广东省深圳市东湖中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·深圳开学考）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2024九上·深圳开学考）下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C． D．，，
3．（2024九上·深圳开学考）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·深圳开学考）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2024九上·深圳开学考）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
6．（2024九上·深圳开学考）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024九上·深圳开学考）如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
8．（2024九上·深圳开学考）如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上，若，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2024九上·深圳开学考）下列命题是真命题的是（ ）．
A．有两条边相等的两个直角三角形全等
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于
10．（2024九上·深圳开学考）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
11．（2024九上·深圳开学考）若分式有意义，则x满足的条件是
12．（2024九上·深圳开学考）若a是方程的一个根，则代数式的值为 ．
13．（2024九上·深圳开学考）关于的分式方程有增根，则 ．
14．（2024九上·深圳开学考）如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则 ．
15．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，，为边上一动点，且不与点、点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．过点A作于点，的延长线与的延长线交于点H，已知，，则 ．
16．（2024九上·深圳开学考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
17．（2024九上·深圳开学考）先化简：，然后从0，1，2，3中选一个合适的x的值代入求值．
18．（2024九上·深圳开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为．
（1）将向上平移6个单位得到，画出；
（2）以为对称中心，画出关于该点对称的；
（3）经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描）
19．（2024九上·深圳开学考）为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔（单位：盒）与画板（单位：个）两种写生工具数量若干．已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．
（1）请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
（2）根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共30件，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？
20．（2024九上·深圳开学考）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
21．（2024九上·深圳开学考）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________；
（2）计算：
①；②；
（3）如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求．
22．（2024九上·深圳开学考）【初步感知】
（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：对于A，D，其与原点距离为3；
对于B，其与原点的距离为1；
对于C，其与原点的距离为2；
故距离原点最近的是1，
故选：B.
【分析】数轴上表示的各数与距离的关系逐一判断远近即可，或可利用绝对值几何意义判断其远近.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，
由长度为6、8、10的三条线段能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，
由长度为0.3、0.4、0.5的三条线段能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，
由长度为、、的三条线段不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，
由长度为1、、的三条线段能构成直角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-5＞b-5，A选项不符合题意；
B、∵a＞b，∴-2a＜-2b，B选项符合题意；
C、∵a＞b，∴a+3＞b+3，∴，C选项不符合题意；
D、当a=1，b=-2时，a＞b，但a2=1＜b2=4，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断A、B、C三个选项；利用举特例的方法可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、∵从左至右的变形，是将两个整式的积化为了一个多项式，∴此题从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、∵从左至右的变形，是利用平方差公式将两个整式的积化为了一个多项式，∴此题从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、∵从左至右的变形，是将一个多项式通过提取公因式及平方差公式化为了三个整式的积的形式，∴此题从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意；
D、∵从左至右的变形，没有将一个多项式化为几个整式的积，∴此题从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补可算出∠EAC的度数，根据作图可知AF平分∠EAC，进而根据角平分线的定义求出∠1的度数.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据平行四边形的对边相等得到，然后根据菱形的四边相等得到，然后根据BE=BC-CE求解即可．
7．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得，当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故答案为：C．
【分析】求关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集，从图象来看，就是求一次函数y1＝x＋b得图象在一次函数y2＝kx＋4的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，
∴∠C=30°，
∴BC=2AB=4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD=AB，
又∵∠B=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC BD=4 2=2．
故答案为：C．
【分析】利用含30度的直角三角形的性质得到BC=2AB=4，再根据旋转的性质得AD=AB，进而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判断△ABD为等边三角形，由等边三角形的三边相等得BD=AB=2，然后根据CD=BC BD代入计算即可．
9．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵有两条直角边相等的两个直角三角形全等或有一条直角边与斜边对应相等的两个直角三角形全等，∴原说法错误，是假命题；
B、∵等腰三角形顶角得角平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，∴原说法错误，是假命题；
C、∵ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是可能是等腰梯形 ，∴原说法错误，是假命题；
D、∵正多边形的内角和为720°，
∴该正多边形的边数为720°÷180°+2=6，
又∵正多边形的外角都相等，
∴该正多边形的一个外角为：360°÷6=60°，故原说法正确，是真命题.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等得判定方法SAS与HL即可判断A选项；根据等腰三角形的三线合一性质可判断B选项；根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断C选项；根据n边形的内角和=(n-2)×180°可求出该多边形的边数，进而根据正多边形的外角都相等，故用外角和除以外角的个数即可求出一个外角的度数，据此可判断D选项.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故答案为：D．
【分析】连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，在Rt△ABC中利用勾股定理算出AC=2，由矩形对角线互相平分可求出OA=OC=1，用SAS判断出△AOE≌△COF，得∠AOE=∠COF，从而结合对顶角定义可判断出E、O、F三点共线，根据直角三角形斜边中线性质可推出点G的轨迹为以H为圆心，为半径即AO为直径的圆弧，根据圆中最大的弦是直径可得AG的最大值.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：当分母，时， 分式有意义.
