第01讲 三角函数概念与诱导公式
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：三角函数基本概念 4
知识点2：同角三角函数基本关系 5
知识点3：三角函数诱导公式 6
解题方法总结 6
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 7
题型二：等分角的象限问题 8
题型三：弧长与扇形面积公式的计算 9
题型四：割圆术问题 10
题型五：三角函数的定义 11
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值 12
题型七：弦切互化求值 13
题型八：诱导求值与变形 14
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 15
04真题练习·命题洞见 17
05课本典例·高考素材 18
06易错分析·答题模板 19
易错点：不能理解三角函数的定义 19
考点要求 考题统计 考情分析
（1）三角函数基本概念 （2）任意角的三角函数 （3）同角三角函数的基本关系 2023年甲卷第14题，5分 2022年浙江卷第13题，5分 2021年甲卷第8题，5分 高考对此也经常以不同的方式进行考查，将三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用公式．
复习目标： （1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． （2）理解同角三角函数的基本关系式，． （3）掌握诱导公式，并会简单应用．
知识点1：三角函数基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3、任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
【诊断自测】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点2：同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：．
（2）商数关系：；
【诊断自测】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．11 B． C．10 D．
知识点3：三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【诊断自测】（2024·河南信阳·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
解题方法总结
1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
【典例1-1】集合中的最大负角为（ ）v
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
【变式1-1】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合.
【变式1-3】已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合M中有几类终边不相同的角？
(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)求集合M中的第二象限角．
题型二：等分角的象限问题
【典例2-1】已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．
C． D．是第三或第四象限角
【典例2-2】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在( )
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【方法技巧】
先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示．
【变式2-1】已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【变式2-2】若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
【典例3-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为 ．
【典例3-2】若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【方法技巧】
应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式3-1】已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大．
【变式3-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 .
【变式3-3】（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 .
【变式3-4】建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．
题型四：割圆术问题
【典例4-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时， B．时，
C．时， D．时，
v
【方法技巧】
割圆术是魏晋时期数学家刘徽首创的方法，用于计算圆周率。其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。
【变式4-1】（2024·四川成都·模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：三角函数的定义
【典例5-1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·北京房山·一模）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【变式5-1】（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
【变式5-3】如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-4】（2024·山东济南·二模）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值
【典例6-1】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．
【典例6-2】若是第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．
余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．
正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
【变式6-1】已知，且，则为（ ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角
【变式6-2】（多选题）若角的终边在第三象限，则的值可能为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【变式6-3】（2024·高三·海南·期末）已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型七：弦切互化求值
【典例7-1】（2024·高三·福建泉州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
【变式7-1】若，则 .
【变式7-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则 ．
【变式7-3】已知，则 .
【变式7-4】（多选题）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-5】（多选题）已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型八：诱导求值与变形
【典例8-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3）等可利用诱导公式把的三角函数化
【变式8-1】（2024·高三·广东深圳·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2024·江西九江·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【典例9-1】已知.
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值.
【典例9-2】已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【方法技巧】
（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
（2）注意角的范围对三角函数符号的影响．
【变式9-1】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式9-2】已知
(1)化简
(2)若，且，求的值.
(3)若是第三象限角，且，求的值.
【变式9-3】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.
(1)求的值；
(2)记点的横坐标为，若，求的值.
【变式9-4】在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.
(1)直接写出和的值，并求的值；
(2)求的值；
(3)将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：
(1)；
(2)．
2．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积.
（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为，求与的比值；
（2）要使与的比值为，则扇子的圆心角应为几度（精确到）？
3．（1）时间经过（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由.
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间）
4．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.
（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
（2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？
5．化简，其中为第二象限角.
6．（1）分别计算和的值，你有什么发现？
（2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？
（3）证明：.
易错点：不能理解三角函数的定义
易错分析： 利用定义求任意角的三角函数时，要根据条件选择不同的解法，看所给的条件是终边与单位圆的交点还是终边上的任意一点.
