2025年中考数学专项复习-几何压轴题专项突破18 图形变换问题 课件（共78张PPT）

(共78张PPT)
几何压轴题专项突破
中考压轴题专项突破
图形变换问题
2025年中考数学一轮复习
类型1 平移
1.如图（1）,中, ,为边上的中线,将 沿射线
的方向平移,得到,其中点,，的对应点分别为,, .
图（1）
（1）如图（2）,当线段经过点时,连接,,请判断四边形 的形状,
并说明理由.
图（2）
[答案] 四边形 是矩形.
理由如下: 平移得到 ,
,, ,
.
是中 边上的中线,
,
,
.
，
四边形 是平行四边形.
，
四边形 是矩形.
图（2）
（2）将图（2）中的绕点按逆时针方向旋转得到,其中点,
的对应点分别为,,线段,分别与边交于点, .如图（3）,当
时,试猜想线段和 的数量关系,并证明.
图（3）
[答案] .
证明：在题图（2）中， 平移得到 ，
，，， ，
.
由（1）可得， ，
，
.
在题图（3）中，旋转得到 ，
， .
，
图（3）
，
，
.
由（1）可知，四边形 是矩形，
.
，
，
,
.
图（3）
2.如图，是菱形的对角线，将沿射线平移得到 ，
其中交于点，点是的中点，直线交于点 .
（1）如图（1），当点在的延长线上时，线段与 的数量关系是
__________.
（2）如图（2），当点在线段上时，（1）中线段与 的数量关系
是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.
[答案] 成立.
证明： 四边形 是菱形，
，，， ，
.
由平移得，，， ，
，， ，
，四边形 是平行四边形，
， ，
.
点是的中点， ,
.
又 ，
.
又 ，
，
，
，
.
（3）如图（3），连接,若 ，，点是 的中点，求线
段 的长.
[答案] 由（2）可知 .
点是的中点， ,
.
在菱形中， ， .
过点作于点 ，如图，则
， ，
，
.
类型2 对称
3.如图，在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将 沿
折叠得到 ，并展开铺平．
（1）在图中，过点作，垂足为点，交于点 ;（要求：尺规作
图，保留痕迹，不写作法）
[答案] 如图（1）所示.
图（1）
（2）在（1）所作的图形中连接，猜想并证明与 之间的关系.
[答案] ， .
证明：如图（2）.
图（2）
四边形是矩形， .
由折叠知， ， ，
.
，
， ，
，
.
又 ，
，
图（2）
，
.
又 ，
四边形 是平行四边形，
， .
图（2）
4.[2024三明质检] 在中,点在上,将沿翻折得到 .
（1）如图（1）,的延长线与的交点为点.求证: .
图（1）
证明： 四边形 是平行四边形，
，
.
由折叠可得 ，
，
.
图（1）
（2）如图（2）,的延长线恰好经过点,若为的中点.求证: .
图（2）
[答案] 证法一：由（1）可得 .
由折叠可得， .
为 的中点，
，
，
，
，
，
.
图（2）
图（1）
证法二：如图（1）,连接,交于点 .
沿翻折得到 ,
, .
垂直平分 ,
为 的中点.
为 的中点,
.
四边形 是平行四边形,
.
由（1）可得 ,
,
，
为 的中点.
是 的中位线，
.
图（1）
（3）如图（3）,交于点,若, ,.求 的长.
图（3）
[答案] 如图（2）,连接, .
图（2）
四边形是平行四边形, ,
是菱形,
, .
,
是等边三角形, ,
, .
沿翻折得到 ,
,, ,
, ,
,
,
即 ,
.
图（2）
过点作,交延长线于点,则 .
, .
在中, ,
.
整理,得 ,
解得 .
图（2）
5.综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动.
【折叠实践】
第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边， 重合，再展开，
折痕与交于点 .
第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点 的对应点
为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点 的对应点落
在上,折痕与交于点 .
图（1）
图（2）
【初步发现】
（1）图（2）中和 的位置关系为_________.
[解析] 解法提示：， .
由折叠的性质，得， ，
， .
【深入探究】
（2）勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点 与点
重合，按步骤折叠后发现，点，,共线.请你帮他们求出 的值.
图（3）
图（1）
[答案] 设， .
如图（1），连接 ，
在和 中，
，， ，
， .
又， .
由（1）得， ，
， ，
,
.
在中， ，
，
，， .
图（1）
【拓展延伸】
（3）奋进小组的同学们选用了， 的矩形纸片，按步骤
进行多次折叠（选取不同位置的点），且第二步折叠中，折痕与 交于点
，把纸片展开后，连接 （图（4）是奋进小组的一次折叠样例）.请你解
决：当为直角三角形时，直接写出 的长.
图（4）
[答案] 的长为或 .
图（2）
[解析] 解法提示：分两种情况讨论.
①当 时，如图（2），此时 .
又 ， ,
四边形是正方形， .
图（3）
②当 时，如图（3），过点作 于
点 ，
则 .
在和 中，
，， ，
， .
又， ，
.
易证 ，
，即 ，
.
综上可知，的长为或 .
类型3 旋转
6.如图，已知和 都是等腰直角三角
形， ，, .将
绕点旋转，使得点落在 内部，连接
, .
