课件36张PPT。课件25张PPT。课件22张PPT。课件18张PPT。课件25张PPT。课件30张PPT。课件24张PPT。课件19张PPT。课件28张PPT。课件24张PPT。课件30张PPT。课时作业(一) 数列的概念
(限时：10分钟)
1．已知数列1，，，，…，，则3是它的( )
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
解析：∵3＝＝，∴n＝23.
答案：B
2．若数列的前四项为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
A．an＝1＋(－1)n＋1
B．an＝1－cosnπ
C．an＝2sin2
D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
解析：将选项中各通项公式写出前4项，看是否为题干中的数即可．
答案：D
3．已知数列的通项公式an＝则a2·a3等于( )
A．70 B．28
C．20 D．8
解析：数列的通项公式为分段函数形式，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，故a2·a3＝20.
答案：C
4．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝log3(n＋1)，则a5等于__________．
解析：a5＝S5－S4＝log36－log35＝log3.
答案：log3
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an且a1＝，求其通项公式．
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
∴(n－1)2an－1＝(n2－1)an，
即＝＝(an－1≠0)，
∴an＝··…··a1
＝··…··a1
＝·a1＝×＝，
又a1＝也适合上式，∴an＝.
(限时：30分钟)
1．已知数列，，，，…，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项的应当有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：观察数列的前几项可得此数列的通项公式为an＝.令0.98＝，解之得n＝49.令0.96＝，解之得n＝24.
答案：C
2．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则数列的第5项为( )
A．6 B．－3 C．－12 D．－6
解析：由题意可知a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，所以数列的第五项为－6，选D.
答案：D
3．已知数列{an}对任意的p、q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
解析：分别令p取2,4,6,8，q始终取2，
可得a4＝a2＋a2，
a6＝a4＋a2，
a8＝a6＋a2，
a10＝a8＋a2，
叠加可得a10＝5a2.
又∵a2＝－6，∴a10＝－30，故选C.
答案：C
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
解析：方法一：分别令n＝1,2，…，n－1，
有a2＝a1＋ln2，
a3＝a2＋ln，
…
an＝an－1＋ln.
以上各式相加得an＝a1＋ln2＋ln＋…＋ln＝2＋lnn.
方法二：由题意可知an＋1＝an＋ln，
即an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，
于是an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnn－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋lnn.
答案：A
5．由a1＝1，an＋1＝给出的数列{an}的第34项是( )
A. B．100 C. D.
解析：由an＋1＝，得－＝3，an＝，
∴a34＝.
答案：C
6．若数列{an}满足关系：an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝( )
A. B. C. D.
解析：a7＝＝，a6＝＝，a5＝＝.
答案：C
7．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据前面几个数的变化规律填出后面的数，现给出一组数：，－，，－，，…，则它的第8个数应当是__________．
解析：前5个数依次是，－，，－，，故第8个数为－＝－.
答案：－
8．在数列{an}中，a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an＋2，则a4＝__________.
解析：写出前4项即可．
答案：14
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，则其通项an＝__________，若它的第k项满足5＜ak＜8，则k＝__________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝－8，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，∵a1＝－8，适合上式，∴an＝2n－10.又5＜2k－10＜8，
∴＜k＜9，∴k＝8.
答案：2n－10 8
10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项？
解析：(1)设an＝an＋b，∴a1＝a＋b＝2，①
a17＝17a＋b＝66，②
由②－①得16a＝64，∴a＝4，b＝－2，∴an＝4n－2.
(2)令4n－2＝88，得n＝?N*，∴88不是数列{an}中的项．
11．已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式．
解析：∵log2(Sn＋1)＝n＋1，∴Sn＋1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－1.
当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
∴{an}的通项公式为an＝
12．在数列{an}中，an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.
(1)求a5；
(2)127是这个数列的第几项？
解析：(1)∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝3a2－2a1＝3×3－2×1＝7，a4＝3a3－2a2＝3×7－2×3＝15，a5＝3a4－2a3＝3×15－2×7＝31.
(2)由a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31得a1＝21－1，a2＝22－1，a3＝23－1，a4＝24－1，a5＝25－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.令2n－1＝127，得2n＝27，解得n＝7.
∴127是这个数列的第7项．
课时作业(二) 数列的函数特性
(限时：10分钟)
1．已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a，b均为大于0的常数，那么an与an＋1的大小关系是( )
A．an＞an＋1 B．an＜an＋1
C．an＝an＋1 D．与n的取值有关
解析：an＋1－an＝－＝＞0，故选B项．
答案：B
2．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且n∈N*)，则a17等于( )
A．1 B．2
C. D．2－987
解析：由已知，得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝.
答案：C
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是( )
A．k＞0 B．k＞－1
C．k＞－2 D．k＞－3
解析：an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)．对于n∈N*都成立，而－(2n＋1)当n＝1时取到最大值－3，所以k＞－3.故选D项．
答案：D
4．若数列{an}的通项公式an＝5·2n－2－4n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于__________．
解析：设n－1＝t∈(0,1]，则5·2n－2－4·n－1＝5t2－4t，∴t＝1，即n＝1时，取最大值，t＝，n＝2时，取最小值，即x＝1，y＝2.∴x＋y＝3.
答案：3
5．在数列{an}中，an＝(n＋1)n(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an}先递增，后递减；
(2)求数列{an}的最大项．
解析：(1)证明：令≥1(n≥2)，即≥1.整理得≥，解得n≤10.令≥1，即≥1.
整理得≥，解得n≥9.
∴数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减．
(2)由(1)知a9＝a10＝最大．
(限时：30分钟)
1．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列的最大项的值是( )
A．107 B．108
C．108 D．109
解析：an＝－2＋3＝－22＋＋3，n＝7时，a7＝108为最大项．
答案：B
2．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，则该数列前2 008项的和S2 008等于( )
A．670 B．669
C．1 338 D．1 339
解析：∵a1＝a2＝1，∴a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0.
