重难点突破01 奔驰定理与四心问题
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 3
题型一：奔驰定理 3
题型二：重心定理 5
题型三：内心定理 6
题型四：外心定理 6
题型五：垂心定理 7
03 过关测试 8
技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．
技巧三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．
为的内心．
（2）外心：为的外心．
（3）垂心：为的垂心．
（4）重心：为的重心．
题型一：奔驰定理
【典例1-1】已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【典例1-2】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．2
【变式1-1】设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）
A． B．18 C．16 D．9
【变式1-2】设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A． B． C． D．
【变式1-3】（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
【变式1-4】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
题型二：重心定理
【典例2-1】已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心）
【典例2-2】（2024·高三·陕西渭南·期末）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．
【变式2-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在平行四边形中，为的重心，，则 ．
【变式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为 .
【变式2-3】在 中，角 所对的边分别为，已知 ，设 分别是的外心和重心，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
题型三：内心定理
【典例3-1】已知为的内心，，且满足，则的最大值为 .
【典例3-2】在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ．
【变式3-1】已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则＝ ．
【变式3-2】（2024·高三·山东聊城·期中）已知是的内心，，，，则 ．
【变式3-3】已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是 .
题型四：外心定理
【典例4-1】已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【典例4-2】为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【变式4-3】已知O为的外心，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．1
【变式4-4】在中，，O是的外心，则的最大值为
【变式4-5】已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 ．
【变式4-6】在中，，，为的外心，，，分别为，，的中点，且，则 .
题型五：垂心定理
【典例5-1】已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .
【典例5-2】若是的垂心，且，则的值为 ．
【变式5-1】在中，三个内角分别为A，B，C，，，，H为的垂心．若，则 ．
【变式5-2】已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .
【变式5-3】已知在中，，点为的垂心，则= ．
1．已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
3．已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
4．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（ ）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点
6．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
8．已知的重心为，则向量（ ）
A． B．
C． D．
9．已知的重心为O，若向量，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心 B．点为的外心
C． D．为等边三角形
11．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
12．在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
13．（多选题）（2024·高三·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
14．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ）
A． B．
C．的面积的最大值为 D．的最小值为
15．（多选题）（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
22．我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为 .
23．已知点为内一点，，则的面积之比为 ．
24．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ．
①若为的垂心，．则
②若为边长为2的正三角形，则的最小值为
③若，则动点的轨迹经的外心
④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
25．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 .
26．点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
27．（2024·浙江宁波·模拟预测）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则 .
28．设H是的垂心，且，则 ．
29．在中，，，为的垂心，且满足，则 .
30．（2024·全国·模拟预测）已知的外心、垂心分别为，，，则 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点突破01 奔驰定理与四心问题
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 3
题型一：奔驰定理 3
题型二：重心定理 10
题型三：内心定理 13
题型四：外心定理 17
题型五：垂心定理 22
03 过关测试 25
技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．
技巧三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．
为的内心．
（2）外心：为的外心．
（3）垂心：为的垂心．
（4）重心：为的重心．
题型一：奔驰定理
【典例1-1】已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由，得，
如图，分别是的中点，
则，
所以在线段上，且，
得，设，则，所以，
因为，，，
所以，则，解得.
故选：B
【典例1-2】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【解析】
因为，
所以，即，
取中点为点，
则，即，
所以在中线上，且
过，分别作边上的高，垂足为，
则，
所以，，
所以，
所以，
故选：C.
【变式1-1】设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）
A． B．18 C．16 D．9
【答案】B
【解析】设中，角的对边分别为，
，由，得，
，若，则，，
有，得，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值是18.
故选：B
【变式1-2】设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，，
如图所示
与的面积之比为
根据三角形相似可知，则
即
由平行四边形法则得
根据待定系数法有，则
故选
【变式1-3】（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
【答案】ABD
【解析】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；
对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；
对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.
【变式1-4】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，，，则
D．若为的垂心，则
【答案】ABD
【解析】对于A：如下图所示，
假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，
同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，
则有可知，
若，可得，即B正确；
对于C：由，可知，
又，所以，
由可得；
所以，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知，，
则，
同理，
因为O为的垂心，则，
所以，
同理得，，
则，
令，
由，
则，
同理：，
，
综上，，
根据奔驰定理得，即D正确.
故选：ABD.
题型二：重心定理
【典例2-1】已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心）
【答案】重心
【解析】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示：
则，
则，则，
，又为非负实数，
故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心.
