广东省东莞市五校2024-2025学年高二（上）第二次联考数学试题（PDF版，含答案）

广东省东莞市五校 2024-2025 学年高二（上）第二次联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线√ 3 + 3 = 0的倾斜角为( )
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
2.若直线2 + 1 = 0是圆( )2 + 2 = 1的一条对称轴，则 =( )
1 1
A. B. C. 1 D. 0
2 2
3.抛物线 = 4 2的焦点坐标为( )
1 1
A. (1,0) B. (0,1) C. (0, ) D. ( , 0)
16 16
4.若空间中三个点 ( 1,0,0), (0,1, 1), ( 2, 1,2)，则直线 与直线 夹角的余弦值是( )
2√ 2 2√ 2 1 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
5.由直线 + 4 = 0上的点向圆( 1)2 + ( 1)2 = 1引切线，则切线长的最小值为( )
A. 3 B. √ 7 C. 2√ 2 D. 2√ 2 1
6.已知两条直线 1: √ 3 + 2 = 0与 2: √ 3 + 6 = 0被圆 截得的线段长均为2，则圆 的面积为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2 2
7.已知椭圆 : + = 1的右焦点为 , 是椭圆上任意一点，点 (0,2√ 3)，则 的周长的最大值为( )
9 5
A. 9 + √ 21 B. 14 C. 7 + 2√ 3 + √ 5 D. 15 + √ 3
2 2
8.如图所示， 1， 2是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 1的直线与 的左、右两支分
别交于 ， 两点．若| |: | 2|: | 2| = 3: 4: 5，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. √ 15 C. √ 13 D. √ 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过点 ( 2,1)且与 ( 1,2), (3,0)两点距离相等的直线方程 ( )
A. 2 = 0 B. + 2 = 0 C. = 1 D. = 1
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10.已知圆 : 2 + 2 4 2 13 = 0，则下列命题正确的是( )
A. 圆心坐标为(2,1)
B. 圆 与圆 : 2 + 2 = 8有三条公切线
C. 直线 : + 1 = 0与圆 相交所得的弦长为8
D. 若圆 上恰有三个点到直线 = + 的距离为√ 2，则 = 3或 5
2
11.人教 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆 2 +
2 2
2 = 1( > > 0)上动点 到左焦点 ( , 0)的距离和动点 到直线 = 的距离之比是常数 .已知椭圆 ：

2 2
+ = 1， 为左焦点，直线 ： = 4与 轴相交于点 ，过 的直线与椭圆 相交于 ， 两点(点 在 轴
4 3
上方)，分别过点 ， 向 作垂线，垂足为 1， 1，则( )
A. | 1| = 2| | B. | | · | | = | | · | |
C. 直线 与椭圆相切时，| | = 4 D. sin∠ = 2 ∠
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2 4
12.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线方程为 = ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线 的 3
标准方程为 ．
13.已知空间向量 = ( + 1,2 , 1), = (6,2,2 )，且 // ，则 + = ．
14.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆
2 2
的另一个焦点．已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点为 1， 2
， 为椭圆上不与顶点重合的任一点，

