14.2.1平方差公式教学设计 2024-2025学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 14.2.1平方差公式教学设计 2024-2025学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 44.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-14 21:12:38 | ||
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文档简介
平方差公式
一、课题：《14.2.1平方差公式》
二、教学内容分析：《平方差公式》一课是人教版义务教育课程标准实验教材八年级上册第14章第2节的乘法公式的第一课时教学内容。这一内容既是全章的重点,也是教学难点。《平方差公式》是在学习了有理数运算、一元一次方程及二元一次方程组、不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此,平方差公式在初中阶段的教学中具有很重要地位,是初中阶段的一个典型公式.
三、教学目标分析:
学生经历平方差公式的探索过程,会推导平方差公式,熟悉平方差公式的结构特征,理解公式的几何背景,并能灵活运用公式进行运算。
在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理能力,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的认知规律;感悟数形结合的思想方法,培养学生归纳、概括等能力.
通过自主探索平方差公式,营造主动探究与合作交流的学习氛围,培养学生主动探究,善于思考,积极进取的学习态度。
教学重点和教学难点：
教学重点:平方差公式的推导和运用；
教学难点:理解平方差公式的结构特征和灵活运用平方差公式进行计算.
教学手段和方法1.教学手段:多媒体 2.教学方法:启发讲授、合作探究
四、学生情况分析：
在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题。
五、教学过程:
（一）激趣导入
活动1.利用课前几分钟时间对学生进行一个速算演示：老师先出一个两位数乘法；27×23，让学生速算结果，当学生不能快速算出时。老师再让学生出题：必须满足两位数的十位数字相同，个位数字之和为10，如：59×51，老师快速说出结果：3009。再让学生出几个，学生的学习欲望瞬间被点燃，这时老师不失时机的说：大家也可以进行速算，比如：102 、 202、302、1002，学生不以为然，乘胜追击，升级运算：102×98，那通过今天的学习大家也可以像我一样快速算出结果，而且也能搞清楚老师是怎么速算的。好，下边开启今天的探索之旅。
活动2. 温故知新
回忆:多项式与多项式相乘的法则（多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）.
用字母表示为:(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
追问1.我们学习过一种特殊运算：(x+3)(x+5)
追问2.那么当这两项都相同或是有相反的话，会不会有特殊结果呢？
（二）探究新知
活动3. 探索公式
用多项式乘多项式的方法进行下列计算，看谁算得又对又快
(1)(x+1)(x-1) (2) (m+2)(m-2) (3) (2x+1)(2x-1)
想一想：
观察上述算式，1.这几个多项式有什么共同特点？
2.算出结果，又有什么共同特点？
3.你能用式子表示这个规律吗？
规律:(a+b)(a-b)= a2–b2
追问1.你能用文字语言表述这个规律吗？
意义：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差》.
活动4.验证:(a+b)(a-b)= a2–b2
利用多项式乘法法则:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
验证猜想公式成立。
归纳公式:
平方差公式:(a+b)(a-b)= a2–b2
应用新知
小练习：填表（确定每个式子中的a和b）
(a+b)(a-b) a b a2-b2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(a+b+c)(a+b-c)
思考：应用平方差公式进行计算的关键是什么呢？
平方差公式特征:
确定公式中的a和b；
同号的为a，异号的为b；
(3) 右边是乘式中两项的平方差，即(相同项)2-(互为相反项)2 。
活动5. 巩固练习1
下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)（x+2)(x-2)=x2-2；
(2)（x+2)(-x-2)=9a2-4；
（发散思维）变式：你能再给（x+2）配一个平方差朋友吗？
活动6.典例剖析
例1. 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).
第（1）老师领着示范，第（2）题学生说老师写.
活动7（演板）.巩固练习2.运用平方差公式计算下列各题:
(1) (a+3b)(a-3b); (2)(3+2a)(-3+2a) ; (3) (-2x2-y)(-2x2+y).
活动7.综合应用
例2. 计算:
(1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) ； (2)102×98;
活动8.巩固练习3
2.计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
变式：在(2)中，如果已知x=0,那么原式值为 .