【易错题1】（2024·山东青岛·一模）已知角终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【易错题2】（多选题）若角的终边上有一点，且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 三角函数概念与诱导公式
目录
01 考情透视·目标导航 2
02 知识导图·思维引航 3
03 考点突破·题型探究 4
知识点1：三角函数基本概念 4
知识点2：同角三角函数基本关系 5
知识点3：三角函数诱导公式 6
解题方法总结 7
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 7
题型二：等分角的象限问题 9
题型三：弧长与扇形面积公式的计算 11
题型四：割圆术问题 15
题型五：三角函数的定义 18
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值 21
题型七：弦切互化求值 23
题型八：诱导求值与变形 26
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 28
04真题练习·命题洞见 32
05课本典例·高考素材 34
06易错分析·答题模板 37
易错点：不能理解三角函数的定义 37
考点要求 考题统计 考情分析
（1）三角函数基本概念 （2）任意角的三角函数 （3）同角三角函数的基本关系 2023年甲卷第14题，5分 2022年浙江卷第13题，5分 2021年甲卷第8题，5分 高考对此也经常以不同的方式进行考查，将三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用公式．
复习目标： （1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． （2）理解同角三角函数的基本关系式，． （3）掌握诱导公式，并会简单应用．
知识点1：三角函数基本概念
1、角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2、弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3、任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4、三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
【诊断自测】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
故选：B.
知识点2：同角三角函数基本关系
1、同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：．
（2）商数关系：；
【诊断自测】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．11 B． C．10 D．
【答案】B
【解析】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点，
所以，，
所以.
故选：B.
知识点3：三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【诊断自测】（2024·河南信阳·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得.
故选：B
解题方法总结
1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2、“”方程思想知一求二．
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
【典例1-1】集合中的最大负角为（ ）v
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以集合中的最大负角为.
故选：C.
【典例1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，角
的终边在直线上，为第一象限角时，；
为第三象限角时，；
综上，角的取值集合是.
故选：D.
【方法技巧】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
【变式1-1】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．
故选：B．
【变式1-2】用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x轴的非负半轴、终边落在阴影部分内（包括边界）的角的集合.
【解析】图1：易知；
图2：；
图3：或
或
或
【变式1-3】已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合M中有几类终边不相同的角？
(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)求集合M中的第二象限角．
【解析】（1）集合M中的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．
（2）令，得，
又，所以终边不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，
分别是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
所以，.
题型二：等分角的象限问题
【典例2-1】已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．
C． D．是第三或第四象限角
【答案】C
【解析】∵是第二象限角，
∴，，即，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；
∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误.
故选：C．
【典例2-2】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在( )
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当时，，终边位于第一象限
当时，，终边位于第二象限
当时，，终边位于轴的非正半轴上
当时，，终边位于第一象限
综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上
故选
【方法技巧】
先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示．
【变式2-1】已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
故选：D.
【变式2-2】若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】A
【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.
∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.
∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、二象限.
故选A.
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A
【解析】因为角第二象限角，所以，
所以，所以角是第一象限角或第三象限角．
又因为，即，所以角是第一象限角，
故选：A．
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
【典例3-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为 ．
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，
∵扇形的圆心角为
，解得，
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，
，
所以圆锥的轴截面中，，，
由余弦定理可得，
故答案为：
【典例3-2】若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即，
所以扇形面积，
所以当时，取得最大值为，此时，
所以圆心角为（弧度）.
故答案为：2
【方法技巧】
应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式3-1】已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大．
【答案】
【解析】设扇形的半径为，弧长为，
由题意，，
扇形的面积为
，所以当时，
扇形面积取最大值，此时，
所以扇形的圆心角时，扇形面积最大.
故答案为：
【变式3-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 .
【答案】
【解析】如图，设，，，
由题意可知，，解得，，
则，将该扇面作为侧面围成一圆台，
则圆台上、下底面的半径分别为1和2，
所以其高为，
故该圆台的体积为.
