浙江省台州市三校2024-2025学年高一（上）期中数学试题（PDF版，含答案）

浙江省台州市三校 2024-2025 学年高一（上）期中数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < < 1}， = { 2, 1,0,1,2}，则集合 ∩ =( )
A. {0} B. { 1,0} C. {0,1} D. { 1,0,1}
2.下列关于 ， 的关系式中，能表示 是 的函数的是( )
A. + | | = 1 B. 2 + 2 = 1 C. 2 2 + = 1 D. 2 + 2 = 1
3.函数 ( ) = √ 1 √ 2 1的定义域为( )
1 1 1
A. [1,3] B. ( , 1) C. [ , 3] D. [ , 1]
2 2 2
4.若 = 20.6， = 40.4， = 0. 83，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1
5.已知 = 0.30.5
2
, = 0.30.6, = ( )2，则 、 、 的大小关系为( )
5
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知实数 > 0，且“ 2 2 < 0”的一个必要不充分条件是“| | < ”，则实数 的取值范围是( )
A. [2, +∞) B. (2, +∞) C. (0,1] D. (0,1)
7.过点(3,0)与圆 2 + 2 4 + 3 = 0相切的两条直线的夹角为 ，则sin =( )
3 4 11 4√ 3
A. B. C. D.
5 5 13 13
1 9 1 9
8.已知正实数 ， ，满足 + + + = 10，则 + 的取值范围为( )

A. (0,7] B. [1,9] C. [2,8] D. [3,6]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数既是偶函数，又在( ∞, 0)上是减函数的是( )
5 1
A. = 4 B. = 3| | C. = lg( 2 + 1) D. = +
4
10.已知集合 = {1, 2, 3}，集合 = { | ∈ , ∈ }，则( )
A. ∩ = {1, 2, 3} B. ∪ = { 1, 0, 1, 2, 3}
C. 0 ∈ D. 1 ∈
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11.如图，在直棱柱 1 1 1 1中，各棱长均为2, ∠ = ，则下列说法正确的是( ) 3
√ 3
A. 异面直线 1与 1所成角的正弦值为 2

B. 当点 在棱 1上运动时，则直线 1与平面 1 1所成角的最大值为 3
C. 当点 在棱 1上运动时，| | + | 1|最小值为2√ 5 + 2√ 3
28
D. 三棱锥 1 外接球的表面积为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.命题“ ∈ ， + lg2 > 0”的否定是 ．
13.已知 ( ) = | |，若 ( ) = ( )，( < )，则2 + 的最小值为 ．
1 2
14.设函数 ( ) = | |，若 ≠ 1且 ( ) = ( + 1)，则当2 + 2 取得最小值时 = ． 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知全集 = { 2, 1,0,1,2}，集合 = { | 2 4 = 0}， = { 2, 1,0}．
(1)求 ∩ 和 ∪ ；
(2)已知 = ，写出集合 的所有非空子集．
16.(本小题12分)
设 , , ∈ ， + + = 0， = 1.注：( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ．
(1)证明： + + < 0；
(2)若 ，求 的最小值．
17.(本小题12分)
2 +1
已知集合 = { | < 1}， = { |2 2 + ( 2) < 0}．
1
(1)当 = 1时，求 ∪ ；
(2)已知“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件，求实数 的取值范围．
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18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 ( ∈ )．
(1)解不等式10 ( ) > 16 + 4 ；
(2 ) 1
(2)若 ( ) = ，试判断 ( )的单调性，并用定义证明．
(2 )+1
19.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = ( > 0，且 ≠ 1)．
(1)判断函数 ( )的奇偶性；
(2)若 (1) > 0，试判断函数 ( )的单调性.并求使不等式 ( 3 ) + (4 3 9 1) < 0在 上恒成立的
的取值范围；
3
(3)若 (1) = , ( ) = 2 + 2 2 ( )，且 ( )在[1, +∞)上的最小值为 2，求 的值．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ∈ ， + lg 2 0
13.【答案】2√ 2
1
14.【答案】
2
15.【答案】(1)
因为 = { | 2 4 = 0} = { 2,2}， = { 2, 1,0}，
则 ∩ = { 2}， ∪ = { 2 1,0,2}．
(2)
因为全集 = { 2, 1,0,1,2}， = { 2,2}，则 = = { 1,0,1}，
所以，集合 的所有非空子集为：{ 1}、{0}、{1}、{ 1,0}、{ 1,1}、{0,1}、{ 1,0,1}．
16.【答案】解：(1) ∵ ( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0，
1
∴ + + = ( 2 + 2 + 2)，
2
∵ = 1，∴ , , 均不为0，则 2 + 2 + 2 > 0，
1
∴ + + = ( 2 + 2 + 2) < 0;
2
(2)由 + + = 0， = 1可知 > 0， < 0， < 0，
2 2
1 ( + ) + 2+2 2 +2
∵ = ， = ，∴ 3 = 2 = = = 4，

