2024-2025学年湖南省“金太阳联考”高二12月联考数学试题(含答案）

2024-2025学年湖南省“金太阳联考”高二12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列的前项和为，，，则
A. B. C. D.
4.已知椭圆：，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为
A. B. C. D.
5.在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则
A. B. C. D.
6.在各项均不为零的数列中，，，，若，则
A. B. C. D.
7.已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的一个交点为位于轴的右侧，过点作，垂足为，连接，交抛物线于点在线段上，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法一定正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知正方体的棱长为，为侧面内含边界的一个动点，，分别是线段，的中点，则下列结论正确的是
A. 的最大值为
B. 过点的正方体的截面有可能是正五边形
C. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D. 当时，三棱锥的体积为定值
11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其形状类似打横的阿拉伯数字，对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，是双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是
A. 双纽线上不存在点，使得
B. 双纽线的图象关于轴对称，关于轴对称，也关于原点对称
C. 若，则的周长可以为
D. 若，则的面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，是一次随机试验中的两个相互独立事件，且，，则_________．
已知双曲线：，若有且仅有一对过原点且所成的角为的直线和，使得，其中，和，分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_________．
按照如下规则构造数表：第一行是；第二行是，，即，；第三行是，，，，即，，，；整理如下：
，
，，，
，，，，，，，
记第行所有数字之和为，比如，，令，比如，则_________．
13.已知双曲线：，若有且仅有一对过原点且所成的角为的直线和，使得，其中，和，分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
14.按照如下规则构造数表：第一行是；第二行是，，即，；第三行是，，，，即，，，；整理如下：
，
，，，
，，，，，，，
记第行所有数字之和为，比如，，令，比如，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为线段的中点．
证明：平面D.
求平面与平面夹角的大小．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且，．
求角的大小；
若点为的垂心，的延长线交于点，且，求的面积．
18.本小题分
已知，，动点与点的距离是它与点的距离的倍，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程．
试判断曲线与圆是否有公共点．若有，求出公共点所在直线的方程．
过原点的直线与曲线交于，两点，其中点在第一象限，过原点的另一条直线与曲线交于，两点，其中点在第二象限，直线，分别与轴交于点，，证明：点，关于轴对称．
19.本小题分
已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，离心率为，点在椭圆上，直线点在点的右上方被圆截得的线段的长为，且．
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于点，异于，，设直线，的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值；
设为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.；
；

13.
14.
15.解：根据题意易得，
则，，，
得，，
所以，D.
因为，平面，平面，
所以平面D.
解：如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
，，，，
，
由易得平面的个法向量为
设平面的法向量为，
则
取，则，，即
，，
所以平面与平面的夹角为．

16.解：数列的前项和为，且，
当时，，则．
则，
．
，则，
记，，
又，，
两式相减得，
，
故．
17.解：，，则，
在中，，
，则， ，
， ．
连接并延长，交于点，则，，．
在中，由，得．
在中，由，得C.
易证， ， 则，
， ，，
故．
18.解：设，由，
得，
化简得，
即曲线的方程为；
因为曲线的方程为，即，
所以曲线是以为圆心，为半径的一个圆．
圆的方程可化为，其圆心为，半径为．
因为，
所以曲线与圆相交，有两个公共点．
设这两个公共点为，，
把圆与圆的方程联立得，
显然，，
所以直线的方程为．
设直线的方程为，直线的方程为，
，，，，
则直线的方程为，
令，解得，
所以点的坐标为，同理可得点的坐标为，
联立得，
则，，所以，
即，同理可得，
所以，即，即，
又，，所以，
即，所以点，关于轴对称

19.解：由已知有，又由，可得，．
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由已知得，解得，
联立消去整理得，解得或．
又点在点的右上方，所以的坐标为，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，，
联立消去整理得，
，，．
所以
．
由得直线的方程为，直线的方程为，
联立两条直线方程，解得，所以
又，，，，
所以
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．

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