（四）数形结合
活动9. 勇于探索
提问：你能用拼图验证平方差公式吗？(a+b)(a-b)= a2–b2
（老师先引导学生分析由公式的左边以及右边分别联想到图形的什么知识？）
请大家拿出课前准备的边长为a的正方形纸，以小组为单位动手拼图，两个学生代表黑板演示。
图1.蓝色部分长方形的面积为(a+b)(a-b)
图2.蓝色部分的面积为a2–b2
两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a-b)= a2–b2
归纳：利用图形进行实证也是数学的一种重要方法。
（五）课堂小结：
依据本节课的学习以及参考黑板内容谈一下自己有哪些收获 （从知识到思想方法）或是还有什么疑惑？
（六）达标检测：
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
2.计算：
（1）(mn+9)(9-mn); (2)2x(x-1)-(2x+1)(1-2x)
3.计算： 20192 － 2018×2020.
（七）知旧迎新：前边列表中有这个题：(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2，今天先算到这里，(a+b)2就是明天我们要学习的“完全平方式”。
六、板书
1.课题 2.目标 3.形4.例1. （演板） 5.例2.
七、反思
本节课依据《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础上来确定适当的起点与目标。1.内容安排从“温故知新”渗透“一般到特殊”即让学生明白“乘法公式”是特殊的“多项式乘法”。2.在“探索公式”中又渗透了“特殊到一般”的探索过程，培养学生由具体到抽象的思维方法。3.在验证平方差公式时还运用拼图的知识加以论证，培养学生的数形结合思想。整节课围绕着学生的逻辑思维层层展开，步步深入，这样有助于训练学生观察、探究、发现、归纳的思维能力，使学生领会到学习数学的思想方法。在教学设计中利用多媒体辅助教学，动手拼图，使学生体会到数学无处不在,很好的激发了学生的好奇心，培养了学生的创新能力，体现《新课标》的教学理念。
不足：1.在“温故知新”渗透“一般到特殊”的思想时，可以再深入一下，由（a+b）（p+q）到（a+p）（a+q）再到（a+b）（a-b）是因为p+q=0即p与q互为相反数.
2.在运用拼图的知识论证平方差公式时，可以边解释公式特征边撕掉“边长为b”的小正方形，这样学生的观察内容更清楚，目标更有指向性，拼图会更顺利。
a2-b2
一、课题：《14.2.1平方差公式》
二、教学内容分析：《平方差公式》一课是人教版义务教育课程标准实验教材八年级上册第14章第2节的乘法公式的第一课时教学内容。这一内容既是全章的重点,也是教学难点。《平方差公式》是在学习了有理数运算、一元一次方程及二元一次方程组、不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此,平方差公式在初中阶段的教学中具有很重要地位,是初中阶段的一个典型公式.
三、教学目标分析:
学生经历平方差公式的探索过程,会推导平方差公式,熟悉平方差公式的结构特征,理解公式的几何背景,并能灵活运用公式进行运算。
在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理能力,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的认知规律;感悟数形结合的思想方法,培养学生归纳、概括等能力.
通过自主探索平方差公式,营造主动探究与合作交流的学习氛围,培养学生主动探究,善于思考,积极进取的学习态度。
教学重点和教学难点：
教学重点:平方差公式的推导和运用；
教学难点:理解平方差公式的结构特征和灵活运用平方差公式进行计算.
教学手段和方法1.教学手段:多媒体 2.教学方法:启发讲授、合作探究
四、学生情况分析：
在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题。
五、教学过程:
（一）激趣导入
活动1.利用课前几分钟时间对学生进行一个速算演示：老师先出一个两位数乘法；27×23，让学生速算结果，当学生不能快速算出时。老师再让学生出题：必须满足两位数的十位数字相同，个位数字之和为10，如：59×51，老师快速说出结果：3009。再让学生出几个，学生的学习欲望瞬间被点燃，这时老师不失时机的说：大家也可以进行速算，比如：102 、 202、302、1002，学生不以为然，乘胜追击，升级运算：102×98，那通过今天的学习大家也可以像我一样快速算出结果，而且也能搞清楚老师是怎么速算的。好，下边开启今天的探索之旅。
活动2. 温故知新
回忆:多项式与多项式相乘的法则（多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）.
