2025年中考数学专项复习-几何压轴题专项突破13 三点共线问题 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
几何压轴题专项突破
中考压轴题专项突破
三点共线问题
2025年中考数学一轮复习
方法一 方法二 方法三 方法四 方法五
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若 ，则 ，， 三点共线. 直线 交 线段 于 点 ，若 ， 则点 ， 重 合，即 ，， 三点共线. 若 ， ，则 ，， 三点 共线. 若 ， ，则 ， ， 三点 共线. 若 平分 ， 平分 ，则 ，， 三点共线. 点, 在 直线 同 侧，若 ，则 ，， 三点共线. 若，
则， ， 三点共线.
类型1 几何中的三点共线问题
1.[2024泉州质检节选] 如图，点,分别为的边, 上的点，作
关于的轴对称图形，延长交于点，延长至点 ，
使得，连接 .
（1）若 ，求证：平分 ；
证明：与关于 对称，
， .
在和中，
,
，
平分 .
（2）在（1）的条件下，取的中点，求证：,, 三点共线.
图（1）
[答案] 证法一：如图（1），连接, .
由（1）证得 ，
， ，
.
设 ，
， ，
.
在中，是 的中点，
，
，
.
，
，
,, 三点共线.
图（1）
图（2）
证法二：如图（2），连接,, .
，为 的中点，
， .
由（1）知 ，
点,在以 为直径的圆上，
.
同理可得 .
由（1）知 ，
，
.
在中， ，
，
,, 三点共线.
图（2）
2.如图，在中， ，，，将绕点 按顺
时针方向旋转得到，当点恰好落在线段上时，连接， 的
平分线交于点，连接 ．
（1）求 的长；
[答案] ，， ，
.
将绕点按顺时针方向旋转得到 ，
，，， ，
， ，
.
平分， ，
，
在中， .
（2）求证：，， 三点共线．
证明：如图，连接 ，
由（1）知， ，
.
平分，且 ，
， .
又 ，
，
，
，
.
，
.
，
，
，
，
，， 三点共线．
3.在中，是的平分线，过点 作
，在上截取，过作 ，
垂足为 ．
（1）补全图形；（尺规作图，并在图中标出相应字母，保留作图痕迹，不
写作法）
[答案] 补全图形如图（1）所示.
图（1）
（2）连接，求证：，， 三点共线．
图（2）
证明：如图（2），延长交于点 ．
，
.
平分 ，
，
.
，
，
点， 重合，
，， 三点共线．
4.如图，是矩形 的对角线．
（1）尺规作图：作绕点顺时针旋转一定角度得到的，点 的对
应点，点的对应点在 的延长线上；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
[答案] 如图（1）， 即为所求.
图（1）
（2）在（1）的条件下，求证：，， 三点共线．
证明：如图（2），连接，， ．
图（2）
四边形 是矩形，
，， ，
.
由旋转知，， ，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
.
，
，，， 四点共圆，
，
，
，， 三点共线．
图（2）
5.如图，在等边三角形中，为 边上一
点（点不与点，重合），连接，将
沿平移得到（其中点和点 对应），连
接．将绕点逆时针旋转至 ，
其中，分别是， 的对应点．
（1）用无刻度的直尺和圆规作 ；（保留作图痕迹，不写作法）
[答案] 如图， 即为所求.
（2）求证：，， 三点共线．
证明：如图，连接， .
为等边三角形，
.
由平移得，， ，
四边形 为平行四边形，
，
.
由旋转得， ，
，
为等边三角形，
，
，， 三点共线．
6.已知两直线交于点，，，是其中一条直线上的三个点，，， 是
另一条直线上的三个点，且，．求证： ，
， 三线共点．
证明：如图，连接，．设和交于点 ．
在中，， ，
.
在中，， ，
为 的中点.
在中，， ，
为 的重心，
即过点 ．
，， 三线共点．
7.四边形的对角线，点，分别是，的中点，过点 作
于点，过点作于点，求证：，， 三直线交于
一点．
证明：如图，取的中点，连接，， .
点，分别为， 的中点，
为 的中位线，
.
，
垂直直线 .
同理可得，是的中位线，直线垂直于，是 的中
位线， ，
的三条高分别在直线，，上，直线，， 的交点
为 的垂心，
直线，， 交于一点．
类型2 代数中的三点共线问题
代数中三点共线问 题的证明思路 任选两点确定一条直线，利用待定系数法求出该直线的
解析式，将第三个点坐标代入，若满足解析式，则三点
共线.
8.[2023福建中考节选] 已知抛物线交轴于，
两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与， 重合的相异两点，记
的中点为，直线，的交点为 .
（1）求抛物线的函数表达式;
[答案] 因为抛物线经过点， ，
所以解得
所以抛物线的函数表达式为 .
（2）若，，且，求证：，， 三点共线.
证明：设直线的函数表达式为 ，
因为为的中点，所以 .
又因为，所以解得
所以直线的函数表达式为 .
因为点在抛物线上，所以，解得或 .
又因为，所以，所以 .
因为，即满足直线 的函数表达式，
所以点在直线上，即，， 三点共线.
9.如图，在平面直角坐标系中，点为原点，函数 与函数
的图象交于点，．已知，点的横坐标是 ，
点的纵坐标是 ．
（1）求， 的值.
[答案] 对于，当时， ，
点的坐标为 .
点在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的表达式为 .
对于，当时， ，
点的坐标为 ，
将代入，得 ,
解得 ，
， .
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第一象限交于点;过点
作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第三象限交于点．求证：，，
三点共线．
证明：由题易得，， ，
如图，作直线 .
设直线的表达式为 ，
将， 分别代入，
得解得
直线的表达式为 .
对于，当时， ，
坐标原点在直线上，即，， 三点共线．
10.直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是 ．把这张
纸片按图（1）所示剪成四张小纸片，其中两张是三角形，另外两张是梯
形．把剪出的四张小纸片按图（2）所示重新拼合，这样就得到了一个
的长方形，面积是，比剪之前多了 .
小明给出如下证明：如图（2），可知________， ___
_____．
， .
， ，
，
，， 三点不共线，
同理，， 三点不共线，
拼合的长方形内部有空隙，故面积多了 ．
图（1）
图（2）
（1）将小明的证明补充完整；
[答案] ;
（2）小红给出的证明思路为：以点为原点，所在的直线为 轴，建立平
面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明．
证明：以为原点，所在的直线为轴， 所在的
直线为轴建立平面直角坐标系，延长交 于点
，如图所示.
依题意得拼接的四边形 为矩形，
则四边形，四边形 都是矩形，
，， ,
,
， ，
，，， ，
连接，设直线的表达式为 ，
将， 分别代入，
得解得
直线的表达式为 .
对于，当时， ，
点不在直线 上，
，， 三点不共线.
对于，当时， ，
点不在直线 上，
，， 三点不共线.
拼合的长方形内部有空隙，故面积多了 ．