故答案为：.
【变式3-3】（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 .
【答案】
【解析】设，
如图，当三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动时，
开始时，先绕旋转，当旋转到时，旋转到，此时，
然后再以为圆心旋转，旋转后旋转到，此时，
当三角形再旋转时，不旋转，此时旋转到，
当三角形再旋转后，必以为圆心旋转，旋转后旋转到，
点从开始到时是一个周期，故的周期为，
如图，为相邻两个零点，
在上的图像与轴围成的图形的面积为：
.
故答案为：.
【变式3-4】建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．
【答案】
【解析】设圆心角为，则，
所以，解得，所以，
所以此扇环形砖雕的面积为
.
故答案为：
题型四：割圆术问题
【典例4-1】（2024·贵州铜仁·模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将代入，
可得
.
故选：C.
【典例4-2】我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时， B．时，
C．时， D．时，
【答案】A
【解析】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，
作于点，则为的中点，且，
因为，在中，，即，
所以，，则，
所以，正十二边形的周长为，所以，.
故选：A.
v
【方法技巧】
割圆术是魏晋时期数学家刘徽首创的方法，用于计算圆周率。其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。
【变式4-1】（2024·四川成都·模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于正n边形，其圆心角为，面积为，对于正边形，其圆心角为，
面积为，由此可得，.
故选：B.
【变式4-2】在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为，底边约为，
由题意得，
故选：C
题型五：三角函数的定义
【典例5-1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，
由三角函数的定义得.
故选：A.
【典例5-2】（2024·北京房山·一模）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点，
所以，
因为把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，
所以，
所以.
故选：D.
【方法技巧】
（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【变式5-1】（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可得，
所以.
故选：B.
【变式5-2】已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解析】由定义，，
当，合题意；
当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限，
所以．
故选：D．
【变式5-3】如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】相遇时间为秒，
故转过的角度为，
故对应坐标为，即.
故选：C
【变式5-4】（2024·山东济南·二模）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，
由题意可知，两质点起始点相差角度为，
则，解得，
若，则，则重合点坐标为，
若，则，则重合点坐标为，即，
若，则，则重合点坐标为，即，
当与第2024次重合时，，则，
则重合点坐标为，即.
故选：B.
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值
【典例6-1】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得、，，
对A：当时，，则，，
此时，故A错误；
对B：当时，，故B错误；
对C、D：，由，
故，则，即，
故C正确，D错误.
故选：C.
【典例6-2】若是第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若α是第二象限角，则，故A错误；
为第一、三象限角，则，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
【方法技巧】
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．
余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．
正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
【变式6-1】已知，且，则为（ ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角
【答案】C
【解析】由，得，则且，又，
因此且，是第二象限角，即，
则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，
所以是第一或三象限角.
故选：C
【变式6-2】（多选题）若角的终边在第三象限，则的值可能为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】BC
【解析】由角的终边在第三象限，得，则，
因此是第二象限角或第四象限角，
当是第二象限角时，，
当是第四象限角时，.
故选：BC
【变式6-3】（2024·高三·海南·期末）已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则即，
而都是第二象限角，故，故，
故“”是“”的充分条件.
若，因为都是第二象限角，故，
所以即，
故“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
题型七：弦切互化求值
【典例7-1】（2024·高三·福建泉州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则，结合，
解得，则，
故选：C.
【典例7-2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
即，即，
显然，所以，则，
又，所以，
所以.
故选：D
【方法技巧】
（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．
（2）若无象限条件，一般“弦化切”．
【变式7-1】若，则 .
【答案】/
【解析】由已知，
故答案为：.
【变式7-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【解析】由可得，即；
所以
将代入计算可得；
即.
故答案为：
【变式7-3】已知，则 .
【答案】
【解析】因为，
所以
.
