2025年中考数学专项复习-函数压轴题专项突破4 二次函数中的面积问题 课件（共46张PPT）

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函数压轴题专项突破
中考压轴题专项突破
培优专项
二次函数中的面积问题
2025年中考数学一轮复习
例 如图，二次函数的图象与 轴交于
点,,顶点为,点在抛物线上（不与, 重
合）,连接,, .
（1）二次函数的解析式为_____________,直线 的解
析式为__________；
（2）若的面积为,则点 的坐标为____________
_____.
或
提分特训
1.[2024福建中考] 如图，已知二次函数 的
图象与轴交于,两点，与轴交于点,其中 ,
.
（1）求二次函数的表达式；
[答案] 将,分别代入,得
解得
故二次函数的表达式为 .
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交 轴于点
,的面积是的面积的2倍，求点 的坐标.
[答案] 设, 点在第二象限，, .
依题意，得，即， .
, .
由,解得, （舍去）,
点的坐标为 .
2.如图，抛物线与轴交于, 两点,
与轴交于点,其中, .
（1）求抛物线的解析式;
[答案] 将,分别代入 ，得
解得
抛物线的解析式为 .
（2）点在第二象限的抛物线上,当的面积最大时，求边上的高
的长.
[答案] 令,则 ，
解得,， ，
如图，连接,设, ，
.
， 当时,有最大值,最大值为 .
， ，
.
3.如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点 ,连接
,，点为抛物线上一动点,若,求点 的坐标.
[答案] 如图，过点作,交抛物线于点,交 轴
于点,则 .
在中,当时, ，
.
又 ，
直线的解析式为 .
,
设直线的解析式为 .
直线过点 ，
直线的解析式为 ，
.
联立，得解得或
.
把直线向上平移4个单位长度得到直线 ，并与抛物线
分别交于点,,由，可知，点, 符合题意.
联立，得
解得或
, ，
综上所述，点的坐标为， 或
.
4.如图，抛物线与 轴交
于，两点，与轴交于点，点
在抛物线上，点 是抛物线在第四象限内的一个动
点，过点作轴交直线于点，连接 ,
,，设点的横坐标为 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
[答案] 把，分别代入 ，
得
解得
抛物线的函数表达式为 .
（2）求四边形面积的最大值及此时点 的坐标.
[答案] ，解得, ,
点的坐标为 .
设直线的表达式为，把， 分别代入,
得解得
直线的表达式为 .
点是抛物线在第四象限内的一个动点，轴交直线于点 ，
设, ,
设交轴与点 .
.
易知 ,
,
.
,
当时, 有最大值，
.
此时 .
图（1）
5.如图（1），抛物线与轴交于点
和点（点在原点的左侧,点 在原点的右侧）,且
.在轴上有一动点,过点
作直线轴,交抛物线于点 .
（1）求点 的坐标及抛物线的表达式;
[答案] 易知抛物线的对称轴为直线 ，
， .
将代入，得 ，
，
抛物线的表达式为 .
（2）如图（2）,连接,若 ,求此时点 的坐标;
图（2）
[答案] 由题意,设点的坐标为 ,
则 .
, .
,
,
（舍去）或 ,
.
图（3）
（3）如图（3）,连接并延长交轴于点,连接 ,
记的面积为,的面积为,若 ,求
此时点 的坐标.
[答案] 由题意,设点的坐标为 .
设直线的表达式为 ,
则解得
故直线的表达式为 ,
当时, ,
故点的坐标为,则, .
,
,
,
,
,即 或
.
当时，解得 ，不合题意，舍去；
当时，解得, （舍去）.
综上所述，此时点的坐标为 .
6.抛物线与轴交于点,,与 轴交于
点 .
（1）求抛物线的表达式及顶点 的坐标.
[答案] 把,代入 ，
得解得
抛物线的表达式为 .
，
顶点的坐标为 .
（2）点为轴左侧抛物线上一点,以点为顶点且形状大小与抛物线 相同
的抛物线交轴于点,连接，,，是否存在点 ,使得
若存在,请求出点的坐标,并说明抛物线是抛物线 如何
进行图形变换得到的；若不存在，请说明理由.
[答案] 存在.
, .
将代入，得 ,
,即 ,
,
或 .
设 .
①当抛物线开口向下时，则 .
.将代入 ，
整理得 ,
解得（舍去）或 .
当时， ，
，
，由 先向左平移3个单位长度，
再向下平移9个单位长度得到.
.将代入 ，
整理得， ，
此方程无解，这种情况不存在.
②当抛物线开口向上时，则 .
.将代入 ，
整理得,解得 ,
当时， ，
，
，由关于 轴对称后，先向左平移7个单位长度，
再向下平移41个单位长度得到.
.将代入 ，
整理得,解得 （不合题意，舍去）.
综上，，由 先向左平移3个单位长度，再向下平移9个单位长度
得到；，由关于 轴对称后，先向左平移7个单位长度，再向
下平移41个单位长度得到.
7.如图，在平面直角坐标系中，直线
与抛物线交于， 两
点，点在轴上，点的纵坐标为5，点 是直
线下方的抛物线上的一动点（不与点，
重合），过点作轴的垂线交直线于点 ，
作于点 .
（1）求抛物线的解析式.
[答案] 在中，当时，,当时， ,
， .
将,分别代入 中，
得解得
抛物线的解析式为 .
（2）设点的横坐标为 .
①用含的代数式表示线段的长，并求出线段 长的最大值.
[答案] 如图，设直线交轴于点，则点 ，
，
.
易得 轴，
，
.
点的横坐标为， 轴，
， ，
，
.
， ，
当时，取得最大值，且最大值为 .
②连接，线段把分成两个三角形，是否存在 的值，使这两个
三角形的面积比为 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
[答案] 如图，过点作于点，
过点作，交 的延长线
于点 ，
由①可知， ， ，
在 中，
当时，解得 ；
当时，解得 .
综上，满足题意的 的值为0或3.
.
又 ，
，
8.已知二次函数的图象经过，两点，其中 ，
，为常数，且 .
（1）求， 的值.
[答案] 二次函数的图象经过点 ，
，
由题意知点，关于抛物线的对称轴（直线 ）对称，
.
，
.
（2）若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点，
（点在点的左侧），与轴交于点 .
①求该二次函数的解析式，并直接写出点， 的坐标.
[答案] ， ，
，
，解得 .
，， ，
，
该二次函数的解析式为 .
， .
②如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点，过点作 轴的垂线，
垂足为，与直线交于点，连接，，.在点右侧是否存在点 ，
使？若存在，求此时点 的横坐标；若不存在，请说明理由.
[答案] 设直线的解析式为 ，
将， 分别代入，
得解得
直线的解析式为 .
如图，过点作于点 .
设，则， ，
则， ,
.
，， ，
.
，
，整理，得 ,
解得，，且满足 .
点的横坐标为或 .