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3 3
当且仅当 = 时，取等号，∴ √4， 的最小值为√4．
2 +1 +2
17.【答案】解：(1)由 < 1，得 < 0，所以 = { | 2 < < 1}．
1 1
= { |2 2 + ( 2) < 0} = { |( 1)(2 + ) < 0}．
1
当 = 1时， = { | < < 1}．
2
所以 ∪ = { | 2 < < 1}．
(2)因为“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件，所以 ．

若 > 1，不符合题意；
2

若 = 1即 = 2时， = ，符合题意；
2

若 < 1，则 = { | < < 1}，
2 2

所以 2 ≤ < 1，解得 2 < ≤ 4．
2
综上， ∈ [ 2,4]．
18.【答案】解：(1)令2 = ，则4 = (2 )2 = 2，
原不等式可化为10 > 16 + 2，解得2 < < 8，
即2 < 2 < 8，可得1 < < 3，故原不等式的解集为(1,3);
(2) ( )在 上为增函数，证明如下：
4 1 2
因为 ( ) = = 1 ，
4 +1 4 +1
任取 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
2 2 2 2 2 (4 1 4 2)
则 ( 1) ( 2) = (1 ) (1 ) = =4 1+1 4 2+1 4 2+1 4 1+1 4 1+1 4
，
( )( 2+1)
因为 < ，则4 1 4 21 2 < 0，4
1 + 1 > 0, 4 2 + 1 > 0，
可得 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在 上为增函数．
1
19.【答案】解：(1)易得函数 ( ) = 的定义域为 ，
1 1 ( ) =

= = ( )，
所以函数 ( )是奇函数．
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1
(2)由 (1) > 0， > 0，得 > 0，则 > 1，

1显然函数 = ， = 在 上严格增，
因此函数 ( )是 上的严格增函数，
不等式 ( 3 ) + (4 3 9 1) < 0 ( 3 ) < (9 4 3 + 1)，
1
则 3 < 9 4 3 + 1 < 3 + 4， ∈ ，3 > 0， 3
1 1
于是3 + 4 ≥ 2√ 3 4 = 2，当且仅当 = 0时取等号，因此 < 2， 3 3
所以 的取值范围是( ∞, 2)．
3 1 3
(3)由 (1) = ，得 = ，而 > 0，解得 = 2，则 ( ) = 2 2 ，
2 2
( ) = 22 + 2 2 2 (2 2 ) = (2 2 )2 2 (2 2 ) + 2，
3
令 = 2 2 ，由(2)知，函数 = 2 2 是 上的严格增函数，当 ≥ 1时， ≥ ，
2
2 3 3 = 2 + 2，当 ≤ 时，函数 = 2 2 + 2在[ , +∞)上严格增，
2 2
3 9 25 3
当 = 时，
2 min
= 3 + 2 = 2，解得 = 与 ≤ 矛盾；
4 12 2
3
当 > 时， = 时， min = 2
2 = 2，则 = 2，
2
所以 = 2．
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