故答案为：.
【分析】根据分式有意义的条件得到，即可解得答案.
12．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程x2-2x-3=0的一个根，
∴a2-2a-3=0，
∴a2-2a=3，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×3+1=7.
故答案为：7.
【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=a代入x2-2x-3=0可得a2-2a=3，然后将待求式子变形为2(a2-2a)+1后整体代入计算可得答案.
13．【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
14．【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
和分别是和的垂直平分线，
，，
，，
，
，
故答案为：36°．
【分析】首先由三角形内角和定理推出∠B+∠C=72°，再由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PA=PB，AQ=CQ，由等边对等角得∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，由等式性质推出∠PAB+∠QAC=72°，最后根据∠PAQ=∠BAC-（∠PAB+∠QAC）代入计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AH于G，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
又，，
，
，
在中，，
，
，
∵，，
∴；
故答案为：．
【分析】过点C作CG⊥AH于G，由等边对等角及三角形的内角和定理推出∠BAE=180°-2∠AED，再根据角的和差、三角形的内角和定理及等边对等角得∠FHE=∠FEH=45°，由等角对等边得EF=FH，由等腰直角三角形的性质可得，，由同角的余角相等得∠BAF=∠ACG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF=CG，最后在Rt△AEF中，由勾股定理建立方程可得结论．
16．【答案】解：解不等式①，得，解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：，
将不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
17．【答案】解：原式．
∵，，，，
∴，，∴，3
当时，原式，
或者当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分子利用提取公因式法分解因式，分母利用完全平方公式法分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简；根据原式中各部分有意义的条件判断出x只能取1或3，从而将1或3代入化简后的式子计算可得答案.
18．【答案】（1）解：利用方格纸的特点分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）解：分别作出点A、B、C关于（0，-1）的对称点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）（0，2）
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称
19．【答案】（1）解：设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要（x-2）元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；
（2）解：设购买画板a个，则购买画笔(30-a)个，
根据题意有，
解得：，
根据题意可知为整数，
的最小值为18．
答：至少购买画板18个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要（x-2）元，根据总价除以单价等于数量及根据用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同列出方程，解方程即可；
（2）设购买画板a个，则购买画笔(30-a)个，根据单价乘以数量等于总价及购买这些写生工具的总费用不超过475元列出不等式解不等式求出最小整数解即可．
（1）解：设购买一盒画笔需要元，一个画板需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元．
（2）解：设购买画板个，则购买画笔个，
根据题意有，
解得：，
根据题意可知为整数，
的最小值为18．
答：至少购买画板18个．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ABE=∠CDF，由垂直的定义得∠AEB=∠CFD=90°，从而由AAS判断出△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等得AE=CF，再根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AE∥CF，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得，再由含30°角的直角三角形的性质得，，由勾股定理算出，然后求出，进而根据平行四边形的两对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形可求出四边形AECF的面积.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）51
（2）解：，
；
（3）解：，均为慧泉数，
，解得或或．
由，得的值等于的个位数字与十位数字之和，
，，
，
，解得．
或．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】（1）解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，
为“慧泉数”；
∵40的各位数字为零，
∴40不为“慧泉数”；
∵66两个数位上的数字相同，
∴66不为“慧泉数”；
故答案为：51；
【分析】（1）根据“慧泉数”的定义逐一判断即可；
（2）根据的定义求解即可；
（3）根据“慧泉数”个位数字与十位数字的特点列出不等式组，可得x的值；根据（2）中②的结论可写出与的表达式，代入解不等式求出x的取值范围，再结合前面即可求出符合题意得x的值.
