重难点突破02 向量中的隐圆问题
目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 3
题型一：数量积隐圆 3
题型二：平方和隐圆 3
题型三：定幂方和隐圆 4
题型四：与向量模相关构成隐圆 4
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆） 5
03 过关测试 6
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
乘积型：
定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆
证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
若为定点，，则的轨迹为圆．
证明：
．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
技巧五．阿氏圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
题型一：数量积隐圆
【典例1-1】已知平面向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·辽宁鞍山·一模）已知平面向量，，满足，若，则的最小值为
A． B． C． D．0
【变式1-1】设平面向量满足与的夹角为且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·辽宁沈阳·二模）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
题型二：平方和隐圆
【典例2-1】已知是单位向量，满足，则的最大值为________．
【典例2-2】已知平面向量、满足，，设，则________.
【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：定幂方和隐圆
【典例3-1】已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.
【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为
A． B． C． D．
【变式3-2】已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
题型四：与向量模相关构成隐圆
【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（ ）
1．已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )
A． B．
C． D．2
3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·高三·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
9．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．2
11．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
12．已知是平面中的三个单位向量，且，则的最小值是 .
13．在平面内，已知非零向量与单位向量的夹角为，若向量满足，则的最小值为 .
14．（2024·高三·浙江·开学考试）平面中存在三个向量，，，若，，且，且满足，则的最小值 ．
15．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 .
16．已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为 ，最小值为 .
17．已知为单位向量，且，则的最小值为 .
18．设向量满足，与的夹角为，则的最大值为
19．设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 .
20．已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
21．已知向量，，满足，，，，则的取值范围为 .
22．已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最大值为 .
23．在平面内，若有，，，则的最大值为 .
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目录
01 方法技巧与总结 2
02 题型归纳与总结 3
题型一：数量积隐圆 3
题型二：平方和隐圆 6
题型三：定幂方和隐圆 8
题型四：与向量模相关构成隐圆 11
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆） 15
03 过关测试 19
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
乘积型：
定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆
证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．
技巧二．极化恒等式和型：
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
技巧三．定幂方和型
若为定点，，则的轨迹为圆．
证明：
．
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
技巧五．阿氏圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
题型一：数量积隐圆
【典例1-1】已知平面向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，易知与的夹角为，设，，，由，可得，所以原问题等价于，圆上一动点与点之间距离的最小值， 利用圆心和点的距离与半径的差，即可求出结果.因为，所以与的夹角为，设，，，
因为，所以，
又，
所以原问题等价于，圆上一动点与点之间距离的最小值，
又圆的圆心坐标为，半径为，所以点与圆上一动点距离的最小值为.
故选：A.
【典例1-2】（2024·辽宁鞍山·一模）已知平面向量，，满足，若，则的最小值为
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】因为平面向量，，满足，，
，，
设，，，
，
所以的最小值为．
故选B．
【变式1-1】设平面向量满足与的夹角为且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系，
不妨令，因为与的夹角为
所以，所以，
设，则，，
由，所以，
即，即，
即点表示以为圆心，为半径的圆，又
所以；
故选：A
【变式1-2】（2024·辽宁沈阳·二模）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
所以对任意都恒成立，
所以.
不妨设又.
当，设，
所以，
所以，
所以，
所以对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
所以可以看成是到的距离，
所以的最小值为.
当时，同理可得的最小值为1.
故选：A
题型二：平方和隐圆
【典例2-1】已知是单位向量，满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】依题意，可为与x轴、y轴同向的单位向量，设
化简得：
运用辅助角公式得：
，
即得：，
故；
故答案为：
【典例2-2】已知平面向量、满足，，设，则________.
【答案】
【解析】因为且，所以；
又因为，所以；
由，所以；
根据可知：，
左端取等号时：三点共线且在线段外且靠近点；右端取等号时，三点共线且在线段外且靠近点，
所以，所以.
故答案为：.
【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.设，则，
所以，
所以点M的轨迹是一个圆D,
由题得圆C和圆D相交或相切，
所以，
所以.