用字母表示为:(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
追问1.我们学习过一种特殊运算：(x+3)(x+5)
追问2.那么当这两项都相同或是有相反的话，会不会有特殊结果呢？
（二）探究新知
活动3. 探索公式
用多项式乘多项式的方法进行下列计算，看谁算得又对又快
(1)(x+1)(x-1) (2) (m+2)(m-2) (3) (2x+1)(2x-1)
想一想：
观察上述算式，1.这几个多项式有什么共同特点？
2.算出结果，又有什么共同特点？
3.你能用式子表示这个规律吗？
规律:(a+b)(a-b)= a2–b2
追问1.你能用文字语言表述这个规律吗？
意义：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差》.
活动4.验证:(a+b)(a-b)= a2–b2
利用多项式乘法法则:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
验证猜想公式成立。
归纳公式:
平方差公式:(a+b)(a-b)= a2–b2
应用新知
小练习：填表（确定每个式子中的a和b）
(a+b)(a-b) a b a2-b2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(a+b+c)(a+b-c)
思考：应用平方差公式进行计算的关键是什么呢？
平方差公式特征:
确定公式中的a和b；
同号的为a，异号的为b；
(3) 右边是乘式中两项的平方差，即(相同项)2-(互为相反项)2 。
活动5. 巩固练习1
下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)（x+2)(x-2)=x2-2；
(2)（x+2)(-x-2)=9a2-4；
（发散思维）变式：你能再给（x+2）配一个平方差朋友吗？
活动6.典例剖析
例1. 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).
第（1）老师领着示范，第（2）题学生说老师写.
活动7（演板）.巩固练习2.运用平方差公式计算下列各题:
(1) (a+3b)(a-3b); (2)(3+2a)(-3+2a) ; (3) (-2x2-y)(-2x2+y).
活动7.综合应用
例2. 计算:
(1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) ； (2)102×98;
活动8.巩固练习3
2.计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
变式：在(2)中，如果已知x=0,那么原式值为 .
（四）数形结合
活动9. 勇于探索
提问：你能用拼图验证平方差公式吗？(a+b)(a-b)= a2–b2
（老师先引导学生分析由公式的左边以及右边分别联想到图形的什么知识？）
请大家拿出课前准备的边长为a的正方形纸，以小组为单位动手拼图，两个学生代表黑板演示。
图1.蓝色部分长方形的面积为(a+b)(a-b)
图2.蓝色部分的面积为a2–b2
两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a-b)= a2–b2
归纳：利用图形进行实证也是数学的一种重要方法。
（五）课堂小结：
依据本节课的学习以及参考黑板内容谈一下自己有哪些收获 （从知识到思想方法）或是还有什么疑惑？
（六）达标检测：
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
2.计算：
（1）(mn+9)(9-mn); (2)2x(x-1)-(2x+1)(1-2x)
3.计算： 20192 － 2018×2020.
（七）知旧迎新：前边列表中有这个题：(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2，今天先算到这里，(a+b)2就是明天我们要学习的“完全平方式”。
六、板书
1.课题 2.目标 3.形4.例1. （演板） 5.例2.
七、反思
本节课依据《新课程标准》的要求，立足于学生的认知基础上来确定适当的起点与目标。1.内容安排从“温故知新”渗透“一般到特殊”即让学生明白“乘法公式”是特殊的“多项式乘法”。2.在“探索公式”中又渗透了“特殊到一般”的探索过程，培养学生由具体到抽象的思维方法。3.在验证平方差公式时还运用拼图的知识加以论证，培养学生的数形结合思想。整节课围绕着学生的逻辑思维层层展开，步步深入，这样有助于训练学生观察、探究、发现、归纳的思维能力，使学生领会到学习数学的思想方法。在教学设计中利用多媒体辅助教学，动手拼图，使学生体会到数学无处不在,很好的激发了学生的好奇心，培养了学生的创新能力，体现《新课标》的教学理念。
不足：1.在“温故知新”渗透“一般到特殊”的思想时，可以再深入一下，由（a+b）（p+q）到（a+p）（a+q）再到（a+b）（a-b）是因为p+q=0即p与q互为相反数.
2.在运用拼图的知识论证平方差公式时，可以边解释公式特征边撕掉“边长为b”的小正方形，这样学生的观察内容更清楚，目标更有指向性，拼图会更顺利。
a2-b2