二次函数的图象与系数的关系中考复习专题训练
一、选择题
1．（2024九上·荔湾月考）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则，其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．1个 C．3个 D．2个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
2．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线，x轴交于点，
∴，与x轴另一个交点为，
∴，当时，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
即，故②不正确，不符合题意；
③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意；
④由图可知，顶点在第二象限，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，，
∴，
当时，对应x的值在左侧，右侧，
∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有①④⑤，
故答案为：D．
【分析】根据图像得到，即可判断①；得到对称轴为，求出与x轴另一个交点坐标为，即可得到，代入可得，即可判断②；根据函数得增减性判断③；根据顶点在第二象限，即可得到判断④；先得到二次函数解析式为，利用函数图象判断⑤．
3．（2024九上·吴兴月考）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
4．（2024九上·重庆市期中）二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
5．（2024九上·京山期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，两点，，下列结论：①；②；③；④（为任意实数），正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
6．（2024九上·丹江口期中）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
7．（2024九上·剑阁期中）二次函数的图象如图所示．对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
8．（2024九上·泸县期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
9．（2024九上·杭州期中）二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
10．（2024九上·云南期末）如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
二、填空题
11．（2024九上·岳阳期中）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有
【答案】个
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
12．（2024九上·前郭尔罗斯月考）抛物线（）的图像如图所示，抛物线经过点，则下列结论：①；②；③；④（为一切实数）；⑤．正确的是 （填写序号）．
【答案】①⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
13．（2024九上·泸县期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间(包含端点)，则下列结论∶①当时，；②；③；④中，正确的是 ．
【答案】①③
【知识点】二次函数图象与系数的关系
14．（2024九上·杭州期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：
①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
15．（2024九上·泸州期中）如图：已知二次函数过，对称轴为直线．并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间；①；②；③的最大值为3；④对于任意实数t，一定有．上述结论正确的是 （填序号）
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
16．（2024九上·德阳期中）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
17．（2024九上·北京市月考）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
18．（2024九上·广州期中）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号是 （填写正确的序号）．
【答案】②③⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
19．（2024九上·贵州期中）如图，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则．其中，结论正确的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
20．（2024九上·杭州期中）二次函数是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）.其中正确的是 .（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：
由所给图形可知
所以
故①正确.
因为抛物线的对称轴为直线
所以
即
因为当 时，函数值小于零，所以 即 整理得，
故②错误.
方程 的根可看成抛物线 与直线 图象交点的横坐标，显然抛物线 与直线 有两个不同的交点，
所以方程 有两个不相等的实数根.
故③正确.
因为抛物线的对称轴为直线 且开口向下，所以当 时，函数取得最大值则对于抛物线上的任意一点 (横坐标为m)，其函数值不大于
所以
即 故④正确.
故答案为： ①③④.
【分析】根据所给二次函数的图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性、增减性以及二次函数与一元二次方程之间的关系，对所给说法依次进行判断即可.
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一、选择题
1．（2024九上·荔湾月考）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则，其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．1个 C．3个 D．2个
2．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（ ）
A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤
3．（2024九上·吴兴月考）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·重庆市期中）二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·京山期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，两点，，下列结论：①；②；③；④（为任意实数），正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024九上·丹江口期中）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024九上·剑阁期中）二次函数的图象如图所示．对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024九上·泸县期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·杭州期中）二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·云南期末）如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（2024九上·岳阳期中）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有
12．（2024九上·前郭尔罗斯月考）抛物线（）的图像如图所示，抛物线经过点，则下列结论：①；②；③；④（为一切实数）；⑤．正确的是 （填写序号）．
13．（2024九上·泸县期中）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间(包含端点)，则下列结论∶①当时，；②；③；④中，正确的是 ．
14．（2024九上·杭州期中）二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：
①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号）
15．（2024九上·泸州期中）如图：已知二次函数过，对称轴为直线．并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间；①；②；③的最大值为3；④对于任意实数t，一定有．上述结论正确的是 （填序号）
16．（2024九上·德阳期中）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有 ．
17．（2024九上·北京市月考）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的有 ．
18．（2024九上·广州期中）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号是 （填写正确的序号）．
19．（2024九上·贵州期中）如图，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则．其中，结论正确的序号是 ．
20．（2024九上·杭州期中）二次函数是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）.其中正确的是 .（填写序号）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵对称轴为直线，x轴交于点，
∴，与x轴另一个交点为，
∴，当时，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
即，故②不正确，不符合题意；
③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意；
④由图可知，顶点在第二象限，
∴，
∴，故④正确，符合题意；
⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，，
∴，
当时，对应x的值在左侧，右侧，
∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意；
综上：正确的有①④⑤，
故答案为：D．
【分析】根据图像得到，即可判断①；得到对称轴为，求出与x轴另一个交点坐标为，即可得到，代入可得，即可判断②；根据函数得增减性判断③；根据顶点在第二象限，即可得到判断④；先得到二次函数解析式为，利用函数图象判断⑤．
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
11．【答案】个
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
12．【答案】①⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
13．【答案】①③
【知识点】二次函数图象与系数的关系
14．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
15．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
17．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
18．【答案】②③⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
19．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
20．【答案】①③④
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：
由所给图形可知
所以
故①正确.
因为抛物线的对称轴为直线
所以
即
因为当 时，函数值小于零，所以 即 整理得，
故②错误.
方程 的根可看成抛物线 与直线 图象交点的横坐标，显然抛物线 与直线 有两个不同的交点，
所以方程 有两个不相等的实数根.
故③正确.
因为抛物线的对称轴为直线 且开口向下，所以当 时，函数取得最大值则对于抛物线上的任意一点 (横坐标为m)，其函数值不大于
所以
即 故④正确.
故答案为： ①③④.
【分析】根据所给二次函数的图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性、增减性以及二次函数与一元二次方程之间的关系，对所给说法依次进行判断即可.
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