∴{an}是周期为3的周期数列．∴S2 008＝669(a1＋a2＋a3)＋a2 008＝669×2＋a1＝1 338＋1＝1 339.
答案：D
3．已知数列{an}：3,5,7，…，2n＋1，…，另作一数列{bn}，使得b1＝a1，当n≥2时，bn＝abn－1，则数列{bn}的第五项是( )
A．15 B．31
C．63 D．127
解析：an＝2n＋1，∴bn＝abn－1＝2bn－1＋1(n≥2)．
∴bn＋1＝2(bn－1＋1)，b1＝a1＝3.因此数列{bn＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴b5＋1＝4×24，b5＝63.
答案：C
4．若数列{an}前8项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为( )
A．{a2k＋1} B．{a3k＋1}
C．{a4k＋1} D．{a6k＋1}
解析：数列{an}是周期数列，周期为8,2k＋1、4k＋1、6k＋1均为奇数，因此，a2k＋1、a4k＋1、a6k＋1均不能取偶数项，舍A、C、D.
答案：B
5．数列{an}中，an＝n－1，则下列叙述正确的是( )
A．最大项为a1，最小项为a3
B．最大项为a1，最小项不存在
C．最大项不存在，最小项为a3
D．最大项为a1，最小项为a4
解析：令t＝n－1，则t＝1，，2，…，且t∈(0,1]，则an＝t(t－1)，故最大项为a1＝0，令n－1＝，n＝3时，n－1＝，当n＝4时，n－1＝，又＜，n＝3时，an最小．
答案：A
6．观察下列数表的规律，
则从数2 007～2 008的箭头方向是( )
解析：可分成(1,2,3,4)，(5,6,7,8)，…，每四个数一组.2 007＝4×501＋3，∴2 007在一组中的第三个数．
答案：D
7．若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2 013＝__________.
解析：因为a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，所以a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，显然当n是奇数时，an＝3，所以a2 013＝3.
答案：3
8．已知{an}是递增数列，且对任意n∈N*，都有an＝n2－2λn恒成立，则实数λ的取值范围是__________．
解析：由题意知an＋1＞an对任意n∈N*恒成立，所以λ＜对任意n∈N*恒成立，即λ＜.
答案：λ＜
9．若数列{n(n＋4)n}中的最大项是第k项，则k＝__________.
解析：an＝n(n＋4)n，则＝＝.
于是2(n＋1)(n＋5)－3n(n＋4)＝－n2＋10，令－n2＋10＞0得－＜n＜，则＞1，n＜4时递增；令－n2＋10＜0得n＞，则＜1，n≥4时递减，故a4是最大项，即k＝4.
答案：4
10．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明数列{an}是递减数列．
解析：(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，an－＝－2n，
∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
∵an＞0，∴an＝－n，n∈N*.
(2)证明：＝＝＜1.∵an＞0，∴an＋1＜an，
∴数列{an}是递减数列．
11．已知正数列{an}中，2a＝1＋an(n∈N*)．
(1)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；
(2)试求a1的取值范围，使得数列{an}为递增数列．
解析：(1)欲使正数列{an}是一个常数数列，则an＋1＝an，根据题意，得2a＝1＋an，解得an＝1或an＝－(舍去)，即a1＝an＝1，此时正数列{an}为一个常数数列．
(2)∵2a＝1＋an,2a＝1＋an－1，∴两式相减，得2(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an－an－1，∵an＋1＋an＞0，∴an＋1－an与an－an－1同号，即an＋1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1有相同的符号．要使an＋1＞an对任意自然数都成立，只需a2＞a1即可．由－a1＞0，解得－＜a1＜1.又a1＞0，
∴0＜a1＜1.
∴当0＜a1＜1时，数列{an}为递增数列．
12．已知数列{an}的通项公式为an＝·n，n∈N*.
(1)求a1，a2；
(2)判断数列{an}的增减性，并说明理由；
(3)设bn＝an＋1－an，求数列的最大项和最小项．
解析：(1)a1＝0.45，a2＝1.215.
(2)an＋1－an＝(n＋0.5)·0.9n＋1－(n－0.5)·0.9n
＝0.9n(0.9n＋0.45－n＋0.5)
＝－0.1×0.9n×(n－9.5)，n∈N*.
当1≤n≤9，n∈N*时，an＋1－an＞0，数列{an}为递增数列；
当n≥10，n∈N*时，an＋1－an＜0，数列{an}为递减数列．
(3)由(2)可得，bn＝an＋1－an＝－0.1×0.9n×(n－9.5)，n∈N*.
令cn＝，则转化为求数列{cn}的最大项和最小项．
cn＝＝0.9·＝0.9.
则数列{cn}在1≤n≤9，n∈N*时递减，此时c9≤cn＜0.9，即－0.9≤cn＜0.9；
数列{cn}在n≥10，n∈N*时递减，此时0.9＜cn≤c10，即0.9＜cn≤2.7.
因此数列{cn}的最大项为c10＝2.7，最小项为c9＝－0.9.
即数列的最大项为2.7，最小项为－0.9.
课时作业(三) 等差数列的概念与通项公式
(限时：10分钟)
1．等差数列{an}中，a2＝－5，d＝3，则a5为( )
A．－4 B．4
C．5 D．6
解析：a5＝a1＋4d＝(a1＋d)＋3d＝a2＋3d＝－5＋3×3＝4.
答案：B
2．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
解析：∵2an＋1＝2an＋1，∴an＋1＝an＋.
∴an＋1－an＝.
∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列．
∴a101＝a1＋(101－1)d＝2＋＝52.
答案：D
3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C.又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.
答案：B
4．已知等差数列{an}中，a1＝－a9＝8，则an＝__________.
解析：等差数列{an}中，a1＝8，a9＝－8，a9＝a1＋8d，∴d＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)×d＝8－2(n－1)＝10－2n.
答案：10－2n
5．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列．
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝n，
∴由bn＝得，数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1.
(限时：30分钟)
1．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )
A．－2 B．－ C. D．2
解析：由
解得：，故选B.