故答案为：
【变式7-4】（多选题）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由，得，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以，故选项D错误；
故选：AB
【变式7-5】（多选题）已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确；
对于选项B，由，可得：故，
由可得：，故B项错误；
对于选项C，，故C项错误；
对于选项D，由可解得：故得：.故D项正确.
故选：AD.
题型八：诱导求值与变形
【典例8-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
故选：A
【典例8-2】（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.
故选：C
【方法技巧】
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3）等可利用诱导公式把的三角函数化
【变式8-1】（2024·高三·广东深圳·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C
【变式8-2】若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以.
故选：D
【变式8-3】（2024·江西九江·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
所以由，
得，
即，
即，得，
所以，
故选：C.
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【典例9-1】已知.
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值.
【解析】（1）
（2）由（1）得，
所以.
（3）由（1）得，令，则，
则，
，又，
得，代入，计算得：，
当为第二象限角时，，即；
当为第四象限角时，，即.
【典例9-2】已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1）由可得：，
即，
（2）
【方法技巧】
（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
（2）注意角的范围对三角函数符号的影响．
【变式9-1】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1），，
，，则．
（2）原式．
【变式9-2】已知
(1)化简
(2)若，且，求的值.
(3)若是第三象限角，且，求的值.
【解析】（1）依题意，.
（2）由（1）知，，而，所以或.
（3）由，得，
由是第三象限角，得，
所以.
【变式9-3】在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中.
(1)求的值；
(2)记点的横坐标为，若，求的值.
【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，
所以，
所以
；
（2）由（1）可知，且为锐角，可得，
根据三角函数定义可得：，
因为，且，
因此，所以
所以
.
【变式9-4】在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.
(1)直接写出和的值，并求的值；
(2)求的值；
(3)将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.
【解析】（1）由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为，
则点的横坐标为，点的纵坐标为，因此；
.
（2）由（1）知，.
（3）依题意，点在角的终边上，且，由（1）知，
则点的横坐标为，
点的纵坐标为，
所以点的坐标为.
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
3．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
1．写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：
(1)；
(2)．
【解析】（1）根据题意可知，
所以与终边相同的角的集合为，
易知当时，；当时，；当时，；
所以适合不等式的元素有：，，；
（2）与终边相同的角的集合为，
易知当时，；当时，；当时，；
所以适合不等式的元素有：，，；
2．每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积.
（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为，求与的比值；
（2）要使与的比值为，则扇子的圆心角应为几度（精确到）？
【解析】（1）设半径为所对圆心角分别为，且.
（2）设扇子的圆心角为.由，得,则.
3．（1）时间经过（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由.
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间）
【解析】（1）因为时针按照顺时针方向旋转，故形成的角为负角，
经过4小时，时针转了，分针转了，分别等于弧度和弧度；
（2）分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了会和时针重合，并且是第此重合，则：
；
，；
最后一次相遇经过了；
此时，即时针和分针相遇22次；
重合24次的说法不正确．
4．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.
（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
（2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？
【解析】（1）相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，
当大轮转动一周时，
大轮转动了48个齿，
小轮转动周，
即．
．
（2）当大轮的转速为时，
．
小轮转速为，
小轮周上一点每转过的弧度数为：．
小轮的半径为，
小轮周上一点每转过的弧长为：．
5．化简，其中为第二象限角.
【解析】为第二象限角,
∴
6．（1）分别计算和的值，你有什么发现？
（2）任取一个的值，分别计算，你又有什么发现？
（3）证明：.
【解析】（1）根据特殊角三角函数值计算可知
所以
（2）取
则
所以.
（3）证明:
所以.
易错点：不能理解三角函数的定义
易错分析： 利用定义求任意角的三角函数时，要根据条件选择不同的解法，看所给的条件是终边与单位圆的交点还是终边上的任意一点.
【易错题1】（2024·山东青岛·一模）已知角终边上有一点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为
即
所以
所以
故选：D.
【易错题2】（多选题）若角的终边上有一点，且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由三角函数的定义可知，，
，
又，则，
解得或，
故选：CD．
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