为 1 2的内心，记直线 ， ( 为坐标原点)的斜率分别为 1， 2，若3 1 = 2 2，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 的顶点 (1,3)，边 上的中线 所在直线方程为 + 1 = 0，边 上的高 所在直线方程
为 = 2 + 1．
(1)求顶点 的坐标；
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(2)求直线 的方程．
16.(本小题12分)
如图，在斜三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1是菱形，∠ 1 = 60 ，在平面 中，∠ = 90
，且
= = 2， 1 = 2√ 2．
(1)求证：面 1 1 ⊥面 ；
(2)求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
1
已知 (1,0), ( 2,3)，动点 ( , )满足到 , 两点的距离之比为 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
2
(1)求曲线 的方程；
(2)若直线 : (2 + 1) ( 1) 2 = 0与曲线 交于 , 两点，求| |的取值范围．
18.(本小题12分)
√ 2 2 2
已知点 (√ 2, 1)是离心率为 的椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上的一点． 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 在椭圆上，点 关于坐标原点的对称点为 ，直线 和 的斜率都存在且不为0，试问直线 和 的
斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由；
√ 2
(3)斜率为 的直线 交椭圆 于 、 两点，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程．
2
19.(本小题12分)
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 = + 1( ∈ )表示过点(0,1)的直线族(不包括直线
轴)，直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点
处的切线都是该直线族中的某条直线．
(1)圆 : 2 + ( 3)2 = 4是直线族 + = 1( , ∈ )的包络曲线，求 , 满足的关系式；
(2)若点 ( 0, 0)不在直线族 : =
2( ∈ )的任意一条直线上，求 0的取值范围及直线族 的包络曲
线 的方程；
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(3)在(2)的条件下，过直线 4 4 = 0上的动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 , ，求原点 到直
线 的距离 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2 2
12.【答案】 = 1
9 16
14
13.【答案】
5
√ 3 1
14.【答案】 ## √ 3
3 3
15.【答案】解：(1)
由题知， ⊥ ， 在直线 上，
设 ( , )，
3
则{2 × = 1
= 5
1 ，解得{ ,
+ 1 = 0 = 6
即点 坐标为( 5,6)．
(2)
设 ( 0, 0)，
0+1 +3+ 0 1 = 0
则{ ，解得{ 0
= 1
2 2 ，即 ( 1, 1)，
= 2 + 1 0 = 10 0
6 ( 1)
所以直线 的方程为 ( 1) = ( + 1)，
5 ( 1)
即7 + 4 + 11 = 0．
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16.【答案】解：(1)证明：取 的中点 ，连接 1 ， ，
由勾股定理得： = √ 21 1 2 = √ 3， = √ 2 + 2 = √ 5，
∴ 1
2 = 21 +
2，∴ 1 ⊥ ，
∵ 1 ⊥ ， ∩ = ， 、 面 ，
∴ 1 ⊥面 ，
∵ 1 面 1 1，
∴面 1 1 ⊥面 ．
(2)过点 ，作 // 1 ，所以 ⊥ 平面 ，
分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，
由已知得 (2,0,0)， (0,2,0)， (0,1,√ 3)， 1 1 = (0,1, √ 3)， = ( 2,2,0)，
设面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 · = √ 3 = 0则{ ,
· = 2 + 2 = 0
令 = 1，解得 = √ 3， = √ 3，∴ = (√ 3,√ 3, 1)，
又∵ = (2,0,0)，设 为直线 与平面 1 所成角的平面角，
| |
则 √ 21sin = |cos , | = = ．
| | | | 7
所以直线 与平面 所成角的正弦值为√ 211 ． 7
17.【答案】解：(1)
设 ( , )， (1,0), ( 2,3)，
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由题意可得2| | = | |，两端同时平方得4| |2 = | |2，
故4[( 1)2 + 2] = ( + 2)2 + ( 3)2，化简得 2 + 2 4 + 2 3 = 0．
故曲线 的方程为：( 2)2 + ( + 1)2 = 8．
(2)
直线 ：(2 + 1) ( 1) 2 = 0，即 (2 1) + + 2 = 0，
2 1 = 0 = 1,
令{ ，解得{ ,
+ 2 = 0 = 1
故直线过定点 (1,1)．
代入点 (1,1)到圆 的方程：(1 2)2 + (1 + 1)2 = 1 + 4 = 5 < 8，
故点 (1,1)在圆 的内部．
设圆心 到直线 的距离为 ，又 (2, 1)，
所以| | = 2√ 2 2．
又因为 ≤ | | = √ 5， = 2√ 2，
所以2 ≥ | | ≥ 2√ 2 | |2，解得4√ 2 ≥ | | ≥ 2√ 3．
故| |的取值范围为：[2√ 3, 4√ 2]．
√ 2
18.【答案】解：(1) = = ,且 2 = 2 + 2，∴ = √ 2 ，
2
将 (√ 2, 1)代入椭圆方程得 2 = 2, 2 = 4，
2 2
所以椭圆 方程为 + = 1；
4 2
(2)依题意得 ( √ 2, 1)在椭圆 上，
直线 和 的斜率 和 都存在且不为0，
2
设 ( , )，所以 2