答案：B
2．数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的递增等差数列
B．是公差为5的递增等差数列
C．是首项为7的递减等差数列
D．是公差为2的递减等差数列
解析：∵an＝2n＋5，∴a1＝7，d＝2，故选A.
答案：A
3．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：由a1＋d＋a1＋7d＝12可得：a1＋4d＝6，即a5＝6，故选C.
答案：C
4．已知数列{an}中，an＝2＋an－1(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的第10项为( )
A．18 B．19 C．20 D．21
解析：∵an＝2＋an－1(n≥2)，∴an－an－1＝2(n≥2)，即d＝2.
∵a1＝1，∴a10＝1＋9×2＝19，故选B.
答案：B
5．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
答案：B
6．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差的取值范围是( )
A．d＞ B．d＜3
C.≤d＜3 D.＜d≤3
解析：由已知a10＞0，且a9≤0，即将a1＝－24代入解得＜d≤3.
答案：D
7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.
解析：由解得：，
∴a6＝3＋5×2＝13.
答案：13
8．数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则an＝__________.
解析：将点(，)代入直线方程，得－＝.
由等差数列定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列．故＝＋(n－1)＝n.所以an＝3n2.
答案：3n2
9．若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.
解析：由题意，可知：y＝x＋4(a2－a1)，y＝x＋5(b3－b2)，
∴＝.
答案：
10．已知等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，a5·a6·a7＝45，求数列{an}的通项公式．
解析：设a5＝a6－d，a7＝a6＋d，则由a5＋a6＋a7＝15，得3a6＝15.∴a6＝5.
由已知可得.解得或
当a5＝1时，d＝4.
从而a1＝－15.
an＝－15＋(n－1)×4＝4n－19.
当a5＝9时，d＝－4，从而a1＝25.
∴an＝25＋(n－1)×(－4)＝－4n＋29.
11．已知数列{an}满足a1＝1，＝，an>0，求an.
解析：∵＝ .
∴＝2＋，－＝2.
∴数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列．
∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
又an>0，∴an＝(n∈N*)．
12．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
解析：(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时，令a2＝b1＝1，
a3＝b2＝3，
a4＝b3＝5，
…
an＝bn－1＝1＋2[(n－1)－1]＝2n－3.
又a1＝1，∴an＝
课时作业(四) 等差数列的性质
(限时：10分钟)
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16
C．20 D．24
答案：B
2．等差数列{an}中，若a2＋a4 024＝4，则a2 013＝( )
A．2 B．4
C．6 D．－2
解析：2a2 013＝a2＋a4 024＝4，∴a2 013＝2.
答案：A
3．已知等差数列{an}中，a7＝，则tan(a6＋a7＋a8)等于( )
A．－ B．－
C．－1 D．1
解析：在等差数列中，a6＋a7＋a8＝3a7＝，
∴tan(a6＋a7＋a8)＝tan＝－1.
答案：C
4．如果等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，则数列{2an－3}是公差为________的等差数列．
解析：设数列{an}的公差为d，则a3－a1＝2d＝4，
∴d＝2，∴数列{2an－3}的公差为4.
答案：4
5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解析：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
(限时：30分钟)
1．已知等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a6＝26，则a8的值是( )
A．9 B．13
C．18 D．22
解析：∵a2＋a8＝a4＋a6＝26，∴a8＝26－a2＝22.
答案：D
2．如果一个等差数列{an}中，a2＝3，a7＝6，那么它的公差是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：d＝＝，故选A.
答案：A
3．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：由a4＋a5＝a7＋a2，可得：15＝12＋a2，
∴a2＝3，故选A.
答案：A
4．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于( )
A．100 B．120
C．140 D．160
解析：由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，得：a6＝60，∴a2＋a10＝120，故选B.
答案：B
5．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝( )
A．40 B．42
C．43 D．45
解析：方法一：∵a2＋a3＝2a1＋3d＝13，又∵a1＝2，∴d＝3.
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42.
方法二：a1＋a2＋a3＝3a2＝15，
∴a2＝5，d＝3，a5＝a1＋4d＝14，
∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3×14＝42.
答案：B
6．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
解析：设cn＝an＋bn，则cn为等差数列，又c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，从而c37＝100.
答案：C
7．在等差数列{an}中，a1·a3＝8，a2＝3，则公差d等于________．
解析：由，解得：或.
∴d＝±1.
答案：±1
8．已知数列{an}为等差数列，且a5＝11，a8＝5，则an＝________.
解析：由解得：，
∴an＝19＋(n－1)·(－2)＝－2n＋21.
答案：－2n＋21
9．等差数列的前4项依次是a－1，a＋1,2a＋3,2b－3，则a，b的值分别为________．
解析：由
解得.
答案：0,4
10．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解析：方法一：因为{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为其第4项，∴a60＝a15＋3d，得d＝4.
∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
方法二：设{an}的公差为d，因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
∴解得
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
11．在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a6＋a20＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
解析：(1)由等差数列的性质知，a2＋a24＝a6＋a20＝2a13，根据已知条件a2＋a6＋a20＋a24＝48，得4a13＝48，解得a13＝12.
(2)由等差数列的性质知，a2＋a5＝a3＋a4，根据已知条件a2＋a3＋a4＋a5＝34，得a2＋a5＝17，由，解得或，所以d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
12．已知数列{an}的通项公式为an＝3n＋2，从这个数列中依次取第1,4,7,10，…，3n－2项按原来的顺序排成新数列{bn}，求{bn}的通项公式．
解析：∵an＝3n＋2，∴数列{an}是等差数列．
∴a1，a4，a7，…也是等差数列．
∴b1＝5，b2＝a4＝14，b3＝a7＝23.
∴{bn}是以5为首项，9为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)×9＝5＋(n－1)×9＝9n－4.
课时作业(五) 等差数列的前n项和
(限时：10分钟)
1．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10等于( )
A．138 B．135
C．95 D．23
解析：∵a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，∴(a5－a4)＋(a3－a2)＝2d＝6.∴d＝3.又a2＋a4＝2a1＋4d＝4，
∴a1＝－4.
