4.5.3函数模型的应用 教学设计（表格式）

4.5.3函数模型的应用
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析 函数模型及其应用是中学数学的重要内容之一,又是数学与生活实践相互衔接的枢纽,特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存又相互制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价，体现了函数模型的应用价值。 由于数学实用性的认识不断加强,这就给了函数应用这种课程很大的发挥空间,在考试中也是命题的热点。 本节主要涉及的数学素养包括:数学建模、逻辑推理和数学运算等。
学情分析 通过前面函数知识的学习，在知识上，学生已经具备了一定的知识经验和基础;在能力上，学生已经初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强;在情感方面，多数学生对新内容的学习，有相当的学习兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面发展的不均衡，不知道从何下手，仍需要创设民主和谐平等的课堂气氛,加以调动。
学习目标 （1）通过根据表格和图象提供的有关信息和数据，建立函数模型，并利用建立的数学模型解决实际问题； （2）通过对同一问题建立不同的函数模型并进行比较，择优选择，建立合适的数学模型。 重点：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题。 难点：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型。
评价任务 （1）问题情境及例题的分析过程中检测学生目标1是否完成； （2）学生对于例2中函数模型的选择用来检测目标2是否达成。
教学评活动过程 教师活动学生活动环节一：创设情境，复习导入教师活动 某工厂引进先进生产技术，产品产量从2011年1月到2012年8月的20个月间翻了两番，设月平均增长率为x，则有( ) (1+x)19=4 B.(1+x)20=3 C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4 追问1：要想解决这道题，你应该读懂哪些关键词？学生活动 “翻了两番”，“月平均增长率”。 前者指的时翻了4倍，后者指的是每个月在上个月的基础上增长的比例。 设计意图：学生对单独的函数是比较熟悉的，但是在利用函数解决生活中的实际问题时，往往因为对某些关键词理解由困难导致做错，无法往下做这种现象。所以在课堂中和平常的练习中注意引导学生去理解，熟知这些词汇。此外，以问题的引入，让学生感受指数函数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣，为接下来的学习作铺垫。环节二：建立模型，解决问题 教师活动 情境1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，766——1834）就提出了自然状态下的人口增长模型 y=y0ert, （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末，1959年末的人口总数分别为55196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959期间的具体人口增长模型。 追问2：要建立这个模型，需要确定哪些参数？ 追问3：1950~1959期间的是多少？ 追问4：1950~1959年经历了多少年？ （2）利用(1)中的模型计算1950~1959各年末的人口总数，查阅国家统计局公布的我国1950~1959各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符。 追问5：如何检验所得模型与实际人口是否相符？ (3)以(1)中的模型作预测，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿 情境2 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的 追问6：什么是碳14年代学检测？ 追问7：什么是“半衰期”？ 学生活动 追问2解答： 应该确定y0和t。 追问3解答： y0指的是1950年末的人口总数为55196万。 追问4解答： 经历了9年，也就是t等于4。 追问5解答： 方法一：用模型估计出来的值与实际值进行比较，看差距大小；方法二：把实际人口数据画出散点图，再画出函数模型图象，看这些点是否分布再函数图象周围。 上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有什么关系？ 追问6解答： 碳14年代学检测是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种检测方法，这一原理通常用来测得古生物化石的年代.因为死亡生物机体内碳 14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以选择函数建立函数模型. 追问7解答： 我们在指数函数的概念一节的问题2中涉及过“半衰期”的问题．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.设计意图：学生对数学建模的步骤尚且不熟悉，所以进行适当地引导，让学生感受确定参数，计算求解，验证模型的过程。而且在搜集信息，计算推理方面，学生能力都还有待提高，所以给予学生足够的时间，由简到难，激发学生自信心。碳14年代学检测这个背景并不是第一次遇到，学生可能会看以前学过的内容，使用以前的结论，在这里可以鼓励学生进行思考，体会建立模型的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。环节三：运用知识，强化练习教师活动 例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案 例2某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求 学生活动 例1分析: 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数 模型,再通过比较它们的增长情况，为选择投资方 案提供依据. 例2分析： 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型,按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元,所以销售人员的销售利润一般不会超过公司的总利润.于是,只需在区间[10,1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求:第一,奖金总数不超过5万元,即最大值不大于5;第二,奖金不超过利润的 25%,即.不妨先画出函数图象，通过观察函数图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果。设计意图：利用表格、图象，根据不同函数的增长快慢解决实际问题，提升学生的知识运用能力；通 过借助 函数解决函数模型的优化选择问题，培养学生的数学运算素养。环节四：归纳小结，强化思想教师活动 1.知识清单 2.学生反思 （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？学生活动 学生自主总结，学生间补充完善。 设计意图：加强对本节课所学知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯。
板书设计 4.5.3函数模型的应用 数学建模的主要步骤： （1）理解问题 （2）简化假设 （3）数学建模 （4）求解模型 （5）检验模型 （6）评价与应用
作业与拓展学习设计 教材第154页练习第1、2题
特色学习资源分析、技术手段的应用说明 多媒体课件
教学反思与改进 本节课是比较难上的一节课，对于学生和教师来说都是如此。应用性比较强，计算的冗长可能会影响学生对整体问题思路的把握，需要做好课堂教学的整体规划。另外应用计算机画图必须熟练，否则课堂上就会分散学生的注意力,要让学生真正从计算机画图中认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的应用价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系,从而体会数学的实用价值,享受数学的应用美。