故答案为：重心.
【典例2-2】（2024·高三·陕西渭南·期末）如图所示，中为重心，过点，，，则 ．
【答案】3
【解析】设
根据题意，；
，，，三点共线，则存在，使得，
即，即，
，整理得，所以；
故答案为：3
【变式2-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在平行四边形中，为的重心，，则 ．
【答案】/
【解析】如图，设与相交于点，又为的重心，
所以为的中点，，
则，
则，故．
故答案为：
【变式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意，，
延长交于，则是中点，
,
又，，所以，
又三点共线，所以，，
，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
，又，即，
所以的取值范围是，
故答案为：，
【变式2-3】在 中，角 所对的边分别为，已知 ，设 分别是的外心和重心，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设为边中点，连接,作于，即为中点，
因为,
同理,
则
，
在中，，
由余弦定理得，即，
由均值不等式，，
所以（当且仅当等号成立），
所以.
故选：B．
【变式2-4】（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】设的中点为点，所以，
则，
若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心，
若四点不共线时，，且，连结，交于点，
如图，
，即点是三角形的重心，即经过的重心，
综上可知，经过的重心.
故选：A
题型三：内心定理
【典例3-1】已知为的内心，，且满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】设内切圆半径为r，延长交于D，则，即，
由三点共线，得，
，
，.
当，即，亦即时等号成立，故.
故答案为：.
【典例3-2】在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ．
【答案】
【解析】延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE＝OF，则，
设，
因为B、C、D三点共线，
所以，即
，
因为，，所以，
所以．
故答案是：
【变式3-1】已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则＝ ．
【答案】1
【解析】设D为BC的中点，因为点O是边长为的等边△ABC的内心，
所以 ，，两两夹角为120°，
且||＝||＝|||AD|．
所以
＝22
＝1.
故答案为：1．
【变式3-2】（2024·高三·山东聊城·期中）已知是的内心，，，，则 ．
【答案】36
【解析】如图所示：
以为圆心作的内切圆，分别与、、相切于点、、，
设，
根据切线长定理得，
,
,
所以，
即，解得，即，
由题意可得,
所以，
所以,
.
故答案为：36.
【变式3-3】已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是 .
【答案】
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则
，
因为是三角形的内心，设三角形内切圆半径为，
则，解得.
所以，.
依题意点在三角形的内部（不含边界）.
因为，
所以，
所以，
令，
则，
由图可知，当过时，.
当，过，即为直线时，.
所以的取值范围时.
故答案为：
题型四：外心定理
【典例4-1】已知点在所在平面内，满足，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】因为，即点到的距离相等，
所以点是的外心.
故选：A
【典例4-2】为所在平面内一点，且满足，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】依题意，，
，
，
则，于是，
所以是的外心.
故选：B
【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为，
则，故，
又，设，
则
，
当且仅当时等号成立，
由可知，，
故的最大值为．
故选：A．
【变式4-2】在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【解析】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，
所以，，设，
则
，
又是的外心，所以
，
所以.
故选：B
【变式4-3】已知O为的外心，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．1
【答案】A
【解析】如图，O为的外心，过作于
因为，所以
则.
故选：A.
【变式4-4】在中，，O是的外心，则的最大值为
【答案】3
【解析】由题知，记的三边为，
因为O是的外心，记中点为，
则有，所以且，
所以
①，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
代入①中可得：，
在中，由正弦定理得：，所以，
所以，
当时取等，
故的最大值为3．
故答案为：3
【变式4-5】已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 ．
【答案】/0.75
【解析】如图所示，延长交于，
令，
∵，，三点共线，
∴，
∴取最大值时，取最大值，则，
∵为外接圆的半径（定值），
∴当取得最小时，取最大值，此时，
∴为等腰三角形，且，
∴，则，，，
∵，，
∴．
故答案为：
【变式4-6】在中，，，为的外心，，，分别为，，的中点，且，则 .
【答案】
【解析】如图，
设的外接圆半径为，由正弦定理，则，
又因为，，分别为，，的中点，
所以，，，
三式平方相加可得，
又因为，代入得结果为.
故答案为：.
题型五：垂心定理
【典例5-1】已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 .
【答案】 30 5
【解析】如图，
是的边上的高，则；设，
因为，面积为15，所以，即；
.
由第一空可知，所以；
所以，由可得，即；
因为，
所以，
.
故答案为：30;5.
