4.5.1函数的零点与方程的解 教学设计（表格式）

4.5.1函数的零点与方程的解
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析 本节主要内容是函数零点的概念，函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在定理。 本节课是为“用二分法求方程的近似解”打基础，函数零点的概念与函数零点存在定理是二分法的必备知识。 方程与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节内容直接编入教材很有必要，本节课不仅为二分法习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础。用函数的观点研究方程，本质上是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其他知识的联系奠定了坚实的基础。 从研究方法而言,函数零点概念的形成和函数零点存在定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力,也为数形结合思想提供了广阔的平台。
学情分析 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的。 高一学生在函数的学习中,常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任，具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位。例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是想到二次函数的图象与方程的根之间的联系。函数应用意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务。 从方程根的角度理解函数的零点,学生并不会觉得困难，而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应。换而言之,函数零点存在定理的获得与应用,必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证。
学习目标 （1）能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者之间的关系，能利用函数图象和性质判断某些函数零点的个数及所在区间； （2）知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，清楚函数零点可能不止一个。 重点：函数零点的概念，函数零点与相应方程根的求法，函数零点存在定理。 难点：函数零点存在定理的理解，数形结合思想、转化与化归思想的应用。
评价任务 （1）学生能否完成例1中求函数零点问题检测目标1是否达成； （2）学生能否完成例2、例3中函数零点个数求解检测目标2是否达成。
教学评活动过程 教师活动学生活动环节一：创设情境，复习导入教师活动 二次函数的零点 求二次函数的零点 学生活动 一般地，对于二次函数我们把使的实数x叫做的零点。 令解得.所以函数的零点是2，10.设计意图：学生对二次函数的零点有一定了解，但是在学习这部分内容时，主要是应用零点帮助解一元二次方程，所以这里可以设置一个问题让学生利用方程来求零点，帮助学生双向理解零点与方程的等价关系。环节二：观察归纳，概念形成教师活动 1.一般函数的零点 一般地，对于一般函数我们把使的实数x叫做的零点 2.函数的零点与方程根的关系 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)与x轴有公共点 3.零点的存在性定理 对于无法直接求零点的函数，我们可以先解决以下问题： 函数是否有零点； 如果有零点，会有几个零点呢？ 问题1：你可以用什么方式去研究函数是否有零点？ 问题2：判断函数有零点的方法有哪些？ 问题3：请同学画出几个没有零点的函数，同时也画出几个有零点的函数（连续的曲线）。观察这些图象，你发现有零点的图象与没零点的图象有什么区别？ 函数零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内至少有一个零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) = 0的根。 注意①：零点存在 图像连续与f(a)·f(b)<0 缺一不可 注意②：零点存在定理不可逆用！即函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点不能得到 f(a)·f(b)<0 注意③: 零点存在定理只判断是否存在零点，而零点个数不确定。 学生活动 问题1解答： 描点作图. 问题2解答：判断函数是否有零点的方法 ㈠代数法:①令f(x)=0②解方程f(x)=0 ③写出零点 ㈡几何法：图像与X轴交点的横坐标即为零点 问题3解答： 在零点附近，函数图象是“穿过”x轴的。所以零点左右函数值的正负是刚好相反的。设计意图：函数的零点存在性定理是一个比较难以理解的知识点，由特殊到一般，引出函数零点存在定理，所以应该引导学生深入理解其中涉及的细节，尤其是3个注意。环节三：概念深化，探索新知教师活动 问题4：观察我们画的有零点的3个图，你发现函数什么时候只有一个零点？ 函数零点存在性定理推论 如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不间断的一条曲线,并且区间[a, b]上具有单调性，且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x)在区间(a, b)内有一个零点。 问题5：如果函数不具有单调性，我们应该如何研究它的零点个数？学生活动 当函数是单调递增或者单调递减的时候。 先找到函数的单调区间，在每个区间分别去找它的零点。设计意图： 学生如果只会判断函数的零点存在，而不知道如何判断函数有几个零点，知识体系是不够完整的，所以在此处补充函数零点存在性定理的推论，完善学生知识体系。环节四：运用知识，强化练习教师活动 例1 求下列函数的零点： 例2 求方程的实数解的个数。 例3已知函数y=f(x)的图像是连续不断的，有如下表所对应值： x1234567f(x)239-711-5-12-26
那么函数y=f(x)在区间[1,7]上的零点至少有_____个。 学生活动 例1 学生思考、板演 分析： 函数y=f(x)的零点 方程f(x)=0的实数解 函数y=f(x)与x轴交点的横坐标 例2 引导学生思考 分析：通过画图，我们已经知道函数是有零点 的。所以函数单 调递增，函数只有一个零点。 例3 学生口答 设计意图：通过这三个例题的解答，培养学生对函数零点求法的掌握，提升利用函数图象判断方程的根及其个数的能力，加深对函数零点存在定理的理解。环节五：归纳小结，强化思想教师活动 1.知识清单 2.学生反思 （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？学生活动 学生自主总结，学生间补充完善。 设计意图：加强对本节课所学知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯。
板书设计 4.5.1函数的零点与方程的解 1.零点的概念 3.函数零点存在性定理 一般地，对于一般函数我们把 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是使的实数x叫做的零点。 连续不间断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那 2. 函数的零点与方程根的关系 么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内至少有一个零点, 函数y=f(x)有零点 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方程f(x) 方程f(x)=0有实数解 = 0的根。 函数y=f(x)与x轴有公共点
作业与拓展学习设计 教材第144页练习第1、2题
特色学习资源分析、技术手段的应用说明 多媒体课件
教学反思与改进 紧密结合教材，采用探究学习的模式,使学生能够很快掌握概念。但还可以从以下几个方面适当展开： （1）教学过程中要多举例子,强化学生对方程的根与函数零点的关系的理解； （2）在例题的选取中要选取的更有代表性； （3）教学中要多让学生进行自主探究。