2025年中考数学专项复习--题型五 代数推理题［2024年福建中考新题型］ 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
题型五 代数推理题
中考题型专项突破
2025年中考数学一轮复习
1.在数学课上，老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，
我都会直接说出你运算的最后结果.”
操作步骤如下：
第一步：计算这个数与2的和的平方，减去这个数与2的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘25；
第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数.
（1）若嘉颖同学心里想的是数7，请帮她计算出最后结果；
[答案]
.
（2）同学们发现：“无论心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得
到的最后结果都相等.”嘉颖同学想验证这个结论，请你帮她完成这个验证过程.
[答案] 设心里想的非零数是 ，
根据题意，得
.
故无论心里想的是什么非零数,得到的最后结果都是200.
2.当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数.如：3，4，
5都是正整数，且 ，所以3，4，5是勾股数.
（1）当是大于1的整数时，，， 是不是勾股数？说明理由.
[答案] 是.
理由：当是大于1的整数时，，， 都是正整数.
又 ，
，， 是勾股数.
（2）当是大于1的奇数时，若，，是勾股数，且， ，
求.（用含 的式子表示）
[答案] 由题意，得 .
是正整数， .
3. 定义：对于任意两个数，，按规则 扩充
得到一个新数，称所得的新数 为“如意数”．
（1）若,,求“如意数” ;
[答案] , ,
根据“如意数”的定义可得 .
（2）若,,求证：“如意数” 为非负数.
证明：, ,
根据“如意数”的定义可得 .
，
“如意数” 为非负数.
4.材料1：一元二次方程的两个根,
有如下的关系:, .
材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一
元二次方程解决问题.下面介绍两种基本构造方法：
①利用根的定义构造：如果实数,满足, ,且
,则可将,看作是方程 的两个不相等的实数根.
②利用根与系数的关系逆向构造：如果实数,满足, ,则可
将,看作是方程 的两个实数根.
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数,满足,,求 的值.
[答案] 当 时，
实数,满足, ,
,可看作是方程 的两个根，
, ,
.
当时， .
综上所述，的值为 或2.
（2）已知实数,,满足,,且,求 的最大值.
[答案] , ,
,可看作是方程 的两个实数根.
, ,
，, ，
的最大值为1.
5. 已知自然数，，满足 .
（1）求证：， 中至少有一个是偶数；
证明：假设，都是奇数，则 为偶数，
为4的倍数.
设，（， 为自然数），
，
是2的倍数，不是4的倍数，矛盾，
， 中至少有一个是偶数.
（2）若为不小于7的质数，求 的最小值.
[答案] 为质数， ,
.
，
, ，
，
当取最小值时， 也取最小值.
又， ，
，
的最小值为25.
6.
阅读材料:小学阶段我们学习过被3整除的数的规律,初中阶段可以论证
结论的正确性.以三位数为例,设是一个三位数,若 可以被3整除，
则这个数可以被3整除.论证过程如下：
,显然 能被3
整除，因此，如果可以被3整除，那么 就能被3整除.
应用材料解答下列问题:
（1）设是一个三位数,直接写出 满足什么条件时,它可以被5整除;
[答案] 或 .
（2）设是一个四位数,猜想 满足什么条件时,它可以被4整除,并说明
理由.
[答案] 当两位数 能被4整除时,这个四位数就能被4整除.
理由： ,
一定能被4整除,
当能被4整除，即两位数 能被4整除时,原四位数就能被4整除.
7.数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式
是“佳偶和谐式”．
小亮写出如下算式：
；
；
.
发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”.
（1）验证： 是“佳偶和谐式”.
[答案] ，
是“佳偶和谐式”.
（2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶
和谐式”.
证明：设两个连续偶数分别为,（ 为自然数），则
，
任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”.
（3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能
被4整除，它们的算式都是“佳偶和谐式”.判断此命题是真命题还是假命题，
并说明理由．
[答案] 该命题是真命题.
理由：设任意两个偶数分别为,（, 为自然数），则
,
任意两个偶数的平方差都能被4整除，它们的算式都是“佳偶和谐式”，
小红得到的命题是真命题.