【典例5-2】若是的垂心，且，则的值为 ．
【答案】/
【解析】由，得，
所以，故垂心在中线上，即高线与中线重合，故，
又，所以，
又因为，，得，
所以，即，
得到，由余弦定理得，
又，所以，
所以，所以,
得到．
故答案为：.
【变式5-1】在中，三个内角分别为A，B，C，，，，H为的垂心．若，则 ．
【答案】
【解析】因为，，，所以，
由余弦定理可得，
由以及为锐角，可得，故．
同理，．于是．
接下来证明定理4：O是（非直角三角形）的垂心．
证明：O是（非直角三角形）的垂心
，
由定理4得，
故，
化简得．所以．
故答案为：
【变式5-2】已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 .
【答案】/
【解析】因为，
所以，同理，
由H为△ABC的垂心，得，即，
可知，即，
同理有，即，可知，即，
所以， ，又，
所以．
故答案为：.
【变式5-3】已知在中，，点为的垂心，则= ．
【答案】18
【解析】延长交于点，
因为，点为的垂心，
所以为的中点，，
所以
，
故答案为：18
1．已知是内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，延长交于点，设，
易知，可得，
又，得，故，
可知，
同理，可得，
结合可得，
整理得成立，
而由题意得，故，
设即，，故，故C正确.
故选：C
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
【解析】在中，由，得，
即，由，同理得，
显然，即与不重合，否则，同理，
则，即，，
于是平分，同理平分，
所以点P是的内心.
故选：D
3．已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
【答案】C
【解析】
因为，所以，
设AB的中点D，则，所以，
所以C，G，D三点共线，即G为的中线CD上的点，且，
所以G为的重心．
因为，所以，所以O为的外心；
因为，所以，即，
所以，同理可得：，，所以H为的垂心.
故选：C.
4．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】取线段BC的中点E，则，
动点P满足：，
则，则，所以，
又为两向量的公共起点，所以三点共线，
所以直线一定通过的重心．
故选：C．
5．已知点A、B、C是平面上不共线的三点，点为的外心，动点满足条件： (，)，则点的轨迹一定通过的（ ）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点
【答案】D
【解析】取的中点D，连接，则，
∵，
∴，
则，即
∴P，C，D三点共线，
因为，所以，
于是点P的轨迹一定经过边的中点．
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，
所以，即，
因为三点共线，可得，所以.
故选：A．
7．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】取线段的中点，则.
动点满足：，，
则，即，所以，
又，所以三点共线，即点的轨迹是直线，
一定通过的重心.
故选：A.
8．已知的重心为，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设分别是的中点，
由于是三角形的重心，
所以.
故选：B.
9．已知的重心为O，若向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，设E是的中点，由于O是三角形的重心，
所以．
则.
故选:D．
10．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心 B．点为的外心
C． D．为等边三角形
【答案】B
【解析】在中，由为的垂心，得，
由，得，
则，即，又，
显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B
11．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】由题意，当时，如图
可知：点在边上的中线所在直线上，∴动点的轨迹一定通过的重心，
故选：A．
12．在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
设的中点为，则，则，
所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心.
故选：A
13．（多选题）（2024·高三·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【解析】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，
则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
14．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ）
A． B．
C．的面积的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【解析】
延长交于点.
因为是的重心，
所以点是中点，，
则.
对于选项A：因为，故选项A正确；
对于选项B：由得：，
所以，当且仅当时等号成立.
又因为，即，，
所以，
即，当且仅当时等号成立，故选项B正确；
对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，，
所以，故选项C正确；
对于选项D：由，，
得，
所以由余弦定理可得：
，即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值是，故选项D错误.
故选：ABC.
15．（多选题）（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
【答案】AC
【解析】
，
因为点为的重心，
所以，所以，
所以三点共线，故A正确，B错误；
，
因为，
所以，即，故C正确；
因为，
所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；
故选：AC．
16．（多选题）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则为的重心
B．若，则为的内心
C．若为的重心，是边上的中线，则
D．若，则
【答案】AD
【解析】取的中点，连接，则，
若，则，则三点共线，且，
则为的重心，故A正确；
若，则为的外心，不一定是内心，故B错误；
若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误；
取的中点，连接，则，
若，则，则三点共线，且，
则，故D正确.
故选：AD.
17．（多选题）点O为所在平面内一点，则（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点O为的内心
C．若，则点O为的垂心
D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
【答案】ABD
【解析】对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得，
则以为邻边作平行四边形，可得，且，
设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线，
同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确；
对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
可得四边形是菱形，则，
因为，
所以，即，即和共线，即是的角平分线，
同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确.