（1）解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，为“慧泉数”．
（2）解：，．
（3）解：，均为慧泉数，
，解得或或．
由，得的值等于的个位数字与十位数字之和，
，，
，
，解得．
或．
22．【答案】解：（1）证明：和是等边三角形，
，，．
，
，即．
在和中，
，
；
（2）；理由如下：
和是等边三角形，
，，．
，
，即．
在和中，
，
．
，
，
．
（3）有最小值，在射线上截取，连接，
，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴∠ACD+∠ACB=∠ACD+∠PED=180°，
∴∠EPC+∠CDE=∠CDE+∠EDM=180°，
∴，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，
是等边三角形，
，
∴，，
即点E在角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值，
∵，，
∴，
∴
的最小值为8．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形性质得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，由角的构成及等式性质推出∠BAD=∠CAE，从而由SAS判断出△ABD≌△ACE；
（2）EC=AC+CD，理由如下：由等边三角形性质得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，由角的构成及等式性质推出∠BAD=∠CAE，从而由SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得CE=BD，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（3）在射线BC上截取PC=DM，连接EM，由等边三角形的性质、邻补角、四边形的内角和及同角的补角相等得∠EPC=∠EDM，从而由SAS判断出△EPC≌△EDM，得EC=EM，∠PEC=∠DEM，推出∠CEM=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△CEM是等边三角形，则∠ECM=60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP'=CP，连接EP'，用SAS证明△CEP≌△CEP'，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值．
1 / 1广东省深圳市东湖中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·深圳开学考）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：对于A，D，其与原点距离为3；
对于B，其与原点的距离为1；
对于C，其与原点的距离为2；
故距离原点最近的是1，
故选：B.
【分析】数轴上表示的各数与距离的关系逐一判断远近即可，或可利用绝对值几何意义判断其远近.
2．（2024九上·深圳开学考）下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C． D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，
由长度为6、8、10的三条线段能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，
由长度为0.3、0.4、0.5的三条线段能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，
由长度为、、的三条线段不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，
由长度为1、、的三条线段能构成直角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐一判断得出答案.
3．（2024九上·深圳开学考）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-5＞b-5，A选项不符合题意；
B、∵a＞b，∴-2a＜-2b，B选项符合题意；
C、∵a＞b，∴a+3＞b+3，∴，C选项不符合题意；
D、当a=1，b=-2时，a＞b，但a2=1＜b2=4，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断A、B、C三个选项；利用举特例的方法可判断D选项.
4．（2024九上·深圳开学考）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、∵从左至右的变形，是将两个整式的积化为了一个多项式，∴此题从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、∵从左至右的变形，是利用平方差公式将两个整式的积化为了一个多项式，∴此题从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、∵从左至右的变形，是将一个多项式通过提取公因式及平方差公式化为了三个整式的积的形式，∴此题从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意；
D、∵从左至右的变形，没有将一个多项式化为几个整式的积，∴此题从左到右的变形不是因式分解，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此逐一判断得出答案.
5．（2024九上·深圳开学考）如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补可算出∠EAC的度数，根据作图可知AF平分∠EAC，进而根据角平分线的定义求出∠1的度数.
6．（2024九上·深圳开学考）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】首先根据平行四边形的对边相等得到，然后根据菱形的四边相等得到，然后根据BE=BC-CE求解即可．
7．（2024九上·深圳开学考）如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得，当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故答案为：C．
【分析】求关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集，从图象来看，就是求一次函数y1＝x＋b得图象在一次函数y2＝kx＋4的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合交点坐标即可得出答案.