故选：B
【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
∵直线与点，直线上存在点满足，
∴，
整理,得 ①，
∵直线 上存在点M,满足，
∴方程①有解，
∴，
解得： ，
故选D.
题型三：定幂方和隐圆
【典例3-1】已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意得：直线，
因此直线经过定点；
设点坐标为，；，
化简得：，
因此点为与直线的交点．
所以应当满足圆心到直线的距离小于等于半径
解得：
故答案为
【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，作，，，取的中点，连接，
以点为圆心，为半径作圆，
，，，
所以，为等边三角形，
为的中点，，所以，的底边上的高为，
，，
所以，，
所以，
，
由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，
的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，
因此，的最大值为.
故选：B.
【变式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由推出，所以，如图，终点的轨迹是以为半径的圆，设，，，，所以表示的距离，显然当时最小，M的最大值为圆心到的距离加半径，即，
故选：A
【变式3-2】已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得，设，
则，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设，利用三角函数求的最值．由得：，即，
设，
则，
则点C在以AB为直径的圆O上运动，
由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，
设，
则，
所以当时，|DC|取最大值，
故选：C．
题型四：与向量模相关构成隐圆
【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
因为，所以，
如图，令，则，，
所以，，
因为，，
所以，即，
设，则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
令， 则，
所以当，且C，P，Q三点共线时，取最小值，
则，
故选：A
【典例4-2】已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
根据投影向量，，则，且，
因为，所以点C在以O为圆心，半径的圆上运动．
设M是AB的中点，由极化恒等式得：，
因为，此时，
即的最小值为，
故选：D．
【变式4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 .
【答案】
【解析】如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点，
所以，同理，
取点，则，又因，
所以，
所以，即，
所以，
由三角形的三边关系知.
故填：.
【变式4-2】已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
作图，，则，，
因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；
同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，
所以的最小值则为，
因为，，当，，三点共线时，，所以.
故答案为：.
【变式4-3】已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.
【答案】/
【解析】法一 由，得.
如图所示，分别作,作，
由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以,
作，则,
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值,
故||的最大值是,
故答案为：
法二 由，得，
建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设 ，由，
得 ，
所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.
所以
故答案为：
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）
【典例5-1】已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的直角坐标系：
依题意设，，，，，
则，故C在以为圆心，半径为1的圆上，
如图，取点，则，，且，
因此，，故，
又，
由于，
当E，M，C三点共线且点C在线段上时，等号取到，
因此.
故选:C.
【典例5-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的直角坐标系，设，
则，故点在以为圆心，半径为1的圆上，
如图：取点,则,且,
因此,所以,故,
由于,当三点共线且点在线段上时，等号取到，
因此，
故选：D
【变式5-1】已知平面向量满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，，
则，，
由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上，
取，则在AD上，则，又，∴，∴，即，
∴.
故选：D
【变式5-2】（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，
则，，
即C在以为圆心，2为半径的圆上，
如图，取，则，又，
所以有～，所以，
又因为，，
所以．
故选：B.
【变式5-3】已知平面向量，，满足：，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】如图，为单位圆，、、在上，，，
在的延长线上，，为中点，为中点，在的延长线上，，
设，，为上一点，，
则，
△，
，
同理，
，
故选：A．
1．已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，
又，不妨设在直线上，又可得，即，
则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；
又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点
到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.
故选：D.
2．已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是( )
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】 是平面内两个互相垂直的单位向量，如图所示，
设，，，
则，，
由可知，所以C点在以AB为直径的圆上，即四点共圆
当为圆的直径时，最大，此时
故选：A
3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，是平面内两个互相垂直的单位向量，
故可设，，，
则，，
因为，所以，
整理得到，即，
故的最大值为，
故选：B.
4．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，，，，
则，，
因为，故，故，
所以在以为直径的圆上，故的最大值为圆的直径，
故选：C.
5．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和，
和两点确定的直线为，即，
原点到的距离，
与相交，
则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，
所求最小值为.
故选：B.
6．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，
由，，则，
所以，，，设，
则，，
则，
当时，取得最小值，此时，.