对于C中，如图所示，取分别为的中点，
根据向量的平行四边形法则，可得，
因为，可得，
所以，所以点在线段的垂直平分线上，
所以点为的外心，所以C不正确；
对于D中，由,
因为，可得，
即，
设为的中点，可得，
所以，即，且为的中点，
所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确.
故选：ABD.
18．（多选题）已知，在所在的平面内，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．为的外心
B．为的垂心
C．为的内心
D．为的重心
【答案】BD
【解析】由题意，
所以，
即＝0，所以，
同理可得：，，
所以M为的垂心；A错误,B正确；
因为所以，
所以，
设AB的中点D，则，
所以，
所以C，N，D三点共线，即N为的中线CD上的点，且，
所以N为的重心,C错误,D正确.
故选:BD.
19．（多选题）在中，角的对边分别为，为的外心，则（ ）
A．若有两个解，则
B．的取值范围为
C．的最大值为9
D．若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，由正弦定理，得，
有两解的情形为，且，则，故A正确；
对于B，由正弦定理，得外接圆半径，
由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，，
于是，故B正确；
对于C，法一：用投影向量求当在上的投影向量的模最大，且与同向时，取得的最大值，此时，
设为的中点，则，
在上的投影向量的模为，最大值为，故C错误；
法二：转化到圆心：，故C错误；
对于D，如下图，由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，由两段优弧拼接成，每段优弧所对圆心角为，
所以A点的轨迹长度为，故D正确．
故选：ABD.
20．设M为内一点，且，则与的面积之比为 ．
【答案】/0.25
【解析】在取中点，
则，
可知点为的中点，
可得，即，
所以与的面积之比为.
故答案为：.
21．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心 内心 外心 垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，
由可得，所以，
又，
则，所以，
两式相加可得，化简可得，
又，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
22．我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，
由可得，所以，，
因为，
则，所以，，
所以，，可得，
因为，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故答案为：.
23．已知点为内一点，，则的面积之比为 ．
【答案】
【解析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量的数乘运算的几何意义，三角形面积公式，确定面积比.因为，所以，
设为中点，为中点，因为，
可得，所以三点共线，且，
为三角形的中位线
所以，
而，所以的面积之比等于
故答案为：
24．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ．
①若为的垂心，．则
②若为边长为2的正三角形，则的最小值为
③若，则动点的轨迹经的外心
④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
【答案】①③④
【解析】对于①，为的垂心，则，又，
所以，所以①正确；
对于②，取的中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，
则，，，设，
则
，
故当，时，
取得最小值，
最小值为，所以②错误；
对于③，，
，
所以，
如图，设是的中点，则，
故，
即，
故则动点的轨迹经过的外心，所以③正确；
对于④，
由，，三点共线，设，
由，，
所以，
又，
所以，所以，
所以，即，所以④正确.
故答案为：①③④.
25．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【解析】①当动点P满足时，
则点P是的重心，所以①不正确；
②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线，
所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③变形为，
而，表示点A到边的距离，设为，
所以，而表示边的中线向量，
所以表示边的中线向量，
因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；
④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；
故答案为：2.
26．点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．
①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】对于①，因为动点满足，
，
则点是的重心，故①正确；
对于②，因为动点满足，
，
又在的平分线上，
与的平分线所在向量共线，
所以的内心在满足条件的点集合中，②正确；
对于③，动点满足，
，，
过点作，垂足为，则，
，向量与边的中线共线，
因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；
对于④，动点满足，
，
，
，
，
，
所以8，
故答案为：8
28．设H是的垂心，且，则 ．
【答案】
【解析】∵H是的垂心，
∴，，
∴，同理可得，，
故，
∵，
∴，
∴，同理可求得，
∴，，
∴，即.
故答案为：．
29．在中，，，为的垂心，且满足，则 .
【答案】
【解析】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.
故答案为：.
30．（2024·全国·模拟预测）已知的外心、垂心分别为，，，则 .
【答案】1
【解析】不妨设为锐角三角形，
取的中点，过点作，垂足为，连接，
设交于点，延长，交于点，
则为的中点，可得.
取的中点，连接，则，则.
连接，，由，为的中点，可得为的中点，则，连接，延长，交于点，则，可得，
因此四边形为平行四边形，
则，则.
故答案为：
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