2025年中考数学专项复习-函数压轴题专项突破9 二次函数中的定点、定直线问题 课件（共36张PPT）

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函数压轴题专项突破
中考压轴题专项突破
培优专项
二次函数中的定点、定直线问题
2025年中考数学一轮复习
例1 如图,抛物线的顶点为 ,直线
与抛物线交于，两点（点在点 的
左侧）,过点且与轴平行的直线与直线相交于点 ,
判断点 是否在一条定直线上，如果是，请求出该直线的
解析式；如果不是，请说明理由.
[答案] ,
设点, ,
由 ,
得 ,
, ,
由,,可得直线 的解析式为
,
当时, .
, ,
,
点恒在直线 上.
例2 如图，已知抛物线 与
轴交于,两点，顶点为，与 轴
交于点，且 的面积为6．
（1）求抛物线的对称轴和解析式；
[答案] ,
抛物线的对称轴为直线 .
把代入 ，
得 ，
，
．
令，得 ，
，
或 ，
，， ．
的面积为6，
，
，
.
把代入，得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 .
（2）若过定点的直线交抛物线于,两点（点在点 右侧），过点
的直线与抛物线交于点，求证：直线 必过定点．
证明：设， .
设直线的解析式为 ，
解得
直线的解析式为 .
直线过定点 ，
，
．
直线过 ，
，
，
，
令 ，
解得或 ，
．
设直线的解析式为，把 ，
分别代入 ，
得
解得
直线的解析式为 .
，
直线的解析式为 ，
当时， ，
直线必过定点 ．
提分特训
1.已知抛物线与轴交于点,对称轴是直线 .直线
与抛物线交于,两点（点在点的左侧），点是直线 下方
抛物线上的一个动点，点 在抛物线对称轴上.
（1）求抛物线的表达式；
[答案] 将代入 ，
可得 ．
对称轴是直线 ，
，
，
抛物线的表达式是 ．
（2）求证：当四边形是平行四边形时，不论为何值，点 的坐标不变.
证明： 直线与抛物线交于， 两点，
,
整理，得 ，
．
如图，连接，交于点 ．
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
．
点在抛物线 上，
,
点的坐标为 ,
即不论为何值，点 的坐标不变．
2.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两
点关于轴对称，则把该函数称为“函数”，其图象上关于 轴对称的不同两
点叫做一对“ 点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）关于的函数（，是常数）是“ 函数”吗？如果是，指出
它有多少对“ 点”；如果不是，请说明理由.
[答案] 当时，有 ，
此时图象上存在关于 轴对称的点，
时，是“函数”，且有无数对“ 点”.
当时，假设图象上存在关于 轴对称的点，
设其中一点为，则其关于轴的对称点为 ，
，
，与 矛盾，
不存在，
时，不是“ 函数”.
（注：“是”与“不是”“ 函数”，要辩证地去看待，不同条件会有不同的结论）
（2）若关于的“函数”（，且，， 是常数）的图
象经过坐标原点，且与直线（，，且， 是常
数）交于，两点，当，满足 时，
直线 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，
请说明理由．
[答案] 直线总经过定点 .
函数的图象过原点， .
是“函数”，， .
联立直线和抛物线的表达式，得
整理，得 ，
则， .
由 ，
化简，得 ，
， ，
，
当时， ，
直线总经过定点 ．
3.[2024漳州质检] 在平面直角坐标系中,点 在抛物线
上.
（1）求抛物线 的对称轴.
[答案] 点在抛物线 上，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线 .
（2）若 ,
①不管取任何实数,抛物线上的三个点,, 中至
少有两个点在轴的上方,求 的取值范围.
[答案] 当时，抛物线 .
根据无论取任何实数，三个点中至少有两个点在 轴的上方，可分以下
两种情况进行讨论.
.当抛物线与 轴没有交点或只有一个交点时，符合题意．
此时 ，
，
．
.当抛物线与轴有两个不同的交点时， ．
设两个交点的横坐标分别为， ，
当时，，，中至少有两个点在 轴
的上方，
， .
， ，
， .
综上所述，的取值范围是 .
②平移抛物线得到抛物线,过点,且其顶点为,过点 作直线
（不与直线重合）交抛物线于,两点（点在点 左侧）,直线
与直线交于点.求证:点 在一条定直线上.
证明：由平移抛物线得到抛物线，抛物线的顶点为原点 可知抛物
线 ，
抛物线经过点，，， 抛物线 .
设，，直线的解析式为 ，
解得
直线的解析式为 ．
直线经过点 ，
．
同理，直线的解析式为，直线的解析式为 ．
直线与相交于点 ，如图，
．
联立得解得
，, ．
，
点在定直线 上．
4.[2024成都中考] 如图,在平面直角坐标系 中,抛物线
与轴交于,两点（点在点 的左侧）,其顶
点为, 是抛物线第四象限上一点.
备用图
（1）求线段 的长.
[答案] 令，得 ，
解得， ，
， ，
.
（2）当时,若的面积与的面积相等,求 的值.
[答案] 当时， .
.
如图，过点作轴于点 .
设 ，
则直线的解析式为 ，
.
过点作轴交于点，则 ,
.
，
，
，
解得（舍去）， ，
， .
（3）延长交轴于点,当时,将沿 方向平移得到
.将抛物线平移得到抛物线，使得点,都落在抛物线 上.试判断
抛物线与 是否交于某个定点.若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
[答案] 抛物线与抛物线 交于某个定点.
设 .
点在轴上，且， .
将沿方向平移得到,且点,在抛物线 上，
易知抛物线与的平移方式相同，即将抛物线向右平移 个
单位长度，向上平移个单位长度，得到抛物线 ,
抛物线的解析式为 .
令 ，其中
，
整理，得 ，
又, ,
,
，
.
故抛物线与交于定点 .