8．（2024九上·深圳开学考）如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上，若，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，
∴∠C=30°，
∴BC=2AB=4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD=AB，
又∵∠B=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=BC BD=4 2=2．
故答案为：C．
【分析】利用含30度的直角三角形的性质得到BC=2AB=4，再根据旋转的性质得AD=AB，进而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判断△ABD为等边三角形，由等边三角形的三边相等得BD=AB=2，然后根据CD=BC BD代入计算即可．
9．（2024九上·深圳开学考）下列命题是真命题的是（ ）．
A．有两条边相等的两个直角三角形全等
B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵有两条直角边相等的两个直角三角形全等或有一条直角边与斜边对应相等的两个直角三角形全等，∴原说法错误，是假命题；
B、∵等腰三角形顶角得角平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，∴原说法错误，是假命题；
C、∵ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是可能是等腰梯形 ，∴原说法错误，是假命题；
D、∵正多边形的内角和为720°，
∴该正多边形的边数为720°÷180°+2=6，
又∵正多边形的外角都相等，
∴该正多边形的一个外角为：360°÷6=60°，故原说法正确，是真命题.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等得判定方法SAS与HL即可判断A选项；根据等腰三角形的三线合一性质可判断B选项；根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断C选项；根据n边形的内角和=(n-2)×180°可求出该多边形的边数，进而根据正多边形的外角都相等，故用外角和除以外角的个数即可求出一个外角的度数，据此可判断D选项.
10．（2024九上·深圳开学考）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆的相关概念；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故答案为：D．
【分析】连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，在Rt△ABC中利用勾股定理算出AC=2，由矩形对角线互相平分可求出OA=OC=1，用SAS判断出△AOE≌△COF，得∠AOE=∠COF，从而结合对顶角定义可判断出E、O、F三点共线，根据直角三角形斜边中线性质可推出点G的轨迹为以H为圆心，为半径即AO为直径的圆弧，根据圆中最大的弦是直径可得AG的最大值.
11．（2024九上·深圳开学考）若分式有意义，则x满足的条件是
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：当分母，时， 分式有意义.
故答案为：.
【分析】根据分式有意义的条件得到，即可解得答案.
12．（2024九上·深圳开学考）若a是方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程x2-2x-3=0的一个根，
∴a2-2a-3=0，
∴a2-2a=3，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×3+1=7.
故答案为：7.
【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=a代入x2-2x-3=0可得a2-2a=3，然后将待求式子变形为2(a2-2a)+1后整体代入计算可得答案.
13．（2024九上·深圳开学考）关于的分式方程有增根，则 ．
【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
14．（2024九上·深圳开学考）如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则 ．
【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，
，
和分别是和的垂直平分线，
，，
，，
，
，
故答案为：36°．
【分析】首先由三角形内角和定理推出∠B+∠C=72°，再由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PA=PB，AQ=CQ，由等边对等角得∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，由等式性质推出∠PAB+∠QAC=72°，最后根据∠PAQ=∠BAC-（∠PAB+∠QAC）代入计算可得答案.
15．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，，为边上一动点，且不与点、点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．过点A作于点，的延长线与的延长线交于点H，已知，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥AH于G，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
又，，
，
，
在中，，
，
，
∵，，
∴；
故答案为：．
【分析】过点C作CG⊥AH于G，由等边对等角及三角形的内角和定理推出∠BAE=180°-2∠AED，再根据角的和差、三角形的内角和定理及等边对等角得∠FHE=∠FEH=45°，由等角对等边得EF=FH，由等腰直角三角形的性质可得，，由同角的余角相等得∠BAF=∠ACG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF=CG，最后在Rt△AEF中，由勾股定理建立方程可得结论．
16．（2024九上·深圳开学考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：解不等式①，得，解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为：，
将不等式组的解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据解不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
17．（2024九上·深圳开学考）先化简：，然后从0，1，2，3中选一个合适的x的值代入求值．
【答案】解：原式．
∵，，，，
∴，，∴，3
当时，原式，
或者当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将除式的分子利用提取公因式法分解因式，分母利用完全平方公式法分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简；根据原式中各部分有意义的条件判断出x只能取1或3，从而将1或3代入化简后的式子计算可得答案.