（1）求证： ;
证明：和都是等腰直角三角形， ,
，
,即 ，
，即 ，
．
（2）当时，求 的值.
[答案] 如图，
当时， ，
又 ，
．
由（1）得 ，
，
，
即，， 三点共线．
在中， ，
， ，
，
．
7.[2024成都中考节选] 数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全
重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋
转的性质.已知三角形纸片和中,, ,
.
图（1）
（1）如图（1）,连接,,在纸片绕点
旋转的过程中,试探究 的值；
[答案] 由勾股定理，得
.
由旋转的性质，得 .
又 ，
， .
（2）如图（2）,在纸片绕点旋转的过程中,当点恰好落在 的中
线的延长线上时，延长交于点，求 的长.
图（2）
[答案] 如图，连接，延长交于点，延长 交
于点,连接交于点 .
点为的中点， ，
， .
由旋转可知，， ，
,
,
.
,， ，
，
，
四边形 是平行四边形.
又 ， 四边形 是矩形，
,, ,
，
，
.
连接 .
，， ，
， .
设，则， ，
.
由勾股定理，得 ，
，解得 ，
， ，
.
， ，
，
.
8.如图,在中,,将绕点逆时针旋转 度 得
到,与交于点,连接,, .
（1）如图（1）,求证: ；
证明：设，的交点为 .
， .
又 ，
.
（2）如图（2）,若 ,求证:四边形 是菱形；
证明：， .
又由（1）得 ， ，
.
同理可得， 四边形 是平行四边形.
又， 四边形 是菱形.
（3）如图（3）,若,且,求 的值.
[答案] , ，
又， ，
，， .
过点作于点，则 ,
.
方法一：， .
如图（1），过点作于点 ，
图（1）
则 .
设，则，， ，
.
方法二：如图（2），延长交的延长线于点 .
图（2）
设，则， .
，
， ，
， ，
，
.
图（2）
9.[2023福州质检] 如图（1）,在中, ,, ,将
绕点顺时针旋转得到,其中点是点 的对应点,且
,连接, .
（1）求证: ;
证明:在中, ,, ,
.
绕点顺时针旋转得到 ,
,, ,
,, .
（2）如图（2）,当点在线段上时,求 的面积;
[答案] 如图（1）,过点作的垂线,垂足为 ,
图（1）
.
记 ,则, .
由（1）可得, ,
,
, .
,
， .
图（1）
（3）直线与直线交于点,是边的中点,连接 ,在旋转过程中,求
的最大值.
[答案] 由（2）得 .
当点,在 异侧时,如图（2）,
图（2）
,
.
在四边形中, ,
,
.
图（2）
当点,在 同侧时,如图（3）,
图（3）
,
,
即 ,
,
.
取中点,连接, ,
.
为的中点,为 的中位线,
,
,
即 的最大值为4.
图（3）
10.如图（1），正方形 与正方形
有公共点，点， 分别在
，上，点在正方形 的对
角线上.将正方形绕 点按逆
时针方向旋转，旋转角为
.
（1）如图（1），当 时， ____;
[解析] 解法提示： 四边形是正方形，四边形 是正方形，
， ，
，， .
（2）如图（2），当 时，连接，，求 的值;
[答案] 如图（1），连接 ，
图（1）
由旋转知 .
在和 中，
， ，
， ，
， .
图（1）
（3）若，，当，，三点共线时，求 的长度.
[答案] 同（2）可证 .
四边形 是正方形，
， .
四边形 是正方形，
， .
，，三点共线， .
分两种情况讨论：
①当点在线段的延长线上时，如图（2），连接 .
图（2）
，
.
②当点在线段上时，如图（3），连接 .
图（3）
， ．
综上，当，，三点共线时，的长度为或 ．
11.在中， .将绕点顺时针旋转得到 ，旋转
角小于，点的对应点为点，点的对应点为点，交于点 ，
延长交于点 .
（1）如图（1），求证: .
证明:如图（1）,连接 .
图（1）
将绕点顺时针旋转得到 ,由旋转的性质可得
, ,
, ,
,即 ,
.
图（1）
（2）当 时，
①如图（2），若，，求线段 的长;
[答案] 在中, ,, ,
.
,
, .
由旋转的性质可得 ,
,
,, .
由旋转的性质可得 ,
.
由（1）知, .
②如图（3），连接，，延长交于点，判断是否为线段 的
中点，并说明理由.
图（2）
[答案] 是线段 的中点.
理由如下:如图（2）,延长, 相交于点 .
, .
, ,
, .
由旋转的性质可得, .
又, ,
,即是线段 的中点.
12.已知矩形,,,把矩形绕点 顺时针旋转,得到矩形
,连接,交于点 .
（1）如图（1）,若点落在边上,过点作,垂足为点,连接 ,求
证: .
证明： ,
.
四边形 是矩形,
, , ,
,
.
, ,
,
.
,
.
在与 中,
.
（2）如图（2）,若点在上方,连接交于点,连接,若 ,
①求证: ;
证明：如图，过点作,垂足为点 .
四边形是矩形, ,
, ,
.
,
， .
, .
, ,
,, ,
（舍去）, .
, ,
,
, .
, ,
可设,则 .
在中, ,
,
解得, （舍去）.
，
.
②求 的长.
[答案] ， ，
.
，
,
.
,, ,
.