4.5.2用二分法求方程的近似解 教学设计（表格式）

用二分法解方程的近似解
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析 用二分法求方程的近似解体现了本套教材的数学应用意识,所以,数学应用意识的培养与数学思想的渗透是本节教学的重要任务。 通过建立函数模型以及运用模型解决问题，体会二分法在生活中运用的巧妙性与实用性。 根据具体的函数，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，沟通了函数、方程、不等式等高中知识,体现了二分法的工具性和实用性，同时也渗透了函数与方程思想、数形结合思想、算法思想和逼近思想。 本节内容所涉及的主要核心素养有:数学抽象、直观想象和数学运算等。
学情分析 高一学生对函数知识的主要印象是抽象的,他们最想问的问题可能就是“函数知识有什么用 ”。所以尽管他们经历了初中和高一前期对函数的学习,具备了一定的抽象理解能力，但在数学应用意识和应用能力方面仍然有待提高。同时,计算能力和准确表述解答过程的能力也需要进一步加强。这些都是进行本节教学必须考虑到的学生因素。
学习目标 （1）通过具体实例，归纳出二分法的概念及其适用条件，明确二分法是求方程近似解的常用方法； （2）能借助计算工具、信息技术用二分法求方程的近似解。 重点：用二分法求方程的近似解。 难点：二分法原理的理解。
评价任务 学生能否利用二分法求出例2中方程的近似解检测目标1、2是否完成。
教学评活动过程 教师活动学生活动环节一：创设情境，复习导入教师活动 函数的零点存在性定理 唯一性定理 学生活动 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象连续,并且有f(a)·f(b)<0（变号）, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内至少有一个零点。即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0的根。 若函数y=f(x)在区间[a,b]内单调，连续，变号，则函数有且仅有一个零点。 设计意图：学生函数的零点存在性定理和唯一性定理已经有一定的了解，但是本节课的理论基础是函数的存在性定理，为了防止学生遗忘，教师应该引导学生复习，激活学生的知识结构，提升学生继续学习的信心。环节二：观察归纳，概念形成教师活动 我们已经知道在区间（2，3）内有一个零点，进一步的问题是：如何求这个零点呢？ 当我们无法求解这个零点的精确值时，可以退而求其次，求这个零点的近似值。 问题1：如果给定精确度0.5，那么你能找出在区间（2，3）内零点的一个近似值吗？ 问题2：同样给定精确度0.5，3是该零点的近似值吗？ 问题3：给定精确度0.01，你能找到零点一个近似值吗？ 问题4：你觉得区间缩小到多小一定能找到满足精确度0.01的近似值？ 为了更加清晰的观察，我们可以利用计算工具，列出表格并作出图形。 可以发现，当精确度为0.01时，因为|2.539 0625-2.531 25|=0.007 812 5<0.01，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x =2.53125作为函数f(.x )=ln x+2x-6零点的近似值，也即方程ln x+2x-6=0的近似解.学生活动 问题1解答： 可以取（2，3）的中点2.5，2.5到精确值的距离一定小于0.5，所以2.5可以作为零点的一个近似值。 问题2解析： 我们可以计算f(2.5),观察它的正负，根据函数零点存在定理，如果f(2.5)f(3)<0,则零点在区间（2.5，3）内，3到精确值的距离小于0.5，所以3可以作为零点的一个近似值。 问题3解析： 再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)f(2.75)<0，所以零点在区间 (2.5，2.75)以内。把零点所在区间的区间一步步缩小。 问题4解析： 缩小到区间长度小于0.01时，区间中任何一个值到零点的距离都小于0.01，所以任何一个值都可以作为零点的近似值。 二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection). 设计意图：二分法的思路是一个比较难的知识点，学生往往知道大概步骤，但是并不理解二分法的思想，所以由旧到新设计多个问题，环环相扣，层层递进，带领学生理解背后的思维，提升学生的数学运算素养。环节三：概念深化，探索新知教师活动 问题5:请你结合前面的学习和二分法的定义归纳用二分法求函数零点的步骤 学生活动 给定精确度，用二分法求函数y=f(x )零点x0的近似值的一般步骤如下: 1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间: (1）若f(c)=0（此时x0=c)，则c就是函数的零点﹔ (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b=c ; (3）若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度 :若|a-b |< ,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2～4.设计意图：二分法的定义和步骤都是比较繁琐的，学生大概明白其含义，但是很难按条理一一罗列，所以先让学生去讲解，再通过追问，提问等方式帮助学生理清思路，培养学生的算法思想，进一步提升学生数学运算核心素养。环节四：运用知识，强化练习教师活动 例1 (1)确定方程函数f(x)=2x+3x-7的零点所在区间（ ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) (2)用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度为0.1）学生活动 学生板演例2设计意图：二分法求方程的近似解是一个比较繁琐的过程，所以设计第（1）小题作为过渡，减小学生心理压力，增强学生的自信心，使学生有勇气继续往下研究。第（2）小题的设计进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项。环节五：归纳小结，强化思想教师活动 1.知识清单 2.学生反思 （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？学生活动 学生自主总结，学生间补充完善。 设计意图：加强对本节课所学知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯。
板书设计 4.5.2用二分法求方程的近似解 （1）二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection). （2）给定精确度，用二分法求函数y=f(x )零点x0的近似值的一般步骤如下: ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a,b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间: i若f(c)=0（此时x0=c)，则c就是函数的零点﹔ ii若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b=c ; iii若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c. ④判断是否达到精确度 :若|a-b |< ,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2～4.
作业与拓展学习设计 教材第155页习题4.5第4、5题
特色学习资源分析、技术手段的应用说明 多媒体课件
教学反思与改进 (1)要更加重视学生的学习体验，突出他们的主体地位，训练他们用从特殊到一般再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力，不断加强他们的转化类比思想； (2)要更注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中案例联系起来让学生体会数学方法来源于现实生活又可以解决生活中的问题； (3)要更注重学生参与知识的形成过程动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心体验学习数学的乐趣； (4)注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作共同提高。