= 2 ，
2
1 +1
= , = ， √ 2 +√ 2
1 +1 2
1 2
1 1 2 1 · = × = = = ， √ 2 +√ 2 2 2 2 2 2
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1
所以直线 和 的斜率之积为定值 ；
2
√ 2
(3)设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1), ( 2, 2)， 2
√ 2
= +
由{ 22 消去 ，整理得
2 + √ 2 + 2 2 = 0，
2
+ = 1
4 2
△= 2 2 4( 2 2) > 0，则 2 < < 2，
则 1 + 2 = √ 2 ,
2
1 2 = 2，
2 1 √ 6 = √ ( 1 2) + ( 1 2)
2 = √ 1 + √ ( 1 + )
2
2 4 1 2 = √ 8 2
2，
2 2
√ 3|√ 2 |
点 到直线 的距离为 = ，
3
1 √ 6 √ 3|√ 2 |
△ = | | = √ 8 2
2 ×
2 4 3
1 1
= | |√ 8 2 2 = √ 2 (8 2 2)
2 2
√ 2 2 2 √ 2
2+4 2
= × √ (4 ) ≤ × = √ 2，
2 2 2
当 2 = 2，即 = ±√ 2时△ 面积最大，且最大值为√ 2，
√ 2
此时直线 的方程为 = ± √ 2．
2
19.【答案】解：(1)
由题可得，直线族 + = 1( , ∈ )为圆 的切线，
| 0+ 3 1|
故满足 = = 2，
√ 2+ 2
所以 , 满足5 2 4 2 6 + 1 = 0．
(2)
将点 ( 0, 0)代入 =
2( ∈ )，可得关于 的方程 2 0 + 0 = 0，
因为点 ( 0, 0)不在直线族 =
2( ∈ )上，
故方程 2 0 + 0 = 0无实数解，
2
所以 = 20 4 0 < 0，那么
0
0 > ，故 > 0， 4 0
2
因为区域 > 00 的边界为抛物线
2 = 4 ，
4
下证： 2 = 4 是 = 2( ∈ )的包络曲线．
证明：联立直线 = 2( ∈ )与 2 = 4 ，可得 2 4 + 4 2 = 0，
所以 = ( 4 )2 4 × 4 2 = 0，
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故直线族 ： = 2( ∈ )为抛物线 2 = 4 的切线．
因此直线族 的包络曲线 的方程为 2 = 4 ．
(3)
由(2)得曲线 的方程为 2 = 4 ，
设 ( 0, 0)在直线 4 4 = 0上，
4
则 0 4 0 4 = 0，即
0
0 = ． 4
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 1 = ( 1)，
与 2 = 4 联立，可得 2 = 4[ 1 + ( 1)]，
即 2 4 + 4 1 4 1 = 0．
因为直线 与 2 = 4 相切，
所以 = ( 4 )2 4(4 21 4 1) = 0，即 1 + 1 = 0．
2 2 2
因为 = 1，所以 2 1 1 11 4 1 + = 0，( ) = 0，解得 = ． 4 2 2
2 2
所以直线 的方程为 1 = 1 ( 1)，化简得 =
1 1，
4 2 2 4
2
同理可得直线 的方程为 = 2 2．
2 4
2
1

0 = 0
1
因为点 ( 0, 0)在切线上，所以{
2 4
2
,
0 =
2 0
2
2 4
2 1
所以直线 的方程为 0 =
0 ，即 = ．
2 4 2 0 0
0 4 1将 0 = 代入 = ， 4 2 0 0
1 4
得 = 0
0 ，化简得2 0 4 ( 0 4) = 0． 2 4
|4
则原点 到直线 的距离 = 0
|
．
√ 4 20+16
设 = 4 0，则 0 = 4 ，
| | | |
所以 = = ，
√ 4(4 )2+16 √ 4 2 32 +80
2
所以 2 = ．
4 2 32 +80
当 = 0时， 0 = 4, 0 = 0，则 , 重合，不符合题意，
所以 ≠ 0，
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1
所以 2 = 32 80．
4 +
2
1 1
令 = ，则 2 = ．
80 2 32 +4
2 32 1对于二次函数 = 80 32 + 4，其对称轴为 = = ，
2×80 5
1 1 2 1 16 1 4
则 = 时， = 80 2 32 + 4的最小值为80 × ( ) 32 × + 4 = 32 × + 4 = ，
5 5 5 5 5 5
5 √ 5
所以 2有最大值 ，则 的最大值为 ．
4 2
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