁·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2024·全国·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则（ ）
A． B． C． D．
23．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
24．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：与复数有关的最值问题
25．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
26．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
27．（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
28．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．3
29．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
30．已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
题型八：复数方程
31．（2024·上海浦东新·二模）已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则 ．
32．（2024·上海嘉定·二模）设，则 ．
33．复数（i为虚数单位）的平方根为
34．已知关于的方程的两根为、，满足，则实数的值为
35．已知方程有两个虚根，则的取值范围是
1．（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肃兰州·三模）已知复数，则（ ）
12．（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若是的共轭复数，则
C．若，则
D．若，则取最大值时，
13．（2024·天津南开·二模）是虚数单位，复数 .
14．（2024·天津北辰·三模）是虚数单位，复数的虚部为 .
15．（2024·河南南阳·三模）若，则
16．（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 .
17．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 .
1．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022年新高考全国II卷数学真题）（ ）
A． B． C． D．
10．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若．则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
15．（2022年新高考全国I卷数学真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
16．（2024年天津高考数学真题）已知是虚数单位，复数 ．
17．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
18．（2023年天津高考数学真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
19．（2022年新高考天津数学高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
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