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几何压轴题专项突破
中考压轴题专项突破
动点问题
2025年中考数学一轮复习
例 如图,菱形的边长为4,点,分别是边, 上的动点,
,连接,交于点 .
(1)求证: ;
. .
. .
证明: ,
,
.
四边形 是菱形,
, ,
是等边三角形, ,
, ,
,
,
.
(2)求 周长的最小值.
[答案] 由(1)知 ,
.
菱形 的边长为4,
的周长 ,
当最小时, 的周长最小.
, ,
是等边三角形,
,即当最小时,的周长最小,为
点是边 上的动点,
当时, 最小.
在中,, ,
,
周长的最小值为 .
解题指导
(1)由题图结合联想到“手拉手”模型(详见培优专项12).
(2)求三角形周长的最小值时,通常需要转化成求线段和的最小值,三条
线段中,能利用等量代换转化到一条直线上的先进行转化,一般情况下,再
根据“垂线段最短”或“两点之间,线段最短”求最小值(详见培优专项15).
提分特训
1.如图(1),在中,,,,点在边 上
(不与点重合),以为一边作正方形,连接 .
图(1)
(1)如图(2),当时,求正方形 的边长;
图(2)
[答案] ,, ,
,
.
,
.
又 ,
,即正方形的边长为 .
图(2)
(2)当点在上运动时,求 面积的最大值.
[答案] 如图,过点作交的延长线于点 .
, ,
.
又 , ,
,
.
设,则 ,
,
当时, 的面积最大,最大值为8.
2.[2024南充中考节选] 如图,正方形的边长为 ,
点为对角线上一点,,点在 边上以
的速度由点向点运动,同时点在 边上以
的速度由点向点 运动,设运动时间为
.
(1)求证: ;
证明: 四边形 是正方形,
.
,,, ,
.
(2)当是直角三角形时,求 的值.
[答案] 如图,过点作于点,过点作于点 .
由题意知,,, ,
, ,
, ,
,
,
.
①当 时,有 ,
即 ,
整理得 .
解得, (不合题意,舍去).
②当 时,有 ,
即 ,
整理得,解得 .
③当 时,有 ,
即 ,
整理得 ,该方程无实数解.
综上所述,当是直角三角形时,的值为 或2.
3.[2024吉林中考] 如图,在 中,
, ,, 是
的角平分线.动点从点 出发,以
的速度沿折线向终点 运
动.过点作,交于点,以 为
边作等边三角形,且点,在 同侧,
(1)当点在线段上运动时,判断 的形状(不必证明),并直接
写出的长(用含 的代数式表示);
[答案] 是等腰三角形, .
设点的运动时间为,与 重合部分图形的面积为
.
(2)当点与点重合时,求 的值;
[答案] , ,
.
又是 的角平分线,
,
.
图(1)
当点与点 重合时,如图(1),
图(1)
此时 , ,
, .
由题意可知,当点在上时, ,
, .
(3)求关于的函数解析式,并写出自变量 的取值范围.
[答案] 当点在上时, ,
.
由(2)可知,当点在线段上时, ,
此时 .
图(2)
当时,如图(2),此时点在 的延长线上.
设与交于点,则 .
易知 ,
,
,
,
.
图(3)
当时,如图(3),此时点在 的延长
线上, .
, ,
, ,
,
,
,
,
.
综上所述,