故选：B
7．（2024·高三·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，，
所以，即，
所以，
，所以的最小值为.
故选：A
8．已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【解析】如图，建立平面直角坐标系，依题意令，，，
，
因为，
所以，即，
，则，
则，
则的最小值为4.
故选：C.
9．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，共起点，
由，可得，
所以与垂直，如图
由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，
由题意可知的终点在图中所示的射线上，
所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故的最小值为.
故选：.
10．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．2
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设且，
因为，可得，
则，
所以，
又因为向量满足，可得，解得，
所以，
，
则，
设，因为，当且仅当，
所以，
又因为在上为单调递增函数，
所以，即的最小值为.
故选：A.
11．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，
，，
，
的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，
点在单位圆内，点在单位圆外，
则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，
所求最小值为.
故答案为：.
12．已知是平面中的三个单位向量，且，则的最小值是 .
【答案】
【解析】根据题意可设，，设， 则
，，又为单位向量，所以，
所以
表示单位圆上的点到点，的距离之和，
又过点，两点的直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，
所以的最小值距离为点，之间的距离.
即的最小值为.
故答案为：
13．在平面内，已知非零向量与单位向量的夹角为，若向量满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，，，
由得：，
即，
所以向量的末端落在以为圆心,以为半径的圆上,即图中的虚线圆上.
因为非零向量与单位向量的夹角为,
所以向量的末端落在如图所示的射线上.
由向量减法的三角形法则可知,
向量是从圆上的点到射线上的点形成的向量.
由图形的对称性可知，只需考虑上半部分即可.
由几何分析可知,如图:
圆心到射线的距离减去圆的半径即为最小值.
所以.
故答案为:
14．（2024·高三·浙江·开学考试）平面中存在三个向量，，，若，，且，且满足，则的最小值 ．
【答案】
【解析】由，得与之间的夹角为90°.由，得，即与夹角为90°.数形结合得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动．再根据阿波罗尼斯圆的性质求出的最小值.，且，则与之间的夹角为90°.
将可以改写成，
因此与夹角为90°.
因此综上条件我们可以做出如下图象
点在以点为圆心，1为半径的圆上动．
根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由所构成的圆
（以为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则）.
，，
.
故答案为：.
15．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，
设的中点为S，连接，则，
所以，
又为直角三角形，所以，故①，
设，则由①可得，
整理得：，
从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以，
因为，所以 ；
解法2：如图，因为,所以，
故四边形为矩形，由矩形性质，，
所以，从而，
故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以.
故答案为： .
16．已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为 ，最小值为 .
【答案】 3
【解析】因为，所以点在以为直径的圆上，
记的中点分别为，
则，
因为是边长为2的正三角形，，所以，
易知，当三点共线时取得最大值，此时，
所以的最大值为，
当重合时取得最小值，此时的最小值为.
故答案为：3;.
17．已知为单位向量，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为为单位向量，有，得，
由，得，得，
所以，又，所以，
而，
则
当且仅当与方向相反时“=”成立
所以的最小值为；
故答案为：
18．设向量满足，与的夹角为，则的最大值为
【答案】4
【解析】如图所示，
设 因为，
所以，因为，
所以，因为 ，
所以，
所以四点共圆，因为，，
所以，由正弦定理知，
即过四点的圆的直径为4，
所以的最大值等于直径4.
故答案为：4.
19．设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】单位向量满足，则，
由，得，
则，当且仅当同向时取等号，
因此，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
20．已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
以所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为，，与的夹角为，
所以，，设，
即，，，
所以，，
因为，所以，即，
圆心坐标为，半径，表示点到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，
因为圆心到原点的距离为，所以.
故答案为：.
23．在平面内，若有，，，则的最大值为 .
【答案】
【解析】由向量，，可得，
可得，所以，
如图所示，作，则，且，
连接，取的中点，连接，则，
因为，可得，所以，
作，连接，则，所以，
所以点在以为直径的圆上，
所以当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大，
由，,
因为，且，所以，
所以在上的最大投影为，
所以.
故答案为：.
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