2025年中考数学专项复习--题型三 圆 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
题型三 圆
中考题型专项突破
2025年中考数学一轮复习
类型1 与圆的性质有关的证明与计算
1.如图，是的直径，点在上，为的中点，于点 ，
与交于点，与交于点，连接 .
（1）求证： ；
证明:如图，为的中点， .
是的直径， ，
.
于点， ，
.
， ，
， .
（2）若，，求 的长.
[答案] ， ，
，
.
又 ,
， .
易证 ，
，
.
2.如图，等腰三角形内接于，，是上的点（不与点 ，
重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点 ．
（1）求证： .
证明： 点，，，均在 上，
四边形 为圆内接四边形,
．
又 ，
．
，
．
又， ，
．
（2）若的半径为5，，是的中点，求 的长．
[答案] 如图，过点作于点 ．
，垂直平分 ．
过点作于点，连接 ．
垂直平分， 点在 上，
，
，
．
， ，
．
是的中点，是 的中位线,
， ,
,
．
3.如图,是半圆的直径,是半圆上不同于, 的
一点,是的内心,的延长线交半圆于点 ,
连接,, .
（1）求证: ;
证明:是 的内心,
, .
又,,半圆 中,
,
,
.
（2）若,,求 的长.
[答案] 如图,过点作, 为垂足.
是半圆 的直径,
,
,
又 ,
, .
, .
又, ,
, ,
,
.
4.如图,是的外接圆,为的直径,与交于点,为 延长
线上一点,连接,，, .
（1）求证: ；
[答案] 证法一： ，
.
又 ，
.
又 ，
.
证法二：是 的直径，
，
.
，
.
又 ，
.
（2）若,,半径为4,求 的长.
[答案] 如图，连接 .
， .
， ，
，
.
，
， ，
.
连接，则 .
又 ，
垂直平分 ，
，
， .
， ，
，
.
在中， .
类型2 与圆的切线有关的证明与计算
5.[2024江西中考] 如图,是半圆的直径,点是弦 延长线上一点,连接
,, .
（1）求证:是半圆 的切线;
[答案] 证法一:是半圆 的直径,
.
,
.
又 ,
,
.
又是半圆 的半径,
是半圆 的切线.
证法二:是半圆 的直径,
,
.
又 ,
,
,
.
又是半圆 的半径,
是半圆 的切线.
（2）当时,求 的长.
[答案] 如图，连接 .
在 中,
,
.
,
,
,
,
,
的长 .
6.如图，已知为的直径，切于点，过点作，交
于点，连接 ．
（1）求证：是 的切线；
证明：如图，连接 ，
则 ，
.
为的直径，切于点 ，
，
.
，
, ，
.
又, ，
，
，
.
又是 的半径，
是 的切线.
（2）若，求 的值．
[答案] 如图，连接 ，则
.
，
，
，
.
, ，
，
，
.
在中，由勾股定理,得 ，
．
7.如图，已知在中，，以为直径作交于点 ，过点
作于点，交延长线于点 ．
（1）求证：是 的切线;
证明：如图，连接 .
， .
，， ，
， ,即
.
又是 的半径，
是 的切线.
（2）若,，求图中阴影部分的面积．（结果用含 的式子表
示）
[答案] 如图，连接 .
设的半径为 ，
是的直径， , .
又， .
在中，,， ，
， , ,
， ,
， ，
， ，
.
8.如图，是半圆的直径，过的延长线上的一点 作
半圆的切线，切点为点，连接，过弦上的点
（不与点,重合）作于点，线段 的延长线
交的延长线于点 .
（1）请判断 的形状，并说明理由；
[答案] 是等腰三角形.
理由:如图，连接 .
是半圆 的切线,
, .
, ， .
,, .
,, ,
是等腰三角形.
（2）若，，求弦 的长．
[答案] 如图，连接 .
， .
是直径, ,
,
.
,, .
又, ,
.
又, ，
,, .
又,即, .
9.如图,四边形内接于,,对角线为的直径,延长 交
过点的的切线于点 .
（1）求证: ;
[答案] 证法一：连接 ,如图（1）.
图（1）
四边形内接于 ,
.
,
.
, .
, .
, ,
.
是的切线, ,
,
,
, .
图（1）
证法二：连接， ，如图（2）.
图（2）
与相切于点 ，
.
， .
又 ，
，
.
又 ，
，
， .
图（2）
（2）若的半径为5,,求 的长.
[答案] 为的直径, .
的半径为5, .
, ,
由勾股定理得,即 ,
, .
图（1）
方法一（利用相似） 如图（1）.
, ,
.
,
,
，
，即 ,
.
图（1）
图（1）
方法二（利用勾股定理） 如图（1）.
，
，
，
即 .
设， ，
在中， ，
即，解得 （负值已舍去），
.
10.如图，是的直径，是弦，是弧的中点，弦与交于点 ，
过点作的切线交的延长线于点 ．
（1）求证： ；
证明：如图，连接， ．
，
．
为 的切线,
，即.
是的直径，是 的中点，
,
,
．
又 ,
,
.
（2）连接，取的中点，连接．若，，求 的长．
[答案] 如图，过点作 ，垂足为
．
设的半径为，则 ．
在 中， ，
解得 ．
，
，
,
,
,
．
为 的中点，
,
， ,
,
．
11.如图，是的外接圆，是 的直
径，是的中点,交的延长线于点 ，
交于点，点是上的一点，且与 相切
于点 ．
（1）求证： .
证明：如图，连接，则 ，
.
与相切于点 ，
， .
是 的直径，
，
，
．
（2）若，，求 的长．
[答案] 是的中点， ，
，
，
.
，
，
，
.
，
，
,
.
，
.
由（1）得 ，
，
.
， ，
，
，
，
的长为 ．
12.如图,已知,以为直径作交于点,过点作的切线 交
于点,交的延长线于点, .
（1）求证:点是 的中点;
图（1）
[答案] 证法一（利用平行线分线段成比例）：
如图（1），连接 .
是 的切线,
.
又 ,
,
.
,
,
点为 的中点.
证法二（利用等腰三角形“三线合一”）
图（2）
如图（2），连接， .
与相切于点， .
是的直径， ，
，
，
即 .
， ，
.
， ，
， ，
点是 的中点.
图（2）
（2）若,,求 的半径.
图（2）
[答案] 连接， ，如图（2）.
为 的直径,
,
.
,
,
,
.
,
, ,
.
,点为 的中点,
.
, ,
,
（负值已舍去）,
.
点为的中点,点为 的中点，
是 的中位线,
,即的半径是 .
图（2）