江苏省苏州市六校2024-2025学年高一（上）12月联考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省苏州市六校 2024-2025 学年高一（上）12 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 是实数集 ， = { |(5 )(1 + ) ≥ 0}， = { | > 2}，则阴影部分所表示的集合是( )
A. [ 1,2) B. [ 1,2] C. (2,5] D. [2,5]
1
2.函数 ( ) = 2 | |的图象大致是( ) 2
A. B.
C. D.
3.关于 的一元二次不等式 2 + + < 0有实数解的一个必要不充分条件的是( )
1 1 1
A. < 0 B. ≤ C. < D. <
4 2 4

4.声音的等级 ( )(单位： )与声音强度 (单位： / 2)满足 ( ) = 10 × lg .喷气式飞机起飞时，声音
10 12
的等级约为140 .若喷气式飞机起飞时声音强度约为汽车穿梭在马路上声音强度的106倍，则汽车穿梭在马
路上声音的等级约为( )
A. 100 B. 80 C. 60 D. 30
4 1
5.若1 < ≤ 3，则函数 ( ) = + 的最小值为( )
ln +1 4 ln
16 9
A. 9 B. C. 2 D.
5 5
3 1 ln3
6.已知定义在 上的函数 ( ) = 2| | + 3( ∈ )图象关于 轴对称，记 = ( )， = ( )， = ( )，
2 43 ln2
则( )
第 1 页，共 7 页
A. < < B. < < C. < < D. < <
7.已知函数 ( ) = |ln( 1)| 有两个零点 ， ( < )，则2( 1) + 的取值范围是( )
A. (3, +∞) B. [2√ 2 + 1, +∞) C. (0,3) D. (0,2√ 2 + 1]
( ), 6 < 0,
8.已知定义在[ 6,6]上的连续函数 ( )，满足 ( ) = {| 1| + 1,0 2,则方程[ ( )]3 4[ ( )]2 +
2 ( 2),2 < 6
3 ( ) = 0的解的个数为( )
A. 13 B. 14 C. 20 D. 21
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知ln + ln = ln(8 )，下列说法正确的是( )
A. 的最大值为2 B. + 的最小值为4
1 1
C. + 2 的最小值为6√ 2 3 D. + 的最大值为1

, ≤
10.定义 { , } = { ，若函数 ( ) = { 2 6 + 10, | 5| + 5}，则( )
, >
A. ( )的最大值是5；
B. 若 ( ) = 有3个不同的实数解，则 = 2；
C. ( )在区间[1,4]上的值域为[1,4]；
D. 若 ( )在区间[ , ]上的值域为[1,3]，则 的最大值为2 + √ 2
1
11.对于任意两个正数 ， ( < )，记曲线 = 直线 = ， = ， 轴围成的曲边梯形的面积为 ( , )，

并约定 ( , ) = 0和 ( , ) = ( , )，德国数学家莱布尼茨( )最早发现 (1, ) = ln .关于 ( , )，
下列说法正确的是( )
1 1
A. ( , ) = (9,27) B. (412, 324) = 24 (2,3)
6 2

C. ( , ) ≥ D. 2 ( , ) <

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.满足关系{1,2,3} {0,1,2,3,4,5}，的集合 的个数为 ．
13.若函数 ( ) = ( + 1)( 2 + + )图象关于点(1,0)成中心对称，则 = ．

14.已知函数 ( )的定义域是(0, +∞)且 ( ) ( ) = ( )，当 > 1时， ( ) < 0，且 (3) = 1，满足不

等式 ( ) ( 1) + 2 ≤ 0的 的取值范围为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
第 2 页，共 7 页
计算下列各式的值：
1
3 1
(1)√( 4)3 + 0.252 × ( ) 4
√ 2
(2)(1 lg2)2 + (lg5) × (lg2) + lg20；
1 1
(3)( ) 3 + 362 + ( 43) ( 62) + ( 3)
0
27
16.(本小题12分)
6
记集合 = { | = lg( 2)}，集合 = { | ≥ 1}，
+3
(1)求 ∩ 、 ( ∪ )和( ) ∩ ；
(2)若 = { |2 3 < < 2 + 1}， ∪ ≠ ，且 ∩ 中只有两个整数元素，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知定义在 奇函数 ( )，满足 ( 2) = ( )，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 2 ．
(1)求 ( 23)；
(2)求 ∈ [1,2]时，函数 ( )的解析式；
3
(3)当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2( ) 2 ( ) + 1的最小值为 ，求实数 的值．
4
18.(本小题12分)
汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并
根据车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将
报警时间划分为4段，分别为准备时间 0、人的反应时间 1、系统反应时间 2、制动时间 3，相应的距离分别
为 0， 1， 2， 3，如下图所示．当车速为 (米/秒)，且 ∈ (0,33]时，通过大数据统计分析得到下表给出
的数据(其中系数 随地面湿滑程度等路面情况而变化， ∈ [1,2])．
阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动
时间 0 1 = 0.8秒 2 = 0.2秒 3
2
距离 0 = 10米 1

