2025年中考数学专项复习-函数压轴题专项突破8 二次函数中的定值问题 课件（共30张PPT）

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函数压轴题专项突破
中考压轴题专项突破
培优专项
二次函数中的定值问题
2025年中考数学一轮复习
例 如图，二次函数的图象与轴交于 ，
两点， 为顶点.
（1）请求出二次函数的表达式及点 的坐标.
[答案] 将，分别代入 ，
得
解得
二次函数的表达式为 .
，
点的坐标为 .
（2）若点为抛物线对称轴左侧一点，过点作轴的平行线交对称轴于点 .
连接，过点作交抛物线于点，过点作 轴的平行线交对称轴
于点，求证： 的值为定值.
证明：轴，轴， 轴，
, ，
，
.
，
，
，
，
，
.
设，则 ，
，
.
设，, ,
,
,
，即 ,
的值为定值.
提分特训
1. 过原点的抛物线 与
轴的另一个交点为 ,且抛物线的对称轴为直线
,顶点为 .
（1）求抛物线的解析式；
[答案] 抛物线过原点,对称轴为直线 ,
， .
将代入 ,
得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 .
（2）如图,设直线与抛物线交于,两点,点 关于直线
的对称点为,直线与直线交于点,求证: 的长为定值.
证明:, .
把代入 ,
整理,得 .
设, ，
则, .
点关于直线的对称点为 ，
.
设直线的解析式为 ,
将点, 的坐标分别代入,
得解得
直线的解析式为 .
当时, ，
，
，即 的长为定值.
图（1）
2.如图（1），抛物线
与轴交于,两点,与轴交于点 .
（1）求抛物线的解析式.
[答案] 抛物线与轴交于， 两点，
解得
故抛物线的解析式为
（2）点在抛物线上且位于轴右侧,点在轴上,以点，,, 为顶点的四
边形为平行四边形,求点 的坐标.
[答案] ，，， .
点在轴右侧， .
对平行四边形进行分类讨论：
①当是对角线时， ，
.
令 ,
解得， （舍去）.
②当是对角线时， ，
.
令 ,
解得， （舍去）.
③当是对角线时， ，
.
令 ,
解得， （舍去）.
综上所述，或 ，
点的坐标为或， .
图（2）
（3）如图（2）,抛物线顶点为,对称轴与 轴交
于点,过点的直线（直线 除外）与抛
物线交于,两点,直线,分别交轴于点 ,
.求证： 的值为定值.
证明：如图.
直线经过 ，
可设直线的解析式为 ，
， 在抛物线上，
可设 ，
，, ,
令 ，
整理得 ，
可得， ，
对于，当时， ，
.
设直线的解析式为 ，则有
解得
直线的解析式为 ，
令，解得 ，
，
.
同理可求： ，
.
当与对调位置后，同理可求 .
故 的值为定值16．
3.如图,二次函数的图象经过点 ,顶点为原点.
（1）求二次函数的解析式.
[答案] 抛物线的顶点为原点， .
将代入，得 .
.
（2）已知,轴上一点,一次函数 的图象与抛物线
有且只有一个交点,过点作直线的垂线,交直线于点,交直线 于点
,直线交轴于点 .
①求点的坐标（用含 的代数式表示）;
[答案] 令,整理，得 .
一次函数的图象与抛物线 有且只有一个交点，
, ，
.
令,解得, .
②若直线交轴于点，轴,垂足为,求证： 的值为定
值.
证明：如图.令 ，解得
,
.
设直线的解析式为 .
将，代入，得
解得 .
令,解得 ，
， .
, 直线的解析式为 .
令，解得 ,
,
.
的值为定值.
4.如图,抛物线经过 的三个顶点,其
中为原点,,,点在线段
上运动,点在直线 上方的抛物线上,
,于点,交于点,
平分,,于点 ,连
接 .
（1）求抛物线的解析式及 的面积.
[答案] 由题意可设抛物线的解析式为 .
将,分别代入,得
解得
抛物线的解析式为 .
.
（2）当点运动至抛物线的对称轴上时,求 的面积.
[答案] ,
抛物线的对称轴为直线 .
当点运动至抛物线对称轴上时,点 的横坐标为3,
易知 ,
.
图（1）
如图（1）,连接, ,
,, 点与点 关于原
点 对称,
,,三点共线,且为 的中点.
,
,
.
平分 ,
,
,
.
设与间的距离为,则点到的距离为 ,
, ,
,
当点运动至抛物线的对称轴上时, 的面积为3.
图（1）
（3）试探究 的值是否为定值 如果为定值,求出该定值;如果不为定值,请说
明理由.
图（2）
[答案] 是.
如图（2）,过点作于点 ,过点
作于点 .
由题意得,, ,
.
在中, ,
.
,
,即 为等
腰直角三角形.
设,则 .
易知,, ,
,
,即, ,
, ,
,
的值是定值,定值为 .
图（2）