4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学设计（表格式）

n次方根与分数指数幂
课型 新授课 复习课□ 试卷讲评课□ 其它课□
教学内容分析 本节主要内容是n次方根的定义、根式的概念、根式与整数指数幂及分数指数幂的关系、有理数指数幂的运算性质，它们是后续学习指数函数的基础,属于基本概念的范围,是解决复杂问题的“工具”。 在考试中，单独考查本节知识的情况不多，更为普遍的是将本节内容与其他知识进行综合，以凸显本节内容的基础性地位。 本节所涉及的核心素养有:数学抽象、逻辑推理和数学运算等。
学情分析 在初中已经学方根、立方根的概念,在此基础上由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，进而引出根式的概念，学生还是比较容易接受的。 在将指数幂运算性质的适用范围从整数推广到有理数的过程中，可能会遇到的难点是对非整数指数幂意义的理解,这里教师需要注意学生的领会程度，做好重点教学的准备。
学习目标 （1）通过对平方根和立方根概念的扩充过程，提炼次方根和分数指数幂的概念,能熟练进行根式与分数指数幂的互化； （2）通过整数指数幂的运算性质到分数指数幂的运算性质的推广过程，得到有理数指数幂的运算性质，能准确化简代数式。 重点：根式、分数指数幂的概念；有理数指数幂的运算性质。 难点：有理数指数幂运算性质的应用。
评价任务 （1）通过例2、3检测学习目标（1）是否达成； （2）通过例1检测学习目标（2）是否达成。
学习活动设计 教师活动学生活动环节一：创设情景，复习导入问题 如果，则______；叫做9的______ 如果，则______；叫做3的______ 如果，则______；叫做8的______ 如果，则______；叫做-8的______ …… 如果,那么我们该如何称呼？解决 如果，那么叫做的平方根（二次方根），其中叫做的算术平方根；如果，那么叫做的立方根（三次方根）。 设计意图： 由学生比较熟悉的简单的问题入手，通过温故知新，帮助学生在学习了开平方和开立方概念的基础上，正确理解根式的概念，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。 环节二：观察归纳，概念形成教师活动 问题1 类比平方根、立方根概念，试归纳出n次方根的概念。 问题2 观察下列式子，并总结出规律。 问题3 根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式呢？ 如：, , 学生活动 问题1解决 一般地，如果，那么叫做的次方根。 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。 问题2解决 结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整 除时,根式可以表示为分数指数幂的形式。 问题3解决 结论:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式。 规定：, 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义。设计意图： 让学生经历从“特殊—一般”“归纳—猜想”的过程，培养学生合情推理能力，同时让学生经历指数幂的再发现过程，培养学生的创造能力，提升学生的逻辑推理核心素养。环节三： 概念深化，探索新知教师活动 问题1 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？ 问题2 计算： 结论： 类比上面的研究方法：由特殊到一般，你能得到的值吗？ 结论： 问题3 整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此有理数指数幂是有意义的，有理数指数幂的运算性质是什么呢？学生活动 问题1解决 当n是奇数时，a的n次方根有一个，为 . 当n是偶数时,若a>0，则a的n次方根有两个，为 ; 若a=0，则a的n次方根为0； 若a<0，则a的n次方根不存在。 问题2解决 结论： 问题3解决 （1） （2） （3）设计意图：通过对n次方根奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解和掌握n次方根的概念，培养学生掌握知识的准确性、全面性，同时培养学生分类讨论的能力，提升逻辑推理核心素养。 环节四：运用知识，强化练习教师活动 例1 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 例2 求值： （1）； （2）. 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式 （其中）： （1）; (2).学生活动 学生思考，口答。 例1 分析：当n为偶数时，应先写成，再去绝对值符号。 答案：（1）-8；（2）10； （3）；（4） 例2 分析：（1）先将8写成的形式，再进行运算； （2）先将写成的形式，再进行运算。 答案：（1）4 （2） 例3 分析：先把根式化为分数指数幂的形式，再由运算性质来运算。 答案：（1） (2) 设计意图：通过例题的解答，进一步理解根式的概念，有理数指数幂的运算性质，提升学生的数学运算核心素养。环节五：归纳小结，强化思想教师活动 1.知识清单 2.学生反思 （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？学生活动 学生自主总结，学生间补充完善。 设计意图： 加强对本节课所学知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯。
板书设计 4.1.1 n次方根与分数指数幂 一、复习 3.n次方根的性质 平方根、立方根 二、新知 1.n次方根与根式的概念 2.根式与指数幂的形式转化 4.有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3）
作业与拓展学习设计 教材第107页1、2、3题
特色学习资源分析、技术手段的应用说明 多媒体课件
教学反思与改进 在教学过程中，对任何细节，都应鼓励学生追根溯源，凡事都去问为什么。寻找它与其他事物之间的联系，运用类比联想去主动的发现问题解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构 和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习，使它逐渐成为学生的一种根深蒂固的习惯。这样，可以增进热爱数学的情感，应用数学的自信心和形成新的学习动力。
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