∴S10＝10a1＋d＝－40＋45×3＝95.
答案：C
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于( )
A．18 B．36
C．54 D．72
解析：∵a4＝18－a5，∴a4＋a5＝18.
∴S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a4＋a5)＝72.
答案：D
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a13＝S13＝13，则a1＝( )
A．－14 B．－13
C．－12 D．－11
解析：在等差数列中，S13＝＝13，
所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.
答案：D
4．有一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小角为100°，则边数n＝________.
解析：n×100°＋×10°＝(n－2)×180°，解得n＝8或n＝9.又an＝100°＋(n－1)×10°<180°，
∴n＝8.
答案：8
5．设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2.求数列{an}的通项公式．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[(an＋1)2－(an－1＋1)2]．
整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.
∴{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列．
∴an＝2n－1.
(限时：30分钟)
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B．16
C．49 D．64
解析：由Sn＝n2可得：an＝2n－1，∴a8＝15，∴选A.
答案：A
2．在各项均为非零实数的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)．则S2n－1－4n＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：∵an＋1－a＋an－1＝2an－a＝0且an≠0，
∴an＝2，∴S2n－1－4n＝(2n－1)·2－4n＝－2.故选A.
答案：A
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于( )
A．1 B.
C．－2 D．3
解析：由S3＝3×4＋d＝6，解得：d＝－2，
∴选C.
答案：C
4．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：由a3＋a5＝a1＋2d＋a1＋4d＝2＋6d＝14得：d＝2.
∴Sn＝n＋·2＝n2＝100.∴n＝10，故选B.
答案：B
5．若{an}是等差数列，满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a99＝0 D．a55＝51
解析：∵S101＝＝0，
∴a1＋a101＝0.∴a3＋a99＝a1＋a101＝0.∴选C.
答案：C
6．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为( )
A．9 B．10
C．19 D．20
解析：设从上到下第n层的钢管数为an，则由最上一层到第n层的钢管数组成的数列{an}为等差数列，且公差d＝1，a1＝1，Sn＝.要使剩余的钢管数最少，则用到的钢管数最多．又S19＝190<200，S20＝210>200，所以堆放19层时，所剩钢管数最少，剩余钢管根数为200－190＝10.
答案：B
7．在等差数列{an}中，若a10＝10，a19＝100，前n项和Sn＝0，则n＝________.
解析：由解得，
∴Sn＝－80n＋×10＝5n2－85n，由Sn＝0解得n＝17.
答案：17
8．已知数列{an}中，a1＝－7，an＋1＝an＋2，则a1＋a2＋…＋a17＝________.
解析：∵a1＝－7，d＝2，∴S17＝17×(－7)＋×2＝153.
答案：153
9．在等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则＝______________.
解析：由12a1＋d＝8得10a1＝9d，
∴＝.
答案：
10．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，并判断是否为等差数列．
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n；
当n＝1时，a1＝S1＝1.
∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴an＝
∴{an}不是等差数列．
11．已知等差数列{an}．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解析：(1)由题意，得Sn＝＝＝－5.
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
12．设正项数列{an}的前n项和为Sn，并且对于任意n∈N*，an与1的等差中项等于，求数列{an}的通项公式．
解析：由题意知＝，故得Sn＝.∴a1＝S1＝1.
又∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝[(an＋1＋1)2－(an＋1)2]
∴(an＋1－1)2－(an＋1)2＝0.即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，
∵an>0.∴an＋1－an＝2，
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝2n－1.
课时作业(六) 等差数列前n项和的性质与应用
(限时：10分钟)
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( )
A．12 B．18
C．24 D．42
解析：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2,8，S6－10成等差数列，S6＝24.
答案：C
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：由题意得S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.或由解方程组求得d＝3，故选C.
答案：C
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )
A．1 B．－1
C．2 D.
解析：＝＝×＝1.
答案：A
4．已知数列{an}的通项公式an＝5－n，则当|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝16时，n＝________.
解析：由an＝5－n，可得n<5时，an>0；
n＝5时，a5＝0；
n>5时，an<0，而a1＋a2＋…＋a5＝10，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋a7＋…＋an)＝16.
∴20＋＝16，解得n＝8.
答案：8
5．设Sn为等差数列的前n项和，若Sm＝40，S3m＝345，求S2m.
解析：∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m.
∴2(S2m－40)＝40＋345－S2m.∴S2m＝155.
(限时：30分钟)
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝6，则S5等于( )
A．10 B．12
C．15 D．30
解析：S5＝＝＝＝15.
∴选C.
答案：C
2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21
C．28 D．35
解析：a3＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝＝7a4＝28.
答案：C
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( )
A．36 B．18
C．72 D．9
解析：由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列，可知：S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36.
答案：A
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
解析：∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
答案：B
5．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值时的正整数n的值是( )
A．4和5 B．5和6
C．6和7 D．7和8
解析：∵|a5|＝|a9|，∴a5＋a9＝0，∴a7＝0，∵d>0，∴a6<0，a8>0，∴S6＝S7且最小，故选C.
答案：C
6．数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S7S10，则在下列结论中错误的是( )
A．a9＝0
B．d<0
C．S11>S7
D．S8与S9均为Sn的最大值
解析：∵S70，∵S8＝S9，∴a9＝0，
∵S9>S10，
∴a10<0，∴选C.
答案：C
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝5a3，则＝__________.
解析：由a5＝5a3，得＝5，∴＝＝＝×5＝9.
答案：9
8．数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，若前n项和为，则项数为________．
解析：∵an＝－，∴Sn＝1－＝，
解得：n＝10.
答案：10
9．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn、Tn，且＝，则＝________.
解析：＝＝＝.
