2025年中考数学专项复习-几何压轴题专项突破16 圆综合题 课件（共49张PPT）

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几何压轴题专项突破
中考压轴题专项突破
圆综合题
2025年中考数学一轮复习
1.如图，已知是的直径，弦于点，是上的一点， ，
的延长线交于点，连接,, ．
（1）若 ，求 的度数.
[答案] ，
.
又 ，
.
是的直径，弦于点 ，
，
.
（2）若点是 的中点．
①写出与 的数量关系并证明你的结论；
[答案] .
证明：由（1）知， .
又 ，
，
.
点是 的中点，
，
，
.
由（1）得， ，
，
.
②若，，求的长（用含， 的代数式表示）．
[答案] 点是 的中点，
.
由①知，， ，
,
即 ,
，
，
，
,
.
2.如图，是四边形的外接圆，，连接，过点作 的
平行线交于点，交的延长线于点，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
证明： ，
.
， ，
，
，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
（2）已知 ， .
①用含的代数式表示 的长.
[答案] 如图（1），连接 ．
图（1）
，, ，
， .
，
.
，
，
图（1）
②点，分别在线段，上，且．当与 相似时，
求 的值．
[答案] 四边形是平行四边形， .
又, .
令，则， ．
由 可知，分以下两种情况讨论.
如图（2），当时， ，
图（2）
，
，
, ，
．
图（2）
如图（3），当时， ，
图（3）
,
．
, ，
.
综上所述，的值为 或4．
图（3）
3.如图，为的弦，点在上，平分，过点作 于
点，交于点，连接 ．
（1）求 的值；
图（1）
[答案] 如图（1），过点作于点 ，
则 .
平分 ，
.
，
,
,
,
.
又 ,
四边形 为矩形，
，
.
图（1）
（2）求证： ；
[答案] 证法一：如图（1），连接 ．
，
.
平分 ，
,
,
.
由（1）知，, ,
.
图（1）
证法二：如图（1），连接 ．
由（1）知，四边形 为矩形，
，
.
， ，
.
又 ，
，
.
图（1）
，
，
，即 .
图（1）
（3）当时，判断 的形状，并说明理由．
[答案] 是等腰三角形.理由如下：
由（1）可知 .
又 ,
.
,
，
.
图（2）
如图（2），过点分别作，的垂线，垂足分别为， ．
图（2）
设，则 ，
，
,
.
, ,
.
又 ,
,
,即 ,
,
.
图（2）
， ，
.
又 ， ,
,
.
在中， ，
，
是等腰三角形．
图（2）
4.如图，在以线段为直径的上取一点，连接，，将 沿
翻折后得到 .
（1）试说明点在 上；
[答案] 如图，连接 ，
是 的直径，
.
由折叠的性质，得 .
又 ，
，
为 的半径，
即点在 上.
（2）在线段的延长线上取一点，使，求证：为 的
切线；
证明：由折叠的性质，可得 .
又 ，
，即 .
又 ，
，
，即 .
又是 的半径，
为 的切线.
（3）在（2）的条件下，分别延长线段，相交于点，若 ，
，求线段 的长.
[答案] 在中， ，， ，
.
由折叠的性质，可得 .
由（2）得，即 ，
，
.
， ，
，
.
设，，则， ，
,
， ,
.
5.如图，在的边上取一点，以为圆心，长为半径画 ，
与边相切于点，，连接交于点，连接 ，并延长
交线段于点 .
（1）求证：是 的切线;
证明:如图, 连接 ,
与边相切于点 ,
,即 .
在和中,
,
.
又是 的半径,
是 的切线.
（2）若，，求 的半径长;
[答案] 在中,, ，
， ,
.
在中, ,
,
解得 ,
的半径长为 .
（3）在（2）的条件下，若是的中点，求 的值.
[答案] 由（1）易得， .
是的中点, ,
,
.
,， .
,
,
,即 ,
,
.
6.如图，在中，是锐角，，，在射线 上取一
点，过点作于点，过，，三点作 ．
（1）当 时，
①如图（1），若与相切于点，连接，求 的长；
图（1）
[答案] ，即 ，点,,在 上，
是 的直径.
与相切于点 ，
．
， ，
，
根据勾股定理，得 .
图（1）
②如图（2），若经过点，求 的半径长．
图（2）
[答案] 如图（1），连接， .
图（1）
，
是的直径， .
四边形 是平行四边形，
，，， ，
， ， ，
，
.
根据勾股定理，得 ，
．
的半径长为 .
图（1）
（2）如图（3），已知与射线交于另一点，将沿 所在的直
线翻折，点的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时
的长．
图（3）
图（2）
[答案] 如图（2），过点作 交
的延长线于点，连接， ，记
与的交点为 .
由折叠知，， .
，
.
，
.
，
是 的直径，
，
，
.
，
.
，
，
．
为平行四边形 边上的高，
图（2）
.
又 ，
．
设，则， .
，
.
根据勾股定理，得，即 ，
解得 ，
．
图（2）