2025年中考数学专项复习-函数压轴题专项突破7 二次函数中的最值问题 课件（共29张PPT）

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函数压轴题专项突破
中考压轴题专项突破
培优专项
二次函数中的最值问题
2025年中考数学一轮复习
例1 如图，抛物线与轴交于， 两
点，与轴交于点,直线经过点，交 轴于点
,且与抛物线交于另一点，点是直线 上方的抛物
线上的一动点，连接，，设点的横坐标为 .
（1）点的坐标为______,点 的坐标为_________.
（2） 面积的最大值为____.
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解题通法
二次函数中求面积的最值的方法
①找点.找出所求图形的顶点，其中动点的横、纵坐标用含未知数的代数式表
示出来.
②求线段长.根据点的坐标求出该图形中关键线段的长度，如三角形中，需求
出底和该底上的高或“铅垂高”和“水平宽”.
③列式.利用面积公式求出图形的面积与未知数之间的函数关系式.
④解决问题.可利用二次函数的图象与性质求解.
例2 如图,抛物线与轴交于,两点,与
轴交于点.点与点关于轴对称,直线交抛物线于另一点 .
（1）求抛物线的函数表达式,并直接写出直线 的函数表达式.
[答案] 将,分别代入 ,
得
解得
抛物线的函数表达式为 .
直线的函数表达式为 .
（2）是直线下方抛物线上的一点,过点作直线的垂线,垂足为.设点
的横坐标为,试探究当为何值时,线段的长取最大值，请求出 的最大值.
[答案] 如图,过点作轴的平行线,交于点 ,
.
, ,
, ,
,
.
,
在中， ,
,
当取最大值时， 取得最大值.
易知, .
.
,
当时，取得最大值，最大值为 ，
的最大值为 .
解题通法
二次函数中求线段长的最值常用的方法
①设出未知数（通常是一个与所求线段关系紧密的点的横坐标）,通过题目中
的函数关系，用未知数表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，
利用二次函数的性质求最值，从而得到线段长的最大值或最小值;
②在求线段的和最小值或差最大值的时候可以利用轴对称模型，此类问题一
般要寻找一个动点，使其到两个定点的距离和最小或差最大，通常是作一个
定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段的长
即为所求的最值.
提分特训
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与 轴交于
，两点，与轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式.
[答案] 抛物线与轴交于， 两点，故抛物
线的解析式可转化为 ．
将代入，得，解得 ，
抛物线的解析式为 ，
即 ．
（2）为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接 ，记
的面积为，的面积为，求 的最大值.
[答案] 如图，过点作轴于点，交于点 ，
过点作轴交的延长线于点 ，
，
，
，
.
设直线的解析式为，将点， 的坐标
分别代入，得解得
直线的解析式为 .
，
，
.
设，其中,则 ，
．
.
当时，有最大值，最大值是 ．
2.如图,点的坐标为,抛物线过点,点 为第四
象限内抛物线上一点,其纵坐标为, .
（1）求抛物线 的表达式;
[答案] 过点作轴于点 ,
点的纵坐标为， ,
又， ，
,
.
把，分别代入 ，
得解得
抛物线的表达式为 .
（2）点为直线下方的抛物线上一动点,过点作轴交直线 于
点.设点的横坐标为,当取最大值时,求 的值.
[答案] 设直线的表达式为 ,
把，分别代入 ,
得解得
直线的表达式为 .
点在抛物线上，点的横坐标为 ，
.
令，则 ，
,
，
取最大值时， .
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点 ,与
轴交于点,与轴交于,两点（点在点的左侧）,连接, ,
.
（1）求抛物线的表达式.
[答案] 抛物线与轴交于点 ，
， .
，
， .
将点和的坐标分别代入 ，
得解得
抛物线的表达式为 .
（2）点是射线上方抛物线上的一动点,过点作轴,垂足为,交
于点，点是线段上一动点,轴,垂足为,点为线段 的中点,连
接,.当线段的长度取得最大值时,求 的最小值.
[答案] 当时，或 ，
，
直线的表达式为 .
设，则 ，
.
，
当时，线段 的长度取得最大值，
此时 .
轴， 轴，
， .
连接，则四边形 是平行四边形，
，
，
当，，三点共线时， 取得最小
值，如图.
点为线段 的中点，
.
过点作，垂足为，则， ，
，
，
的最小值为 .
4.如图（1）,在平面直角坐标系中,抛物线 的对称轴为直
线,且与轴相交于点 .
图（1）
（1）求抛物线 的表达式.
[答案] 抛物线的对称轴为直线 ,
, ,
图象与轴相交于点, ,
抛物线的表达式为 .
图（2）
（2）如图（2）,点,在轴上（在 的右侧）,且
,,过点,分别作 轴的垂线
交抛物线于点,，连接,,,并延长交 于
点 .
①求的长（用含 的代数式表示）;
[答案] 由（1）得 ,
则, ,
设过点,的直线表达式为 ,
则 ,
,
, ,
解得 ,
过点,的直线表达式为 ,
,
.
图（2）
②若的面积记作,的面积记作,记,则 是否有最大
值,若有,请求出,若没有,请说明理由.
[答案] 有最大值.
,
, ,
当时，最大, .