答案：
10．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式及Sn的最小值．
解析：a1＝S1＝1－10＝－9.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－10n)－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.当n＝1时也适合，
∴{an}的通项公式为an＝2n－11(n∈N*)．
∵Sn＝n2－10n＝(n－5)2－25，
∴当n＝5时，Sn最小，最小值为S5＝－25.
11．数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.
(1)从第几项开始有an<0?
(2)求此数列的前n项和的最大值．
解析：(1)∵a1＝50，d＝－0.6，
∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6.
令－0.6n＋50.6<0，得n>＝84.
由于n∈N*，故当n≥85时，an<0，
即从第85项开始，各项均小于0.
(2)解法一：∵d＝－0.6<0，a1＝50>0，
由(1)知a84>0，a85<0，
∴a1>a2>a3>…>a84>0>a85>a86>….
∴数列的前n项和的最大值为
S84＝50×84＋×(－0.6)＝2108.4.
解法二：Sn＝50n＋×(－0.6)
＝－0.3n2＋50.3n
＝－2＋，
∴当n＝84时，Sn达到最大值
S84＝50×84＋×(－0.6)＝2108.4.
12．在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
解析：等差数列{an}的公差d＝＝＝3.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
又∵an＜0，∴3n－63＜0；n＜21.
∴等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．设Sn和S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和．
当n≤20时，
S′n＝－Sn＝－
＝－n2＋61n.
当n＞20时，
S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
＝－60n＋－2
＝n2－61n＋1260.
∴数列{|an|}的前n项和为
S′n＝
课时作业(七) 等比数列的概念与通项公式
(限时：10分钟)
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( )
A．－ B．－2
C．2 D.
解析：＝＝q3＝＝，∴q＝.
答案：D
2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.
解析：由题知a6＝a1q5＝32×5＝－1，故选B.
答案：B
3．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1a3＝4，a4＝8，则a1＋q的值为( )
A．3 B．2
C．3或－2 D．3或－3
解析：由得
∴②2÷①得q4＝16，∴q＝±2.
从而当q＝2时，a1＝1；
当q＝－2时，a1＝－1.
∴a1＋q的值为3或－3.
答案：D
4．已知正项等比数列{an}中，a1＝1，a－anan＋1－2a＝0，则an＝________
解析：∵a－anan＋1－2a＝0，
∴(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0.
又∵an>0，∴an＋1－2an＝0.∴＝2.又a1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n－1.
答案：2n－1
5．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn，n∈N*，求证：数列为等比数列．
证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴an＋1＝Sn可化为Sn＋1－Sn＝Sn，即Sn＋1＝.
∴＝2.又∵a1＝1，∴＝1.
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列．
(限时：30分钟)
1．等比数列{an}的公比q＝3，a1＝，则a5等于( )
A．3 B．9
C．27 D．81
解析：a5＝a1q4＝×34＝27.
答案：C
2．已知数列{an}是等比数列，则an不可能等于( )
A．－5 B．0
C．1 D．2011
解析：由等比数列的定义可知，an≠0，∴选B.
答案：B
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：∵－9＝－1·q4，∴q4＝9，∴q＝±，
∴b＝－1·q2＝－3，ac＝b2＝9，∴选B.
答案：B
4．在等比数列{an}中，已知a1a2a12＝64，则a4a6的值为( )
A．16 B．24
C．48 D．128
解析：设公比为q，则a1a2a12＝aq12＝64，所以a1q4＝4.
所以a4a6＝(a1q4)2＝16.
答案：A
5．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于( )
A. B.
C. D．2
解析：设公比为q，由已知，得a1q2a1q8＝2(a1q4)2，则q2＝2，因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝.所以a1＝＝＝.
答案：B
6．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
解析：设数列{an}的公比为q(q≠0)，因为a1，a3，2a2成等差数列，则a1＋2a2＝a3，即a1＋2a1q＝a1q2.
则1＋2q＝q2，解得q＝1±.又等比数列{an}中，各项都是正数，则q>0，则q＝1＋.所以＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
答案：C
7．2＋与2－的等比中项是________．
解析：G＝±＝±1.
答案：±1
8．在等比数列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，则n＝________.
解析：∵an＝×n－1＝，
∴n－1＝＝3，∴n＝4.
答案：4
9．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于________．
解析：由等差数列的通项公式，得an＝(n＋8)d，∴ak＝(k＋8)d，a2k＝(2k＋8)d，由条件，得(k＋8)2d2＝9d·(2k＋8)d.
∵d≠0，∴(k＋8)2＝18(k＋4)(k>0)．解得k＝4，k＝－2(舍)，∴k＝4.
答案：4
10．已知等比数列{an}中，a1＝，a7＝27.求an.
解析：由a7＝a1q6，得27＝·q6，
∴q6＝272＝36，∴q＝±3.
当q＝3时，an＝a1qn－1＝×3n－1＝3n－4；
当q＝－3时，an＝a1qn－1＝×(－3)n－1＝
－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.
故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.
11．在数列{an}中，若a1＝1,2an－an－1＋1＝0(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解析：∵a1＝1,2an－an－1＋1＝0(n≥2)，
∴2an＝an－1－1，
∴2(an＋1)＝an－1＋1，
∴数列{an＋1}是以2为首项，为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·n－1，即an＝22－n－1.
12．已知等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠0)，且bn＝an＋1－an.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由．
(2)求数列{bn}的通项公式．
解析：(1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，
∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，
若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0，
∴{bn}是各项均为0的常数，不是等比数列．
若q≠1，
∵＝＝＝＝q，
∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．
(2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0；
当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，
∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N*)．
课时作业(八) 等比数列的性质
(限时：10分钟)
1．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程3x2－11x＋9＝0的两根，则a5等于( )
A．3 B．±3
C．± D.
解析：∵a＝a3·a7，且a3，a7是方程3x2－11x＋9＝0的两根，
∴∴a3，a7>0.
∴a＝3.又∵a5＝a3·q2>0，∴a5＝.
答案：D
2．在正项的等比数列中，a2a5＝8，则log2a3＋log2a4＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．6
解析：log2a3＋log2a4＝log2a3a4＝log2a2·a5＝log28＝3.
