2024-2025学年上海华东师范大学二附中高一上学期数学月考试卷及答案（2024.10）（含答案）

华二附中2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.10
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．设全集，集合，则________．
2．已知，，则的取值范围为________．
3．设，“”是“”的一个________条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）
4．已知集合，集合，则________．
5．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为______（填数字）．
6．已知集合，，若，则的取值范围是________．
7．“若且，则”的否命题，逆命题，逆否命题中正确的命题个数是________．
8．集合，，则________．
9．已知关于的不等式的解集为，
① ②不等式的解集是
③ ④不等式的解集为
上命题正确的序号是________．
10．已知关于的不等式的解集非空，并且解集中的每一个的值至少满足不等式和中的一个，则实数的取值范围为________．
11．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围为________．
12．定义区间，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为________．
二、单选题（本大题共4题，满分18分，第13-14题4分，第15-16题5分）．
13．若集合，，则满足的实数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
15．已知，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
求下列关于的分式不等式的解集：（1）；（2）．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设集合，．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
设，是实数，集合，集合，集合．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围；
（3）若且，求的取值范围．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知，为常数，函数．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）当时，对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实数根．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．
（1）若，，求和；
（2）若满足且，求的所有可能结果；
（3）是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.充分不必要; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.①②④; 10.； 11. 12.
11．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为关于的不等式恰好有4个整数解,
所以关于的不等式恰好有4个整数解,
且,则有解得.
又方程的根为,即或,
所以不等式的解集为.
因为,所以,所以不等式的4个整数解只能是2,3,4,5,所以,结合,解得,即实数的取值范围为.
12．定义区间，，，的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为________．
【答案】
【解析】原不等式可转化为①
对于,其判别式,故其必有两不相等的实数根,设为,由求根公式得,
下证,
构造函数,其两个零点为,且,
而所以
由于,且
由二次函数的性质可知,故不等式①的解集为
其长度之和为
二、选择题
13.B 14. C 15.C 16.B
15．已知，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】充分性:若,则,
必要性:若,又
由绝对值的性质:若,则
所以"成立"是"成立"的充要条件,故选:.
16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原不等式等价于①或②,
由①得,或,设②式,即的解集为C，则由题意有，，解得，故选：B
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2） （3）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知，为常数，函数．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；
（3）当时，对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实数根．
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】（1），当时，；
当时，；当时,;
（2）,
①因为,所以; ②因为,所以;
③当时,,解得符合题意;
④当时，解得符合题意；
综上所述,实数的取值范围为;
(3)证明:设,
则
,
又函数在区间上为连续不断的一条曲线,由零点的判定定理可得在区间）内有一个实根.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．
（1）若，，求和；
（2）若满足且，求的所有可能结果；
（3）是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）、. （3）
【解析】（1）由题意
（2）由且
同理,或1时,
或1时，
或1时，
所以（1）等价于,则,,
当,则为满足；当,则为满足,
当,则为满足,当,则为满足,
综上,的所有可能结果、.
（3）存在正整数使且,理由如下:
由,,则
所以
若
所以
若则
当时,恒成立,
综上,所有取值为使成立.