2 3 = 米 20
(1)请写出报警距离 (米)与车速 (米/秒)之间的函数关系式 ( )；并求当 = 2，在汽车达到报警距离时，
若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
第 3 页，共 7 页
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ln ，函数 = ( )与 = ( )互为反函数．
2
(1)讨论 ( ) = 1 的奇偶性；
[ ( )]2+1
(2)若存在 ∈ ( ∞, 0)，使| ( ) (2 )| > 1成立，试求 的取值范围；
(3)求证：函数 ( ) = ( ) + ( + 2) + 仅有1个零点 0，且 ( 0) < ( 0 + ln 0)．
第 4 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】7
13.【答案】 64
9
14.【答案】1 < ≤
8
1
15.【答案】解：(1)原式 = 4 + × 4 = 2 ；
2
(2)原式= (lg5)2 + (lg5) × (lg2) + lg20 = lg5(lg5 + lg2) + lg20 = lg5 + lg20 = 2;
1 1 1 3
(3)原式 = 3 + 62 + 63 + 1 = 3 + + 1 = . 2 2 2 2
6
16.【答案】解：(1) ∵ = { | = lg ( 2)} = { | > 2}， = { | ≥ 1} = { | 3 < 3}，
+3
∴ ∩ = { |2 < 3}， ∪ = { | > 3}， ( ∪ ) = ( ∞, 3] ，
= { | ≤ 2}，( ) ∩ = { | ≤ 2} ∩ { | 3 < ≤ 3} = ( 3,2] ；
(2) ∵由 ∪ ≠ 可知集合 不是集合 的子集， = { |2 3 < < 2 + 1}
由 ∩ 中只有两个整数元素，可知 ∩ = {3,4} ，
2 3 < 2 3
∴ { ，解得 < ≤ 2，
4 < 2 + 1 ≤ 5 2
3
故实数 的取值范围为 ( , 2].
2
第 5 页，共 7 页
7
17.【答案】解：(1)由题知 ( 23) = (2 23) = 2
2 23 2 (2 23) = .
12
(2) ∈ [ 1,0] 时， ∈ [0,1] ， ( ) 是奇函数，
所以 ( ) = ( ) = 2 + 2 ；
又 ∈ [1,2] 时， 2 ∈ [ 1,0] ，
由 ( 2) = ( )
得 ( ) = ( 2) = 22 + 2 2 .
3
(3)令 = 2 2 , ∈ [0,1] ， ∈ [0, ]
2
( ) = 2
3
( ) 2 ( ) + 1 的最小值，等价于 ( ) = 2 2 + 1 ， ∈ [0, ] 的最小值.
2
当 ≤ 0 ， ( )min = (0) = 1 ，不符合；
3 3 1
当 0 < < ， ( ) 2min = ( ) = 1 = ，即 = ； 2 4 2
3 3 13 3 5
当 ≥ ， ( )min = ( ) = 3 = ，即 = ，不符合． 2 2 4 4 6
1
综上， = 满足题意.
2
18.【答案】解：(1)由题意得， ( ) = 0 + 1 + 2 + 3，
2 2
∴ ( ) = 10 + 0.8 + 0.2 + = 10 + + ，
20 20
2
当 = 2时， ( ) = 10 + + ，
40
10 10
则 ( ) = + + 1 ≥ 1 + 2√ × = 1 + 1 = 2(秒)(当且仅当 = 20时等号成立)．
40 40
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒；
(2)要求对任意 ∈ [1,2]， ( ) < 50恒成立，
2 1 40 1
即对任意 ∈ [1,2]，10 + + < 50，即 < 恒成立．
20 20 2
1 1 1
由 ∈ [1,2]，得 ∈ [ , ]，
20 40 20
1 40 1
∴ < 2 ，即
2 + 20 800 < 0，解得 40 < < 20．
20
∴ 0 < < 20．
即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下．
2 2
19.【答案】解：(1) ( ) = ， ( ) = 1 = 1 ，定义域为 ，
[ ( )]2+1 2 +1
第 6 页，共 7 页
2 2 2 2 2
( ) + ( ) = 1 2 + 1 = 2 = 0 ， +1 2 +1 2 +1 2 +1
故函数 = ( ) 为奇函数.
(2)令 = ，则存在 ∈ (0,1) 使得 | 2 | > 1，
∴ 存在 ∈ (0,1) 使得 2 > 1 或 2 < 1 ．
1 1
即存在 ∈ (0,1) 使得 < ( )max或 > ( + )min ，
∴ < 0 ，或 > 2 ；
(3)证明： ( ) = ln + ln( + 2) + ，定义域为 { | > 0} ．
1 1 1 1 5 1
因为 ( ) = ln + ln( + 2) + = ln + > 0 ，
2 2 2 2 4 2
( 2) = ln 2 + ln( 2 + 2) + 2 = 2 + ln( 2 + 2) + 2 < 0 ，
1
故存在零点 20 ∈ ( , ) ，使得 ( 0) = 0 ， 2
又因为 ( ) 是增函数，所以 ( ) 仅有1个零点 0 ，且 ln 0 + ln( 0 + 2) + 0 = 0 ．
1
要证： ( 0) < ( 0 + ln 0) ，即证： 1 + ln <
0+ln 0
0 = ， 0+2
1
令 ( ) = 1 + ln ，显然函数 ( ) 在定义域 { | > 0} 上单调递增，
+2
1 1 3
因为 0 ∈ (
2, ) ，所以 ( 0) < ( ) = ln2 ， 2 2 5
3
因为 3
3
< 33 = 27 < 32 = 25 ，所以 5 < 2 ，则 < ln2 ．
5
3 1
所以 ( 0) < ln2 < 0 ，故 1 + ln 0 < ，得以证明． 5 0+2
第 7 页，共 7 页