答案：C
3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.
解析：∵数列{an}是等比数列，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，
∴2(an＋anq2)＝5anq，即2(1＋q2)＝5q.解方程得
q＝或2.
∵a1>0，数列递增，∴q＝2.
答案：2
4．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
解析：∵a1＋a2＝1＋4＝5，b＝1×4＝4，且b2与1,4同号，
∴b2＝2，∴＝＝2.5.
答案：2.5
5．等比数列{an}中，an是正实数，a4·a5＝8.求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值．
解析：∵a1a2a3…a8＝(a1·a8)·(a2·a7)·…·(a4·a5)＝(a4a5)4＝84＝212，
∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1a2a3…a8)＝log2212＝12.
(限时：30分钟)
1．若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是( )
A．{lgan} B．{1＋an}
C. D．{}
解析：∵an＝a1qn－1，∴＝·n－1，
∴是公比为的等比数列，∴选C.
答案：C
2．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：∵a2010＝a2007·q3＝8a2007，∴q＝2，∴选A.
答案：A
3．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝8.
答案：C
4．等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( )
A．－6 B．－8
C．8 D．6
答案：A
5．已知等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1·a2…a8＝16，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：∵a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
∴＋＋…＋＝＝＝2.
答案：A
6．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．±2 B．±4
C．2 D．4
解析：∵T13＝4T9.
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，∴a10a11a12a13＝4.
∵a10a13＝a11a12＝a8a15，
∴(a8a15)2＝4，∴a8a15＝±2.
∵等比数列{an}是递减数列，∴q＞0.即a8a15＝2.
答案：C
7．在等比数列{an}中，a2＝2，a4＝2，则a6＝________.
解析：∵＝1＝q2，∴a6＝a4q2＝2.
答案：2
8．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．
解析：依题意，第n个3分钟后该病毒占据内存2n＋1 KB，由2n＋1＝64×210，解得n＝15，∴3×15＝45(分钟)．
答案：45
9．在等比数列{an}中，am＝10k，ak＝10m，则am＋k＝__________.
解析：∵am＝akqm－k，∴10k＝10mqm－k，∴q＝.
∴am＋k＝amqk＝10k·10－k＝1.
答案：1
10．已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列．中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数．
解析：设所求的四个数为－aq，，aq，aq3，
则由已知，得
解得a＝4，q＝2或a＝4，q＝－2或a＝－4，q＝2或
a＝－4，q＝－2.
因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
11．已知数列{an}为等差数列且公差d≠0，{an}的部分项组成下列数列：ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.
解析：由题设有a2k2＝ak1ak3，即a＝a1a17，
∴(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，
∴a1＝2d或d＝0(舍去)．
∴a5＝a1＋4d＝6d，
∴等比数列的公比q＝＝＝3.
由于akn是等差数列的第kn项，
又是等比数列的第n项，
故akn＝a1＋(kn－1)d＝ak1qn－1，
∴kn＝2·3n－1－1.
12．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列．若a1＝b1＝1，a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b使对于一切n∈N*，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵a2＝1＋d＝b2＝q，①
a6＝1＋5d＝b3＝q2，②
由①②解得d＝3，q＝4.
(2)假设存在常数a，b满足题意，
由an＝1＋(n－1)d＝3n－2，
bn＝qn－1＝4n－1及an＝logabn＋b知
(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0，
∵n∈N*，∴解得a＝，b＝1.
所以存在常数a＝，b＝1满足等式．
课时作业(九) 等比数列的前n项和
(限时：10分钟)
1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项的和等于( )
A．31 B．33
C．35 D．37
解析：∵S5＝1，∴＝1，即a1＝.
∴S10＝＝33.
答案：B
2．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：Sn＝＝＝＝3－2an，故选D.
答案：D
3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )
A．180 B．108
C．75 D．63
解析：由性质可得S7，S14－S7，S21－S14成等比数列，故(S14－S7)2＝S7·(S21－S14)．
又∵S7＝48，S14＝60，∴S21＝63.
答案：D
4．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：x2－5x＋4＝0的两根为1和4，又数列递增，所以a1＝1，a3＝4，q＝2.所以S6＝＝63.
答案：63
5．在等比数列{an}中，已知a1＝2，q＝3，若Sn＝26，求n.
解析：a1＝2，q＝3，Sn＝26，∴代入公式Sn＝，得26＝.整理得3n＝27，
∴n＝3.
(限时：30分钟)
1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
解析：∵S5＝＝＝11a1＝44.
∴a1＝4，∴选A.
答案：A
2．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列前10项和为( )
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
解析：设公比为q，则解得q＝，则该数列的前10项和为S10＝＝＝2－.
答案：B
3．在等比数列{an}中a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
解析：由＋＋7＝21，得2q2－q－1＝0，解得：q＝1或q＝－，∴选C.
答案：C
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：由题意，得3S3－3S2＝(a4－2)－(a3－2)，则3a3＝a4－a3，则a4＝4a3，∴q＝＝4.
答案：B
5．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2 B．4 C. D.
解析：S4＝＝15a1，a2＝a1q＝2a1，
∴＝.
答案：C
6．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A. B. C. D.
解析：设等比数列{an}的公比为q，
则
解得a1＝4，q＝，所以S5＝＝.
答案：B
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
解析：∵＝4·，∴1＋q3＝4，∴q3＝3，
∴a4＝a1·q3＝3.
答案：3
8．今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革、大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共有资金________万元．
解析：设第n年投入的资金为an万元，则an＋1＝an＋an×30%＝1.3an，则＝1.3，所以数列{an}是首项为500，公比为1.3的等比数列，所以7年后该公司共有资金S7＝＝＝(1.37－1)万元．
答案：
9．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
解析：由题意知q＝＝＝2.
由a2＋a4＝a2(1＋q2)＝a1q(1＋q2)＝20，
∴a1＝2.∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2 2n＋1－2
10．在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
解析：由已知S6≠2S3，则q≠1.