18．（2024九上·深圳开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为．
（1）将向上平移6个单位得到，画出；
（2）以为对称中心，画出关于该点对称的；
（3）经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为__________．（注意：请先用铅笔，然后再用签字笔描）
【答案】（1）解：利用方格纸的特点分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）解：分别作出点A、B、C关于（0，-1）的对称点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）（0，2）
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称
19．（2024九上·深圳开学考）为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔（单位：盒）与画板（单位：个）两种写生工具数量若干．已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．
（1）请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？
（2）根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共30件，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？
【答案】（1）解：设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要（x-2）元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；
（2）解：设购买画板a个，则购买画笔(30-a)个，
根据题意有，
解得：，
根据题意可知为整数，
的最小值为18．
答：至少购买画板18个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要（x-2）元，根据总价除以单价等于数量及根据用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同列出方程，解方程即可；
（2）设购买画板a个，则购买画笔(30-a)个，根据单价乘以数量等于总价及购买这些写生工具的总费用不超过475元列出不等式解不等式求出最小整数解即可．
（1）解：设购买一盒画笔需要元，一个画板需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元．
（2）解：设购买画板个，则购买画笔个，
根据题意有，
解得：，
根据题意可知为整数，
的最小值为18．
答：至少购买画板18个．
20．（2024九上·深圳开学考）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等得AB=CD，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠ABE=∠CDF，由垂直的定义得∠AEB=∠CFD=90°，从而由AAS判断出△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等得AE=CF，再根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AE∥CF，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得，再由含30°角的直角三角形的性质得，，由勾股定理算出，然后求出，进而根据平行四边形的两对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形可求出四边形AECF的面积.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
21．（2024九上·深圳开学考）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________；
（2）计算：
①；②；
（3）如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求．
【答案】（1）51
（2）解：，
；
（3）解：，均为慧泉数，
，解得或或．
由，得的值等于的个位数字与十位数字之和，
，，
，
，解得．
或．
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】（1）解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，
为“慧泉数”；
∵40的各位数字为零，
∴40不为“慧泉数”；
∵66两个数位上的数字相同，
∴66不为“慧泉数”；
故答案为：51；
【分析】（1）根据“慧泉数”的定义逐一判断即可；
（2）根据的定义求解即可；
（3）根据“慧泉数”个位数字与十位数字的特点列出不等式组，可得x的值；根据（2）中②的结论可写出与的表达式，代入解不等式求出x的取值范围，再结合前面即可求出符合题意得x的值.
（1）解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，为“慧泉数”．
（2）解：，．
（3）解：，均为慧泉数，
，解得或或．
由，得的值等于的个位数字与十位数字之和，
，，
，
，解得．
或．
22．（2024九上·深圳开学考）【初步感知】
（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．
【答案】解：（1）证明：和是等边三角形，
，，．
，
，即．
在和中，
，
；
（2）；理由如下：
和是等边三角形，
，，．
，
，即．
在和中，
，
．
，
，
．
（3）有最小值，在射线上截取，连接，
，
∵和是等边三角形，
∴，，
∴∠ACD+∠ACB=∠ACD+∠PED=180°，
∴∠EPC+∠CDE=∠CDE+∠EDM=180°，
∴，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，
是等边三角形，
，
∴，，
即点E在角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值，
∵，，
∴，
∴
的最小值为8．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形性质得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，由角的构成及等式性质推出∠BAD=∠CAE，从而由SAS判断出△ABD≌△ACE；
（2）EC=AC+CD，理由如下：由等边三角形性质得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，由角的构成及等式性质推出∠BAD=∠CAE，从而由SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得CE=BD，最后根据线段和差及等量代换可得结论；
（3）在射线BC上截取PC=DM，连接EM，由等边三角形的性质、邻补角、四边形的内角和及同角的补角相等得∠EPC=∠EDM，从而由SAS判断出△EPC≌△EDM，得EC=EM，∠PEC=∠DEM，推出∠CEM=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△CEM是等边三角形，则∠ECM=60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP'=CP，连接EP'，用SAS证明△CEP≌△CEP'，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值．
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