又S3＝，S6＝，即
②÷①，得1＋q3＝28，∴q＝3.可求得a1＝.
因此an＝a1qn－1＝3n－3.
11．某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p，求这个工厂去年全年产值的总和．
解析：该工厂去年2月份的产值为a(1＋p)元，3月、4月、…的产值分别为a(1＋p)2、a(1＋p)3、…，去年12个月的产值组成以a为首项，(1＋p)为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为S12＝＝.
即该工厂去年全年的总产值为元．
12．已知等比数列{an}的公比q＝－.
(1)若a3＝，求数列{an}的前n项和；
(2)证明：对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．
解析：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，
所以数列{an}的前n项和
Sn＝＝.
(2)证明：对任意k∈N*，
2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，
由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.
所以，对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．
课时作业(十) 等比数列前n项和的性质与数列求和
(限时：10分钟)
1．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.
∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，
∴＝q＋10，整理得q2＝9.
∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.
答案：C
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，
则a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.
答案：A
3．数列{an}的通项公式an＝，则其前n项和Sn＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵an＝＝＝2，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝2
＝2＝.
答案：A
4．等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N*)项，则a2k＋1＝192，S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝S偶＋a2k＋1＝－＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝＝＝255，解得a1＝3.
答案：C
5．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解析：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得
解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝＝，
从而数列的前n项和为
＝.
(限时：30分钟)
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于( )
A．2 B.
C. D．3
解析：∵＝＝1＋q3＝3，∴q3＝2，
∴＝＝＝.
答案：B
2．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于( )
A.(8n－1) B.(8n＋1－1)
C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1)
解析：f(n)＝＝(8n＋1－1)．
答案：B
3．已知等比数列{an}中，公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )
A．100 B．90
C．120 D．30
解析：∵S奇＝60，q＝，∴S偶＝S奇·q＝30，
∴S100＝S奇＋S偶＝90.
答案：B
4．在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，那么a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2
C．4n－1 D.(4n－1)
解析：由Sn＝2n－1，可得an＝2n－1，∴a＝4n－1，
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
答案：D
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n＋2n(n∈N*)，则an为( )
A.＋2n－1－1 B.＋2n－1
C.＋2n＋1－1 D.＋2n＋1－1
解析：解法一：当n＝1时，a1＝1，可以排除A、C、D，∴选B.
解法二：∵an＋1－an＝n＋2n，∴an＝(an－an＋1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)＋2n－1＋(n－2)＋2n－2＋…＋1＋21＋1＝(1＋2＋…＋n)＋(2＋22＋…＋2n－1)＝＋2n－1.
答案：B
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
解析：∵an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)…＋(a2－a1)＋a1＝lnn－ln1＋2＝2＋lnn.
答案：A
7．在等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝________.
解析：∵a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，
∴a5＋a6＝8.
答案：8
8．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则a5＝________；前8项的和S8＝________.(用数字作答)
解析：由a1＝1，an＋1＝2an知an＝2n－1，
故a5＝24＝16，S8＝＝255.
答案：16 255
9．已知数列{an}的前n项和满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.
解析：由Sn＋1＝2n＋1得Sn＝2n＋1－1，
∴an＝
答案：
10．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝1且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和．
解析：(1)由题设知公差d≠0，由a1，a3，a9成等比数列得＝.
解得d＝1或d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，
∴Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
11．已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．
(1)求公比q的值；
(2)设An＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn，求An.
解析：(1)由已知2a5＝4a1－2a3，即2a1·q4＝4a1－2a1·q2，
∵a1≠0，整理得，q4＋q2－2＝0，解得q2＝1，即q＝1或q＝－1，
又∵q≠1，∴q＝－1.
(2)Sn＝＝2－2(－1)n，
∴An＝S1＋S2＋…＋Sn
＝2n－2·
＝2n＋1－(－1)n.
12．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)求＋＋…＋.
解析：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数．
an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
依题意有解得或(舍去)．
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝
＝
＝－.
课时作业(十一) 数列在日常经济生活中的应用
(限时：10分钟)
1．某人从2002年1月份开始，每月初存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到12月底取出本利和应是( )
A．1 203.6元 B．1 219.8元
C．1 223.4元 D．1 224.4元
解析：12×100＋(1＋2＋3＋…＋12)××100＝1 223.4(元)．
答案：C
2．一个工厂年产值在10年内翻了两番，则其年增长率是( )
A. B．4
C．4－1 D．2－1
解析：设原来年产值为a,10年中的平均增长率为r.则a(1＋r)10＝4a,1＋r＝4，r＝4－1.
答案：C
3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是( )
A．a(1＋q%)3 B．a(1－q%)3
C. D.
解析：设现在的成本为x，则x(1－q%)3＝a，故x＝.
答案：C
4．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/m2，顶层由于景观好价格为a2元/m2，第二层价格为a元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2，则该商品房各层的平均价格为( )
A．a1＋a2＋23.1a元/m2
B.(a1＋a2＋23.1a)元/m2
C.(a1＋a2＋23.31a)元/m2
D.(a1＋a2＋22.9a)元/m2
解析：.
答案：B
5．年利率9%，每年复利一次，希望在6年后得到本利和10 000元，则本金应是__________．
解析：设本金为a元，a(1＋9%)6＝10 000?a＝5 962.67.
答案：5 962.67
(限时：30分钟)
1．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内原有的全部出租车．若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年年底更新原有总车辆数的(参考数据：1.14≈1.46,1.15≈1.61)．( )
A．10% B．16.4%
C．16.8% D．20%
解析：设2003年年底更新原有总车辆数的比例为x，则x＋1.1x＋1.12x＋1.13x＋1.14x＝1，即x×＝1，
∴x≈16.4%.
答案：B
2．如图，五角星魅力无穷，一动点由A处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 004应在( )
A．B处 B．C处
C．D处 D．E处
解析：2 004＝400×5＋4，故2 004应在D处，选C.
答案：C
3．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值也为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元，作为购买者，请分析三种债券的收益，从小到大排列为( )
A．B，A，C B．A，C，B
C．A，B，C D．C，A，B
解析：A种面值100元，一年期的利息为3元，B种面值若为100元，一年期利息将超过1.4×4＝5.6元，C种面值若为100元，则一年期利息将超过3元，但不足4元．
答案：B
4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，这四年后价格与原来的价格比较，变化情况是( )
A．不增不减 B．约增1.4%
C．约减1.4% D．约减8%
解析：＝0.921 6－1＝
－0.078 4.
答案：D
5．浓度为a%的酒精满瓶共m升，每次倒出n升(n＜m)，再用水加满，一共倒了10次，加了10次水后，瓶内酒精浓度为( )
A.10 B.10
C.10·a% D.10·a%
解析：第一次操作后的浓度为＝a%.如果设各次操作后的浓度构成数列{an}，则a2＝＝2·a%.∴a10＝10·a%.
答案：C
6．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲商品因供不应求，连续两次提价10%，而乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台，与价格不升不降比较，商场赢利情况是( )
A．少赚598元 B．前后相同
C．多赚980.1元 D．多赚490.05元
解析：m(1＋10%)2＝9 801?m＝，n(1－10%)2＝9 801?n＝.(m＋n)－2×9 801＝9 801×－19 602＝9 801×－19 602＝20 200－19 602＝598.
答案：A
7．A、B两物体自相距30 m处同时相向运动，A每分钟走3 m，B第一分钟走2 m，且以后每分钟比前1分钟多走0.5 m，则A和B开始运动后__________min相遇．
解析：设A和B开始运动后t min相遇，则3t＋＝30，化简得t2＋19t－120＝0，解得t1＝5，t2＝－24(舍去)．
答案：5
8．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷了60层，若把各层都视为一个同心圆，π取3.14，则这个卷筒纸的长度约为________m(精确到个位)．
解析：∵纸的厚度相同，∴各层同心圆直径成等差数列．
∴l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·＝480π
＝1 507.2(cm)≈15(m)．
答案：15
9．一房地产开发商将他新建的一幢20层商品楼的房价按下列方法定价：先定一个基价a元/m2，再根据楼层的不同进行上下浮动．一层的价格为(a－d)元/m2，二层的价格为a元/m2，三层的价格为(a＋d)元/m2，第i(i≥4)层的价格为元/m2，则该商品楼各层价格的平均值是__________元/m2.
解析：各层价格的平均值为
＝a＋d(元/m2)．
答案：a＋d
10．一种设备的价值为a元，设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元，用t表示设备使用的年数，且设备年平均维修和消耗费用与设备年平均价值费用之和为y元，当a＝450 000，b＝1 000时，求这种设备的最佳更新年限(使年平均费用最低的时间t)．
解析：由题意知，设备维修和消耗费用构成以b为首项，b为公差的等差数列，因此年平均维修和消耗费用为＝(t＋1)元．
年平均价值费用为元，于是有
y＝＋＝＋t＋＝500＋500.
对于函数φ(t)＝t＋，可以证明当0＜t≤30时，φ(t)为减函数；当t＞30时，φ(t)为增函数．
∴当t＝30时，φ(t)有最小值，即y取得最小值．
∴当t＝30时，年平均费用最低．
答：这种设备的最佳更新年限是30年．
11．某工厂三年生产计划中，从第二年起，每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划的年产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值．
解析：由题意，得原计划三年中每年的产值(单位：万元)组成等差数列，设为a－d，a，a＋d(d＞0)，
则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝300，解得a＝100.
又由题意，得(a－d)＋10，a＋10，(a＋d)＋11组成等比数列，
∴(a＋10)2＝[(a－d)＋10][(a＋d)＋11]．
将a＝100代入上式，得1102＝(110－d)(111＋d)，
整理得d2＋d－110＝0，解得d＝10或d＝－11(舍去)．
故原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元、110万元．
12．现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种．某品牌普通型汽车车价为12万元，第一年汽油的消费为6 000元，随着汽油价格的不断上升，汽油的消费每年以20%的速度增长．其他费用(保险及维修费用等)第一年为5 000元，以后每年递增2 000元．而电动型汽车由于节能环保，越来越受到社会认可．某品牌电动型汽车在某市上市，车价为25万元，购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元．电动型汽车动力不靠燃油，而靠电池．电动型汽车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(即两年需更换电池一次)，电池价格为1万元，电动型汽车的其他费用每年约为5 000元．
(1)求使用n年，普通型汽车的总耗资费用Sn(万元)的表达式；(总耗资费＝车价＋汽油费＋其他费用)
(2)比较两种汽车各使用10年的总耗资费用．
(参考数据：1.24≈2.1,1.25≈2.5,1.29≈5.2，1.210≈6.2)
解析：(1)依题意，得普通型汽车每年的汽油费用是一个首项为0.6万元，公比为1.2的等比数列，
∴使用n年，汽油费用共计
0．6(1＋1.2＋1.22＋…＋1.2n－1)＝＝3(1.2n－1)(万元)．
其他费用为一个首项为0.5万元，公差为0.2万元的等差数列，故使用n年其他费用共计0.5＋(0.5＋0.2)＋…＋[0.5＋0.2(n－1)]＝0.5n＋×0.2＝0.1n2＋0.4n，
∴Sn＝12＋3×1.2n－3＋0.1n2＋0.4n＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9(万元)．
∴使用n年，普通型汽车的总耗资费用Sn＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9(万元)．
(2)由(1)知Sn＝3×1.2n＋0.1n2＋0.4n＋9，
∴S10＝3×1.210＋0.1×102＋0.4×10＋9≈3×6.2＋10＋13＝41.6(万元)，
又设T10为电动型汽车使用10年的总耗资费用，
则T10＝25－6－4＋×1＋0.5×10＝25(万元)，
41．6－25＝16.6(万元)，
∴使用10年，普通型汽车比电动型汽车多花费16.6万元．
